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1.有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被等分成如图所示的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘.如果一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么“配紫色”成功，游戏者获胜，则游戏者获胜的概率是
$\frac{1}{6}$
. 答案
1. $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定两个转盘各自的等可能结果：A盘被平均分成2份，有红、蓝2种等可能结果；B盘被平均分成3份，有黄、蓝、绿3种等可能结果。第二步，我们可以通过列表法或树状图法列举出所有等可能的总结果，再筛选出满足“一个转盘转出红色、另一个转出蓝色”的获胜结果，注意B盘没有红色区域，因此仅“A转红、B转蓝”符合要求。最后根据概率公式计算获胜概率即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| A盘\B盘 | 黄 | 蓝 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，黄） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 蓝 | （蓝，黄） | （蓝，蓝） | （蓝，绿） |
由表格可知，所有等可能的结果共有6种，其中满足配紫色获胜条件的结果仅有（红，蓝）1种，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是准确梳理两个转盘的所有可能结果，避免因忽略转盘颜色设置多算符合条件的结果，属于概率部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
本题是两步试验的概率计算问题，解题思路如下：第一步先确定两个转盘各自的等可能结果：A盘被平均分成2份，有红、蓝2种等可能结果；B盘被平均分成3份，有黄、蓝、绿3种等可能结果。第二步，我们可以通过列表法或树状图法列举出所有等可能的总结果，再筛选出满足“一个转盘转出红色、另一个转出蓝色”的获胜结果，注意B盘没有红色区域，因此仅“A转红、B转蓝”符合要求。最后根据概率公式计算获胜概率即可。
【解析】
我们用列表法列举所有等可能的结果：
| A盘\B盘 | 黄 | 蓝 | 绿 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | （红，黄） | （红，蓝） | （红，绿） |
| 蓝 | （蓝，黄） | （蓝，蓝） | （蓝，绿） |
由表格可知，所有等可能的结果共有6种，其中满足配紫色获胜条件的结果仅有（红，蓝）1种，
根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得获胜概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率，概率公式，等可能事件
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，解题的关键是准确梳理两个转盘的所有可能结果，避免因忽略转盘颜色设置多算符合条件的结果，属于概率部分的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
2.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
2. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
解这道题首先要明确配成紫色的两种互斥情况：第一个转盘转出红色+第二个转盘转出蓝色、第一个转盘转出蓝色+第二个转盘转出红色，我们只需分别计算两种情况的概率再求和即可。第一步先根据各颜色区域圆心角占整个圆周角的比例，算出两个转盘转出各颜色的概率；第二步利用独立事件概率的乘法规则，分别计算两种符合条件的情况的概率；最后利用互斥事件概率的加法规则，将两个概率相加得到最终结果。
【解析】
解：先计算两个转盘转出各颜色的概率：
左转盘红色区域圆心角为$90°$，蓝色区域圆心角为$270°$，因此：
$P(\mathrm{左红})=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{270°}{360°}=\frac{3}{4}$
右转盘红、黄、蓝区域圆心角均为$120°$，因此：
$P(\mathrm{右红})=P(\mathrm{右蓝})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
配成紫色的两类互斥事件概率分别为：
1. 左红右蓝：$P_1=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
2. 左蓝右红：$P_2=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3}{12}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率，概率乘法，概率加法
【点评】
本题是典型的概率计算应用题，解题核心是找准所有符合条件的事件，避免漏算某一种配对情况，结合概率的乘加规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
解这道题首先要明确配成紫色的两种互斥情况：第一个转盘转出红色+第二个转盘转出蓝色、第一个转盘转出蓝色+第二个转盘转出红色，我们只需分别计算两种情况的概率再求和即可。第一步先根据各颜色区域圆心角占整个圆周角的比例，算出两个转盘转出各颜色的概率；第二步利用独立事件概率的乘法规则，分别计算两种符合条件的情况的概率；最后利用互斥事件概率的加法规则，将两个概率相加得到最终结果。
【解析】
解：先计算两个转盘转出各颜色的概率：
左转盘红色区域圆心角为$90°$，蓝色区域圆心角为$270°$，因此：
$P(\mathrm{左红})=\frac{90°}{360°}=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{左蓝})=\frac{270°}{360°}=\frac{3}{4}$
右转盘红、黄、蓝区域圆心角均为$120°$，因此：
$P(\mathrm{右红})=P(\mathrm{右蓝})=\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
配成紫色的两类互斥事件概率分别为：
1. 左红右蓝：$P_1=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$
2. 左蓝右红：$P_2=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3}{12}$
总概率$P=P_1+P_2=\frac{1}{12}+\frac{3}{12}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
几何概率，概率乘法，概率加法
【点评】
本题是典型的概率计算应用题，解题核心是找准所有符合条件的事件，避免漏算某一种配对情况，结合概率的乘加规则就能顺利求解。
【难度系数】
0.6
3. A教材经典设问 围棋起源于中国，棋子分黑白两色.一个不透明的盒子中装有2颗黑色棋子和1颗白色棋子，每颗棋子除颜色外都相同.若从中随机摸出一颗棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一颗棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（
A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
C
）A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{5}{9}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
3. C
解析
【分析】
本题是有放回的摸棋子概率问题，属于等可能事件概率计算范畴。解题思路如下：首先明确“放回”的试验特点，即两次摸棋子的过程相互独立，每次摸棋时盒中都有3颗棋子（2黑1白）；其次可以通过列表法或树状图法列举出两次摸棋所有等可能的结果，再从中筛选出两次摸到相同颜色棋子的结果数；最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算概率即可。
【解析】
记两颗黑棋为黑₁、黑₂，白棋为白，通过列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 黑₁ | 黑₂ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黑₁ | （黑₁，黑₁） | （黑₁，黑₂） | （黑₁，白） |
| 黑₂ | （黑₂，黑₁） | （黑₂，黑₂） | （黑₂，白） |
| 白 | （白，黑₁） | （白，黑₂） | （白，白） |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色棋子的结果有5种，分别是（黑₁，黑₁）、（黑₁，黑₂）、（黑₂，黑₁）、（黑₂，黑₂）、（白，白）。
根据概率公式可得，两次摸到相同颜色棋子的概率$P=\frac{5}{9}$。
（也可通过分步概率计算：两次都摸到黑棋的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，两次都摸到白棋的概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，所以两次同色的概率为$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$）
【答案】
C
【知识点】
1. 放回型概率计算
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是注意区分试验是“放回”还是“不放回”，两类情况的总结果数差异较大，采用列表或树状图的方法可以直观清晰地罗列所有结果，有效避免漏算、错算的问题。
【难度系数】
0.7
本题是有放回的摸棋子概率问题，属于等可能事件概率计算范畴。解题思路如下：首先明确“放回”的试验特点，即两次摸棋子的过程相互独立，每次摸棋时盒中都有3颗棋子（2黑1白）；其次可以通过列表法或树状图法列举出两次摸棋所有等可能的结果，再从中筛选出两次摸到相同颜色棋子的结果数；最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算概率即可。
【解析】
记两颗黑棋为黑₁、黑₂，白棋为白，通过列表法列举所有等可能的结果：
| 第一次\第二次 | 黑₁ | 黑₂ | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 黑₁ | （黑₁，黑₁） | （黑₁，黑₂） | （黑₁，白） |
| 黑₂ | （黑₂，黑₁） | （黑₂，黑₂） | （黑₂，白） |
| 白 | （白，黑₁） | （白，黑₂） | （白，白） |
由表可知，一共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色棋子的结果有5种，分别是（黑₁，黑₁）、（黑₁，黑₂）、（黑₂，黑₁）、（黑₂，黑₂）、（白，白）。
根据概率公式可得，两次摸到相同颜色棋子的概率$P=\frac{5}{9}$。
（也可通过分步概率计算：两次都摸到黑棋的概率为$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}=\frac{4}{9}$，两次都摸到白棋的概率为$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$，所以两次同色的概率为$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}=\frac{5}{9}$）
【答案】
C
【知识点】
1. 放回型概率计算
2. 列表法求概率
3. 概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题的核心是注意区分试验是“放回”还是“不放回”，两类情况的总结果数差异较大，采用列表或树状图的方法可以直观清晰地罗列所有结果，有效避免漏算、错算的问题。
【难度系数】
0.7
4.用如图所示的两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色。
(1)单独转动转盘A，指针指向红色区域的概率是
(2)同时转动两个转盘，求可配成紫色的概率。
(1)单独转动转盘A，指针指向红色区域的概率是
$\frac{1}{3}$
。(2)同时转动两个转盘，求可配成紫色的概率。
答案
4. 解:(1)$\frac{1}{3}$
(2)将转盘A中的蓝色区域等分成两部分,列表略.由表可知,共有12种等可能的结果,其中可配成紫色的结果有5种，
∴可配成紫色的概率是$\frac{5}{12}$。
(2)将转盘A中的蓝色区域等分成两部分,列表略.由表可知,共有12种等可能的结果,其中可配成紫色的结果有5种，
∴可配成紫色的概率是$\frac{5}{12}$。
解析
【分析】
(1) 单独转动转盘A时，指针指向各区域的概率与区域圆心角大小成正比，因此计算指针指向红色区域的概率，只需用红色区域的圆心角度数除以周角360°即可。
(2) 求同时转动两个转盘配成紫色的概率属于两步试验的概率求解问题：首先需要将两个转盘转化为等可能的结果，转盘A红色区域占120°，蓝色区域占240°，可将蓝色区域平分为2个120°的扇形，此时转盘A就有3种等可能的结果；转盘B本身是4等分结构，共有4种等可能的结果。再通过列表法枚举所有等可能的结果，筛选出“一个转出红色、另一个转出蓝色”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 转盘A红色区域的圆心角为120°，周角为360°，
因此指针指向红色区域的概率为：$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将转盘A的蓝色区域等分为2个圆心角为120°的扇形，分别记为蓝₁、蓝₂，此时转盘A有3种等可能的结果：红、蓝₁、蓝₂；转盘B有4种等可能的结果：红、红、蓝、黄。
列表统计所有结果：
| 转盘A\转盘B | 红 | 红 | 蓝 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,蓝)√ | (红,黄) |
| 蓝₁ | (蓝₁,红)√ | (蓝₁,红)√ | (蓝₁,蓝) | (蓝₁,黄) |
| 蓝₂ | (蓝₂,红)√ | (蓝₂,红)√ | (蓝₂,蓝) | (蓝₂,黄) |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有5种，
因此可配成紫色的概率为：$\frac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{5}{12}$
【知识点】
几何概率计算，列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率部分的典型应用题型，重点考查几何概率的计算以及两步试验的概率求解，解题的关键是将非等分的转盘转化为等可能事件，再通过列表法不重不漏地枚举所有情况，结合配紫色的条件筛选结果计算概率。
【难度系数】
0.7
(1) 单独转动转盘A时，指针指向各区域的概率与区域圆心角大小成正比，因此计算指针指向红色区域的概率，只需用红色区域的圆心角度数除以周角360°即可。
(2) 求同时转动两个转盘配成紫色的概率属于两步试验的概率求解问题：首先需要将两个转盘转化为等可能的结果，转盘A红色区域占120°，蓝色区域占240°，可将蓝色区域平分为2个120°的扇形，此时转盘A就有3种等可能的结果；转盘B本身是4等分结构，共有4种等可能的结果。再通过列表法枚举所有等可能的结果，筛选出“一个转出红色、另一个转出蓝色”的符合条件的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 转盘A红色区域的圆心角为120°，周角为360°，
因此指针指向红色区域的概率为：$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$。
(2) 将转盘A的蓝色区域等分为2个圆心角为120°的扇形，分别记为蓝₁、蓝₂，此时转盘A有3种等可能的结果：红、蓝₁、蓝₂；转盘B有4种等可能的结果：红、红、蓝、黄。
列表统计所有结果：
| 转盘A\转盘B | 红 | 红 | 蓝 | 黄 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 红 | (红,红) | (红,红) | (红,蓝)√ | (红,黄) |
| 蓝₁ | (蓝₁,红)√ | (蓝₁,红)√ | (蓝₁,蓝) | (蓝₁,黄) |
| 蓝₂ | (蓝₂,红)√ | (蓝₂,红)√ | (蓝₂,蓝) | (蓝₂,黄) |
由表可得，共有12种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有5种，
因此可配成紫色的概率为：$\frac{5}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$；(2) $\frac{5}{12}$
【知识点】
几何概率计算，列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率部分的典型应用题型，重点考查几何概率的计算以及两步试验的概率求解，解题的关键是将非等分的转盘转化为等可能事件，再通过列表法不重不漏地枚举所有情况，结合配紫色的条件筛选结果计算概率。
【难度系数】
0.7
5. 小玲设计了一个配紫色的游戏，她将如图所示的正五边形ABCDE分成红、蓝、白三个区域，点O为正五边形的中心。规则如下：掷一枚质地均匀的小球两次，记录小球停止后所在区域的颜色，若小球落在边界上或没有停留在正五边形内部，则不记录颜色，重新掷一次，直到小球停留在正五边形区域内。若两次记录的颜色分别为“红色”和“蓝色”，则配成紫色。
(1)小玲第一次掷小球落在白色区域的概率为
(2)请利用列表或画树状图的方法计算配成紫色的概率。
(1)小玲第一次掷小球落在白色区域的概率为
$\frac{1}{5}$
。(2)请利用列表或画树状图的方法计算配成紫色的概率。
答案
5. 解:(1)$\frac{1}{5}$
(2)连接OA,OB,可将正五边形分成均等的五份,其中白色占1份,蓝色占3份,红色占1份.列表略.由表可知,共有25种等可能的结果,其中颜色为“红色”和“蓝色”的有6种,故配成紫色的概率是$\frac{6}{25}$。
(2)连接OA,OB,可将正五边形分成均等的五份,其中白色占1份,蓝色占3份,红色占1份.列表略.由表可知,共有25种等可能的结果,其中颜色为“红色”和“蓝色”的有6种,故配成紫色的概率是$\frac{6}{25}$。
解析
【分析】
解题前首先明确：正五边形被中心与顶点的连线分成5个面积完全相等的等腰三角形，小球落在每个小三角形内的概率相等，先确定三种颜色各自占的份数：白色占1份、红色占1份、蓝色占3份。
(1) 求第一次落在白色区域的概率，直接根据概率公式，用白色区域的份数除以总份数即可。
(2) 配成紫色的条件是两次颜色分别为红色和蓝色（两种顺序都符合），我们可以通过列表法列举出两次掷小球的所有等可能结果，再统计出符合配紫色条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率。
【解析】
(1) 正五边形共被分成5个等面积的区域，其中白色区域占1份，因此第一次掷小球落在白色区域的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 将3块蓝色区域分别记为蓝₁、蓝₂、蓝₃，红色区域记为红，白色区域记为白，列表列举两次掷小球的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 蓝₁ | 蓝₂ | 蓝₃ | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 蓝₁ | (蓝₁,蓝₁) | (蓝₁,蓝₂) | (蓝₁,蓝₃) | (蓝₁,红) | (蓝₁,白) |
| 蓝₂ | (蓝₂,蓝₁) | (蓝₂,蓝₂) | (蓝₂,蓝₃) | (蓝₂,红) | (蓝₂,白) |
| 蓝₃ | (蓝₃,蓝₁) | (蓝₃,蓝₂) | (蓝₃,蓝₃) | (蓝₃,红) | (蓝₃,白) |
| 红 | (红,蓝₁) | (红,蓝₂) | (红,蓝₃) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,蓝₁) | (白,蓝₂) | (白,蓝₃) | (白,红) | (白,白) |
由表可知，共有25种等可能的结果，其中两次颜色为红色和蓝色的结果有(蓝₁,红)、(蓝₂,红)、(蓝₃,红)、(红,蓝₁)、(红,蓝₂)、(红,蓝₃)，共6种，因此配成紫色的概率为$\frac{6}{25}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)$\frac{6}{25}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率
【点评】
本题将几何图形与概率计算结合，重点考查等可能事件概率的求解方法，解题时需注意配紫色包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
解题前首先明确：正五边形被中心与顶点的连线分成5个面积完全相等的等腰三角形，小球落在每个小三角形内的概率相等，先确定三种颜色各自占的份数：白色占1份、红色占1份、蓝色占3份。
(1) 求第一次落在白色区域的概率，直接根据概率公式，用白色区域的份数除以总份数即可。
(2) 配成紫色的条件是两次颜色分别为红色和蓝色（两种顺序都符合），我们可以通过列表法列举出两次掷小球的所有等可能结果，再统计出符合配紫色条件的结果数，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到对应概率。
【解析】
(1) 正五边形共被分成5个等面积的区域，其中白色区域占1份，因此第一次掷小球落在白色区域的概率为$\frac{1}{5}$。
(2) 将3块蓝色区域分别记为蓝₁、蓝₂、蓝₃，红色区域记为红，白色区域记为白，列表列举两次掷小球的所有等可能结果：
| 第一次\第二次 | 蓝₁ | 蓝₂ | 蓝₃ | 红 | 白 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 蓝₁ | (蓝₁,蓝₁) | (蓝₁,蓝₂) | (蓝₁,蓝₃) | (蓝₁,红) | (蓝₁,白) |
| 蓝₂ | (蓝₂,蓝₁) | (蓝₂,蓝₂) | (蓝₂,蓝₃) | (蓝₂,红) | (蓝₂,白) |
| 蓝₃ | (蓝₃,蓝₁) | (蓝₃,蓝₂) | (蓝₃,蓝₃) | (蓝₃,红) | (蓝₃,白) |
| 红 | (红,蓝₁) | (红,蓝₂) | (红,蓝₃) | (红,红) | (红,白) |
| 白 | (白,蓝₁) | (白,蓝₂) | (白,蓝₃) | (白,红) | (白,白) |
由表可知，共有25种等可能的结果，其中两次颜色为红色和蓝色的结果有(蓝₁,红)、(蓝₂,红)、(蓝₃,红)、(红,蓝₁)、(红,蓝₂)、(红,蓝₃)，共6种，因此配成紫色的概率为$\frac{6}{25}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}$；(2)$\frac{6}{25}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率
【点评】
本题将几何图形与概率计算结合，重点考查等可能事件概率的求解方法，解题时需注意配紫色包含“先红后蓝”和“先蓝后红”两种情况，避免漏算导致结果错误。
【难度系数】
0.7
