登录
1. 如图所示的是用计算机模拟随机投掷一枚图钉的实验结果.随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是 （
A.0.620
B.0.618
C.0.610
D.1 000
B
）A.0.620
B.0.618
C.0.610
D.1 000
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆用频率估计概率的核心原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。接下来观察题图的折线走势：随着投掷次数不断增大，“钉尖向上”的频率波动越来越小，最终稳定在0.618这个数值附近，因此我们用这个稳定的频率值作为概率的估计值即可。
【解析】
根据用频率估计概率的规则，当试验次数足够多时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。观察题图可知，随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率逐渐稳定在0.618附近，因此估计“钉尖向上”的概率为0.618，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用，解题时需要结合统计图判断频率的稳定值，理解频率与概率的联系与区别即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆用频率估计概率的核心原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个固定常数附近，这个常数就是该事件发生的概率。接下来观察题图的折线走势：随着投掷次数不断增大，“钉尖向上”的频率波动越来越小，最终稳定在0.618这个数值附近，因此我们用这个稳定的频率值作为概率的估计值即可。
【解析】
根据用频率估计概率的规则，当试验次数足够多时，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。观察题图可知，随着投掷次数的增加，“钉尖向上”的频率逐渐稳定在0.618附近，因此估计“钉尖向上”的概率为0.618，故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；频率的稳定性
【点评】
本题是频率估计概率的典型应用，解题时需要结合统计图判断频率的稳定值，理解频率与概率的联系与区别即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.不透明的口袋中装有8个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同.通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6附近，则估计口袋中白球有
12
个.答案
2.12
解析
【分析】
首先，根据大量重复试验中频率的稳定值近似等于事件发生的概率，可得出摸到白球的概率约为0.6。接下来我们可以设白球的个数为未知数，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”列方程求解即可，注意解完分式方程需要检验是否符合题意。
【解析】
设口袋中白球有$ x $个，则口袋中球的总个数为$ 8+x $个。
∵多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.6附近
∴摸到白球的概率约为0.6，根据概率公式可得：
$\frac{x}{8+x}=0.6$
解方程：
$x = 0.6×(8+x)$
$x = 4.8 + 0.6x$
$x - 0.6x = 4.8$
$0.4x = 4.8$
$x = 12$
检验：当$x=12$时，$8+x=20≠0$，且符合实际意义，故$x=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式
3. 分式方程应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是理解频率稳定值与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，注意求解分式方程后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
首先，根据大量重复试验中频率的稳定值近似等于事件发生的概率，可得出摸到白球的概率约为0.6。接下来我们可以设白球的个数为未知数，结合概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的情况数÷总情况数”列方程求解即可，注意解完分式方程需要检验是否符合题意。
【解析】
设口袋中白球有$ x $个，则口袋中球的总个数为$ 8+x $个。
∵多次摸球试验后，摸到白球的频率稳定在0.6附近
∴摸到白球的概率约为0.6，根据概率公式可得：
$\frac{x}{8+x}=0.6$
解方程：
$x = 0.6×(8+x)$
$x = 4.8 + 0.6x$
$x - 0.6x = 4.8$
$0.4x = 4.8$
$x = 12$
检验：当$x=12$时，$8+x=20≠0$，且符合实际意义，故$x=12$是原方程的解。
【答案】
12
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 概率公式
3. 分式方程应用
【点评】
本题是概率与方程结合的基础应用题，解题核心是理解频率稳定值与概率的关系，结合概率公式建立方程求解，注意求解分式方程后要检验结果是否符合实际场景。
【难度系数】
0.7
3.某学习小组做抛掷一枚瓶盖的试验,整理的试验数据如下表:
下面有三个推断:
①通过上述试验的结果可以推断,这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的;
②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”;
③随着试验次数的增大,“盖面朝上”的频率接近0.53.
其中正确的是
下面有三个推断:
①通过上述试验的结果可以推断,这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的;
②第2 000次试验的结果一定是“盖面朝上”;
③随着试验次数的增大,“盖面朝上”的频率接近0.53.
其中正确的是
①③
.(填序号)答案
3.①③
解析
【分析】
解题时需结合用频率估计概率的知识，逐一分析三个推断：首先明确大量重复试验时，事件的频率会稳定在概率附近，据此判断瓶盖均匀性、频率的变化趋势；再结合随机事件的特点，判断单次试验的结果是否确定，最终得出正确的推断序号。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率。
对三个推断逐一判断：
① 观察表格数据，随着抛掷次数增大，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5。若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确。
② 抛掷瓶盖属于随机事件，每次试验的结果都是不确定的，频率仅能反映事件发生的可能性大小，无法确定某一次试验的具体结果，因此第2000次试验的结果不一定是“盖面朝上”，②错误。
③ 从表格数据可知，累计抛掷次数越大，盖面朝上的频率越接近0.53，即随着试验次数增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率，随机事件的特点，频率与概率的关系
【点评】
本题结合试验数据考查概率相关的基础概念，重点需要理解频率的稳定性和随机事件的不确定性，解题时仔细观察数据变化规律，结合概念判断即可。
【难度系数】
0.7
解题时需结合用频率估计概率的知识，逐一分析三个推断：首先明确大量重复试验时，事件的频率会稳定在概率附近，据此判断瓶盖均匀性、频率的变化趋势；再结合随机事件的特点，判断单次试验的结果是否确定，最终得出正确的推断序号。
【解析】
根据用频率估计概率的原理：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即为事件发生的概率。
对三个推断逐一判断：
① 观察表格数据，随着抛掷次数增大，盖面朝上的频率稳定在0.53左右，明显偏离0.5。若瓶盖质地均匀，盖面朝上的概率应接近0.5，因此可以推断这枚瓶盖有很大可能性不是质地均匀的，①正确。
② 抛掷瓶盖属于随机事件，每次试验的结果都是不确定的，频率仅能反映事件发生的可能性大小，无法确定某一次试验的具体结果，因此第2000次试验的结果不一定是“盖面朝上”，②错误。
③ 从表格数据可知，累计抛掷次数越大，盖面朝上的频率越接近0.53，即随着试验次数增大，“盖面朝上”的频率接近0.53，③正确。
综上，正确的是①③。
【答案】
①③
【知识点】
用频率估计概率，随机事件的特点，频率与概率的关系
【点评】
本题结合试验数据考查概率相关的基础概念，重点需要理解频率的稳定性和随机事件的不确定性，解题时仔细观察数据变化规律，结合概念判断即可。
【难度系数】
0.7
4. A教材经典素材·鱼塘里有多少鱼 为了解鱼塘里有多少条鱼，工作人员从鱼塘中打捞了30条鱼做上标记，然后放归。经过一段时间，有标记的鱼完全混合于鱼群中，再从鱼塘中任意打捞一条做好记录后放回，如此这般多次打捞试验后，发现打捞到有标记的鱼的频率稳定在1%，则鱼塘里鱼的条数大约是
3 000
。答案
4.3 000
解析
【分析】
这是利用频率估计概率解决实际问题的典型题型，解题思路如下：首先明确当大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中打捞到标记鱼的频率稳定在1%，就可以认为鱼塘中标记鱼占总鱼数的概率为1%；其次，标记鱼的数量是已知的30条，设总鱼数为未知数，结合“标记鱼数量÷总鱼数=标记鱼出现的概率”这一关系建立等式，即可求解总鱼数。
【解析】
设鱼塘中鱼的总条数大约为$ x $。
∵多次重复试验后，打捞到有标记的鱼的频率稳定在1%，根据频率估计概率的原理，可知鱼塘中打捞到标记鱼的概率约为1%。
已知标记的鱼共有30条，结合概率计算公式可得：
$\frac{30}{x}=1\%$
解得：$x=30÷1\% = 3000$
【答案】
3000
【知识点】
用频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率知识在实际生活中的常见应用，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率计算公式建立等量关系即可求解，难度较低，贴合生活场景，能有效考查对基础知识点的理解和应用能力。
【难度系数】
0.85
这是利用频率估计概率解决实际问题的典型题型，解题思路如下：首先明确当大量重复试验时，某一事件发生的频率会稳定在对应概率的附近，因此本题中打捞到标记鱼的频率稳定在1%，就可以认为鱼塘中标记鱼占总鱼数的概率为1%；其次，标记鱼的数量是已知的30条，设总鱼数为未知数，结合“标记鱼数量÷总鱼数=标记鱼出现的概率”这一关系建立等式，即可求解总鱼数。
【解析】
设鱼塘中鱼的总条数大约为$ x $。
∵多次重复试验后，打捞到有标记的鱼的频率稳定在1%，根据频率估计概率的原理，可知鱼塘中打捞到标记鱼的概率约为1%。
已知标记的鱼共有30条，结合概率计算公式可得：
$\frac{30}{x}=1\%$
解得：$x=30÷1\% = 3000$
【答案】
3000
【知识点】
用频率估计概率；概率公式应用
【点评】
本题是概率知识在实际生活中的常见应用，解题核心是理解大量重复试验下频率的稳定值即为事件发生的概率，再结合概率计算公式建立等量关系即可求解，难度较低，贴合生活场景，能有效考查对基础知识点的理解和应用能力。
【难度系数】
0.85
5. 小红和小明在操场上做游戏,他们先在地上画了半径分别为2 m和3 m的同心圆(如图),然后两个人蒙上眼,在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影部分小红胜,否则小明胜,未掷入圈内或掷中两圆的边界线则重掷.
(1)如果你来当裁判,你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束,小明边走边想:“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算某一不规则图形的面积呢?”请设计方案,解决这一问题.(要求补充完整图形,说明设计步骤、原理,写出估算公式)
(1)如果你来当裁判,你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束,小明边走边想:“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算某一不规则图形的面积呢?”请设计方案,解决这一问题.(要求补充完整图形,说明设计步骤、原理,写出估算公式)
答案
5.解:(1)不公平.理由如下:
∵P(掷中阴影)=$\frac{9π-4π}{9π}$=$\frac{5}{9}$,即小红获胜的概率为$\frac{5}{9}$,
∴小明获胜的概率为1-$\frac{5}{9}$=$\frac{4}{9}$.
∵$\frac{5}{9}$＞$\frac{4}{9}$,
∴游戏对双方不公平.(2)能利用频率估计概率的试验方法估算不规则图形的面积.设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形,将不规则图形围起来(如正方形,其面积为S),如图所示.
②往图形中掷点(如蒙上眼,往图形中随意掷石子,掷在图形边界和图形外不做记录).③当掷点次数充分大(如1万次),记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷入不规则图形内.④设不规则图形的面积为$S_1$,用频率估计概率,即频率$P'$(掷入不规则图形内)=$\frac{n}{m}$≈概率$P$(掷入不规则图形内)=$\frac{S_1}{S}$,故$\frac{n}{m}$≈$\frac{S_1}{S}$.∴$S_1$≈$\frac{nS}{m}$.
解析
【分析】
(1)判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜概率是否相等。我们先根据圆的面积公式分别计算大圆、小圆的面积，再求出阴影圆环的面积，用阴影面积除以大圆面积得到小红获胜的概率，用1减去小红获胜的概率得到小明获胜的概率，比较两个概率大小即可判断游戏是否公平。
(2)估算不规则图形面积的核心是利用“大量重复试验时，事件发生的频率近似等于其发生的概率”的规律，结合几何概率“落进某区域的概率等于该区域面积与总区域面积的比值”的原理。我们先用面积已知的规则图形围住不规则图形，通过大量掷点统计落在两个区域的次数，用频率近似代替面积比，即可推导得出不规则图形的面积。
【解析】
(1)要判断游戏公平性，先计算双方获胜概率：
大圆面积为$π × 3^2=9π(\mathrm{m}^2)$，小圆面积为$π × 2^2=4π(\mathrm{m}^2)$，
阴影（圆环）面积为$9π-4π=5π(\mathrm{m}^2)$，
小红获胜的概率$P(\mathrm{小红胜})=\frac{5π}{9π}=\frac{5}{9}$，
小明获胜的概率$P(\mathrm{小明胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$，
因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，双方获胜概率不相等，所以游戏不公平。
(2)可以用频率估计概率的方法估算不规则图形面积，方案推导如下：
我们用面积为$S$的已知规则图形（如正方形）围住不规则图形，大量重复掷点试验后，统计得落进规则图形的总次数为$m$，落进不规则图形的次数为$n$。当试验次数足够大时，落进不规则图形的频率$\frac{n}{m}$近似等于其概率，而该概率等于不规则图形面积$S_1$与规则图形面积$S$的比值，因此可得$\frac{n}{m}\approx\frac{S_1}{S}$，整理得$S_1\approx\frac{nS}{m}$。
【答案】
5.解:(1)不公平.理由如下:
∵P(掷中阴影)=$\frac{9π-4π}{9π}$=$\frac{5}{9}$,即小红获胜的概率为$\frac{5}{9}$,
∴小明获胜的概率为1-$\frac{5}{9}$=$\frac{4}{9}$.
∵$\frac{5}{9}$＞$\frac{4}{9}$,
∴游戏对双方不公平.
(2)能利用频率估计概率的试验方法估算不规则图形的面积.
设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形,将不规则图形围起来(如正方形,其面积为S),如图所示.
②往图形中掷点(如蒙上眼,往图形中随意掷石子,掷在图形边界和图形外不做记录).
③当掷点次数充分大(如1万次),记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷入不规则图形内.
④设不规则图形的面积为$S_1$,用频率估计概率,即频率$P'$(掷入不规则图形内)=$\frac{n}{m}$≈概率$P$(掷入不规则图形内)=$\frac{S_1}{S}$,故$\frac{n}{m}$≈$\frac{S_1}{S}$.
∴$S_1$≈$\frac{nS}{m}$.
【知识点】
几何概率计算，频率估计概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率相关知识，既考查了学生对基础概率计算的掌握程度，又通过方案设计类问题引导学生将数学知识应用到实际问题中，有助于锻炼学生的知识迁移能力和实践探究能力。
【难度系数】
0.65
(1)判断游戏是否公平的核心是比较双方获胜概率是否相等。我们先根据圆的面积公式分别计算大圆、小圆的面积，再求出阴影圆环的面积，用阴影面积除以大圆面积得到小红获胜的概率，用1减去小红获胜的概率得到小明获胜的概率，比较两个概率大小即可判断游戏是否公平。
(2)估算不规则图形面积的核心是利用“大量重复试验时，事件发生的频率近似等于其发生的概率”的规律，结合几何概率“落进某区域的概率等于该区域面积与总区域面积的比值”的原理。我们先用面积已知的规则图形围住不规则图形，通过大量掷点统计落在两个区域的次数，用频率近似代替面积比，即可推导得出不规则图形的面积。
【解析】
(1)要判断游戏公平性，先计算双方获胜概率：
大圆面积为$π × 3^2=9π(\mathrm{m}^2)$，小圆面积为$π × 2^2=4π(\mathrm{m}^2)$，
阴影（圆环）面积为$9π-4π=5π(\mathrm{m}^2)$，
小红获胜的概率$P(\mathrm{小红胜})=\frac{5π}{9π}=\frac{5}{9}$，
小明获胜的概率$P(\mathrm{小明胜})=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$，
因为$\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$，双方获胜概率不相等，所以游戏不公平。
(2)可以用频率估计概率的方法估算不规则图形面积，方案推导如下：
我们用面积为$S$的已知规则图形（如正方形）围住不规则图形，大量重复掷点试验后，统计得落进规则图形的总次数为$m$，落进不规则图形的次数为$n$。当试验次数足够大时，落进不规则图形的频率$\frac{n}{m}$近似等于其概率，而该概率等于不规则图形面积$S_1$与规则图形面积$S$的比值，因此可得$\frac{n}{m}\approx\frac{S_1}{S}$，整理得$S_1\approx\frac{nS}{m}$。
【答案】
5.解:(1)不公平.理由如下:
∵P(掷中阴影)=$\frac{9π-4π}{9π}$=$\frac{5}{9}$,即小红获胜的概率为$\frac{5}{9}$,
∴小明获胜的概率为1-$\frac{5}{9}$=$\frac{4}{9}$.
∵$\frac{5}{9}$＞$\frac{4}{9}$,
∴游戏对双方不公平.
(2)能利用频率估计概率的试验方法估算不规则图形的面积.
设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形,将不规则图形围起来(如正方形,其面积为S),如图所示.
②往图形中掷点(如蒙上眼,往图形中随意掷石子,掷在图形边界和图形外不做记录).
③当掷点次数充分大(如1万次),记录并统计结果,设掷入正方形内m次,其中n次掷入不规则图形内.
④设不规则图形的面积为$S_1$,用频率估计概率,即频率$P'$(掷入不规则图形内)=$\frac{n}{m}$≈概率$P$(掷入不规则图形内)=$\frac{S_1}{S}$,故$\frac{n}{m}$≈$\frac{S_1}{S}$.
∴$S_1$≈$\frac{nS}{m}$.
【知识点】
几何概率计算，频率估计概率，游戏公平性判断
【点评】
本题结合生活场景考查概率相关知识，既考查了学生对基础概率计算的掌握程度，又通过方案设计类问题引导学生将数学知识应用到实际问题中，有助于锻炼学生的知识迁移能力和实践探究能力。
【难度系数】
0.65
