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7. 传统文化·甲骨文(2025·河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
）A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
7.B
解析
【分析】
本题为等可能事件的概率求解问题，解题可按以下思路进行：首先明确抽取规则是从4张背面相同的卡片中随机抽2张，属于不放回抽取且不考虑抽取顺序；接下来我们可以通过枚举法列出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；再统计出恰好抽到“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们将四张卡片分别标记：“美”记为A，“丽”记为B，“山”记为C，“河”记为D。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，枚举法计数，等可能事件
【点评】
本题结合甲骨文传统文化背景考查概率的基础计算，属于基础题型，解题时注意避免重复计数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
本题为等可能事件的概率求解问题，解题可按以下思路进行：首先明确抽取规则是从4张背面相同的卡片中随机抽2张，属于不放回抽取且不考虑抽取顺序；接下来我们可以通过枚举法列出所有等可能的抽取结果，统计总结果数；再统计出恰好抽到“丽”和“山”的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们将四张卡片分别标记：“美”记为A，“丽”记为B，“山”记为C，“河”记为D。
从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率计算公式可得，所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
概率公式，枚举法计数，等可能事件
【点评】
本题结合甲骨文传统文化背景考查概率的基础计算，属于基础题型，解题时注意避免重复计数即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
8.(2025·潍坊)如图,小莹对三个相连的方格进行涂色.在给每个方格涂色时,均从红、蓝两种颜色中随机选取一种,那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是 (
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
8.C
解析
【分析】
要解决这个概率问题，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题思路为：第一步先求出三个方格所有可能的涂色结果总数；第二步找出“相邻两个方格颜色不同”的结果数；最后根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用R代表红色，B代表蓝色，列举出三个方格所有等可能的涂色结果：
$(R,R,R)$、$(R,R,B)$、$(R,B,R)$、$(R,B,B)$、$(B,R,R)$、$(B,R,B)$、$(B,B,R)$、$(B,B,B)$，共8种。
其中满足“相邻两个方格所涂颜色不同”的结果有：$(R,B,R)$、$(B,R,B)$，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，解题的核心是通过列举法不重不漏地列出所有可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，是概率章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个概率问题，首先明确这是等可能事件的概率计算问题，解题思路为：第一步先求出三个方格所有可能的涂色结果总数；第二步找出“相邻两个方格颜色不同”的结果数；最后根据概率公式“P(事件)=符合条件的结果数/所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
我们用R代表红色，B代表蓝色，列举出三个方格所有等可能的涂色结果：
$(R,R,R)$、$(R,R,B)$、$(R,B,R)$、$(R,B,B)$、$(B,R,R)$、$(B,R,B)$、$(B,B,R)$、$(B,B,B)$，共8种。
其中满足“相邻两个方格所涂颜色不同”的结果有：$(R,B,R)$、$(B,R,B)$，共2种。
根据概率公式可得，所求概率为 $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题考查等可能事件的概率计算，解题的核心是通过列举法不重不漏地列出所有可能的结果，再结合概率公式计算对应事件的概率，是概率章节的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 新考向·跨学科融合 化学实验课上，张老师带来了Mg(镁)、Al(铝)、Zn(锌)、Cu(铜)四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气(根据金属活动性顺序可知：Mg，Al，Zn可以置换出氢气，而Cu不能置换出氢气)。小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属进行实验，则二人所选金属均能置换出氢气的概率是
$\frac{9}{16}$
。答案
9.$\frac{9}{16}$
解析
【分析】
要计算二人所选金属均能置换出氢气的概率，首先明确该事件为两步等可能试验：第一步小明从4种金属中选1种，第二步小红从4种金属中选1种。先梳理已知条件：能置换出氢气的金属有Mg、Al、Zn共3种，不能置换的仅Cu1种。解题时先计算二人选择的所有等可能结果总数，再计算两人都选到可制氢金属的符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）即可求解。
【解析】
解：由题意可知，能与盐酸反应置换出氢气的金属有3种，不能置换出氢气的金属有1种。
小明从4种金属中随机选1种，有4种等可能的结果；小红同样从4种金属中随机选1种，也有4种等可能的结果，因此两人选择的所有等可能结果总数量为：$4 × 4 = 16$种。
若二人所选金属均能置换出氢气，则小明可从3种可制氢的金属中任选1种，有3种结果，小红同理也有3种结果，因此符合条件的结果数量为：$3 × 3 = 9$种。
根据等可能事件的概率公式，可得二人所选金属均能置换出氢气的概率为：$P = \frac{9}{16}$。
【答案】
$\frac{9}{16}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 两步试验概率求解
【点评】
本题属于跨学科融合题型，结合化学中金属活动性的常识考查概率的基础计算，解题的关键是先明确可制氢的金属种类，再准确计算总结果数和符合要求的结果数，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
要计算二人所选金属均能置换出氢气的概率，首先明确该事件为两步等可能试验：第一步小明从4种金属中选1种，第二步小红从4种金属中选1种。先梳理已知条件：能置换出氢气的金属有Mg、Al、Zn共3种，不能置换的仅Cu1种。解题时先计算二人选择的所有等可能结果总数，再计算两人都选到可制氢金属的符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式（概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数）即可求解。
【解析】
解：由题意可知，能与盐酸反应置换出氢气的金属有3种，不能置换出氢气的金属有1种。
小明从4种金属中随机选1种，有4种等可能的结果；小红同样从4种金属中随机选1种，也有4种等可能的结果，因此两人选择的所有等可能结果总数量为：$4 × 4 = 16$种。
若二人所选金属均能置换出氢气，则小明可从3种可制氢的金属中任选1种，有3种结果，小红同理也有3种结果，因此符合条件的结果数量为：$3 × 3 = 9$种。
根据等可能事件的概率公式，可得二人所选金属均能置换出氢气的概率为：$P = \frac{9}{16}$。
【答案】
$\frac{9}{16}$
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 两步试验概率求解
【点评】
本题属于跨学科融合题型，结合化学中金属活动性的常识考查概率的基础计算，解题的关键是先明确可制氢的金属种类，再准确计算总结果数和符合要求的结果数，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
10. A教材经典设问 同时掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：
(1)至少有一枚骰子的点数为3.
(2)两枚骰子的点数之和为偶数.
(3)两枚骰子的点数之和小于5.
(1)至少有一枚骰子的点数为3.
(2)两枚骰子的点数之和为偶数.
(3)两枚骰子的点数之和小于5.
答案
10. 解:同时掷两枚质地均匀的骰子,共有$6×6=36$(种)等可能的结果,列表略.(1)由表格可知,至少有一枚点数为3的概率为$\frac{11}{36}$.
(2)点数之和为偶数的情况:两数均为奇数或两数均为偶数.由表格可知,所有符合条件的结果数为$9+9=18$.
∴点数之和为偶数的概率为$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.(3)两枚骰子的点数之和小于5的情况:和为2,3,4.和为2:(1,1),共1种.和为3:(1,2),(2,1),共2种.和为4:(1,3),(2,2),(3,1),共3种.所有符合条件的结果数为$1+2+3=6$.
∴点数之和小于5的概率为$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
(2)点数之和为偶数的情况:两数均为奇数或两数均为偶数.由表格可知,所有符合条件的结果数为$9+9=18$.
∴点数之和为偶数的概率为$\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$.(3)两枚骰子的点数之和小于5的情况:和为2,3,4.和为2:(1,1),共1种.和为3:(1,2),(2,1),共2种.和为4:(1,3),(2,2),(3,1),共3种.所有符合条件的结果数为$1+2+3=6$.
∴点数之和小于5的概率为$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
这是古典概型的概率计算问题，解题思路分三步：第一步先确定所有等可能的总结果数，同时掷两枚骰子，每枚骰子有6种点数结果，且结果相互独立，因此总共有$6×6=36$种等可能的结果；第二步分别针对三个事件，有序枚举符合事件要求的结果数，注意避免重复计数或漏算；第三步根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{总结果数}$计算各事件的概率。
(1)计算“至少有一枚骰子点数为3”的结果数时，需注意不要重复计数两枚都为3的情况；
(2)“点数和为偶数”的情况可分类讨论：两枚均为奇数、两枚均为偶数，两类情况无重叠，分别计数后相加即可；
(3)“点数和小于5”的情况可按和为2、3、4分类枚举，再汇总符合条件的结果数。
【解析】
解：同时掷两枚质地均匀的骰子，所有可能出现的结果共有$6×6=36$种，且每种结果出现的可能性相等。
(1) 符合“至少有一枚骰子的点数为3”的结果有：第一枚点数为3、第二枚不为3的5种，第二枚点数为3、第一枚不为3的5种，两枚点数均为3的1种，共$5+5+1=11$种。
∴ $P(至少有一枚骰子的点数为3)=\frac{11}{36}$。
(2) 点数之和为偶数的情况分为两类：①两枚点数均为奇数，每枚骰子奇数点数有3种，共$3×3=9$种结果；②两枚点数均为偶数，同样有$3×3=9$种结果。符合条件的结果共$9+9=18$种。
∴ $P(两枚骰子的点数之和为偶数)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$。
(3) 两枚骰子的点数之和小于5，即和为2、3、4：①和为2，仅(1,1)1种结果；②和为3，有(1,2)、(2,1)共2种结果；③和为4，有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3种结果。符合条件的结果共$1+2+3=6$种。
∴ $P(两枚骰子的点数之和小于5)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{36}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) $\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率、分类计数原理
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对古典概型的理解和有序枚举结果的能力，解题时要注意分类计数时不重不漏，比如计算“至少一枚点数为3”时不要重复计数两枚都是3的情况，合理运用分类讨论的思想能有效降低计数的错误率。
【难度系数】
0.75
这是古典概型的概率计算问题，解题思路分三步：第一步先确定所有等可能的总结果数，同时掷两枚骰子，每枚骰子有6种点数结果，且结果相互独立，因此总共有$6×6=36$种等可能的结果；第二步分别针对三个事件，有序枚举符合事件要求的结果数，注意避免重复计数或漏算；第三步根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{事件A包含的结果数}{总结果数}$计算各事件的概率。
(1)计算“至少有一枚骰子点数为3”的结果数时，需注意不要重复计数两枚都为3的情况；
(2)“点数和为偶数”的情况可分类讨论：两枚均为奇数、两枚均为偶数，两类情况无重叠，分别计数后相加即可；
(3)“点数和小于5”的情况可按和为2、3、4分类枚举，再汇总符合条件的结果数。
【解析】
解：同时掷两枚质地均匀的骰子，所有可能出现的结果共有$6×6=36$种，且每种结果出现的可能性相等。
(1) 符合“至少有一枚骰子的点数为3”的结果有：第一枚点数为3、第二枚不为3的5种，第二枚点数为3、第一枚不为3的5种，两枚点数均为3的1种，共$5+5+1=11$种。
∴ $P(至少有一枚骰子的点数为3)=\frac{11}{36}$。
(2) 点数之和为偶数的情况分为两类：①两枚点数均为奇数，每枚骰子奇数点数有3种，共$3×3=9$种结果；②两枚点数均为偶数，同样有$3×3=9$种结果。符合条件的结果共$9+9=18$种。
∴ $P(两枚骰子的点数之和为偶数)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$。
(3) 两枚骰子的点数之和小于5，即和为2、3、4：①和为2，仅(1,1)1种结果；②和为3，有(1,2)、(2,1)共2种结果；③和为4，有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3种结果。符合条件的结果共$1+2+3=6$种。
∴ $P(两枚骰子的点数之和小于5)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{11}{36}$；(2) $\frac{1}{2}$；(3) $\frac{1}{6}$
【知识点】
等可能事件概率计算、列举法求概率、分类计数原理
【点评】
本题是概率计算的基础题型，核心考查对古典概型的理解和有序枚举结果的能力，解题时要注意分类计数时不重不漏，比如计算“至少一枚点数为3”时不要重复计数两枚都是3的情况，合理运用分类讨论的思想能有效降低计数的错误率。
【难度系数】
0.75
11.有4张正面分别写有数－2，－1，0，1的卡片，它们的背面完全相同，现将这4张卡片背面朝上洗匀.
(1)从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数的绝对值不大于1的概率是多少？
(2)先从中任意抽取一张卡片，以其正面的数作为m的值，再从剩余的卡片中随机抽取一张，以其正面的数作为n的值，请用列表或画树状图的方法，求点A(m,n)在第三象限的概率.
(1)从中任意抽取一张卡片，则所抽卡片上数的绝对值不大于1的概率是多少？
(2)先从中任意抽取一张卡片，以其正面的数作为m的值，再从剩余的卡片中随机抽取一张，以其正面的数作为n的值，请用列表或画树状图的方法，求点A(m,n)在第三象限的概率.
答案
11. 解:(1)由题意知,共有4种等可能的结果,其中所抽卡片上数的绝对值不大于1的结果有:－1,0,1,共3种,
∴从中任意抽取一张卡片,所抽卡片上数的绝对值不大于1的概率是$\frac{3}{4}$.(2)列表略.共有12种等可能的结果,其中点$A(m,n)$在第三象限的结果有:(－2,－1),(－1,－2),共2种,
∴点$A(m,n)$在第三象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
∴从中任意抽取一张卡片,所抽卡片上数的绝对值不大于1的概率是$\frac{3}{4}$.(2)列表略.共有12种等可能的结果,其中点$A(m,n)$在第三象限的结果有:(－2,－1),(－1,－2),共2种,
∴点$A(m,n)$在第三象限的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
(1) 求解第一问需先明确简单概率的计算公式：$P(A)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$。首先确定抽取1张卡片的总等可能结果数为4，再筛选出绝对值不大于1的数的个数，代入公式即可得出结果。
(2) 第二问为不放回的两步随机试验，需用列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的$(m,n)$组合，再结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均小于0）筛选出符合条件的组合，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 任意抽取1张卡片时，共有4种等可能的结果：$-2,-1,0,1$。
其中绝对值不大于1的数有$-1,0,1$，共3种结果。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{所抽卡片上数的绝对值不大于1})=\frac{3}{4}$。
(2) 依题意为不放回抽取，列表如下：
| $m\setminus n$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|----|----|----|----|----|
| $-2$ | / | $(-2,-1)$ | $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| $-1$ | $(-1,-2)$ | / | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| $0$ | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | / | $(0,1)$ |
| $1$ | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | / |
由表格可知，共有12种等可能的结果。
第三象限内的点满足$m＜0$且$n＜0$，符合条件的结果有$(-2,-1)$、$(-1,-2)$，共2种。
因此$P(\mathrm{点}A(m,n)\mathrm{在第三象限})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；象限内点的坐标特征
【点评】
本题为概率基础应用题，第一问结合绝对值性质考查简单概率计算，第二问需要注意是不放回抽取，列举结果时要做到不重复、不遗漏，牢记各象限内点的坐标特征即可准确筛选出符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问需先明确简单概率的计算公式：$P(A)=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的总结果数}$。首先确定抽取1张卡片的总等可能结果数为4，再筛选出绝对值不大于1的数的个数，代入公式即可得出结果。
(2) 第二问为不放回的两步随机试验，需用列表法或树状图法不重不漏地列举出所有等可能的$(m,n)$组合，再结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均小于0）筛选出符合条件的组合，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 任意抽取1张卡片时，共有4种等可能的结果：$-2,-1,0,1$。
其中绝对值不大于1的数有$-1,0,1$，共3种结果。
根据概率公式可得：$P(\mathrm{所抽卡片上数的绝对值不大于1})=\frac{3}{4}$。
(2) 依题意为不放回抽取，列表如下：
| $m\setminus n$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|----|----|----|----|----|
| $-2$ | / | $(-2,-1)$ | $(-2,0)$ | $(-2,1)$ |
| $-1$ | $(-1,-2)$ | / | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| $0$ | $(0,-2)$ | $(0,-1)$ | / | $(0,1)$ |
| $1$ | $(1,-2)$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | / |
由表格可知，共有12种等可能的结果。
第三象限内的点满足$m＜0$且$n＜0$，符合条件的结果有$(-2,-1)$、$(-1,-2)$，共2种。
因此$P(\mathrm{点}A(m,n)\mathrm{在第三象限})=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式；列表法求概率；象限内点的坐标特征
【点评】
本题为概率基础应用题，第一问结合绝对值性质考查简单概率计算，第二问需要注意是不放回抽取，列举结果时要做到不重复、不遗漏，牢记各象限内点的坐标特征即可准确筛选出符合条件的结果。
【难度系数】
0.8
