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5. 一场赛龙舟比赛途中经过一座拱桥，该桥露出水面的主桥拱的示意图如图26.4-14所示，可看作抛物线的一部分，建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与到点$O$的水平距离$x$(单位：$\mathrm{m}$)近似满足二次函数关系. 已知水面的宽度$OA$为$30\ \mathrm{m}$，拱桥最高处到水面的距离$BC$为$9\ \mathrm{m}$.
(1) 求桥拱上的点到水面的竖直高度$y$与到点$O$的水平距离$x$满足的二次函数解析式.
(2) 据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为$1.5\ \mathrm{m}$. 龙舟最高处距离水面$2.5\ \mathrm{m}$. 为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为$2.5\ \mathrm{m}$. 10条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
(1) 求桥拱上的点到水面的竖直高度$y$与到点$O$的水平距离$x$满足的二次函数解析式.
(2) 据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为$1.5\ \mathrm{m}$. 龙舟最高处距离水面$2.5\ \mathrm{m}$. 为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为$2.5\ \mathrm{m}$. 10条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？
答案
(1) 由题意，得抛物线的顶点 C 的坐标为(15，9)，点 A 的坐标为(30，0).
设二次函数解析式为 $y=a(x-15)^2+9$.
将点 A(30，0) 代入，得 $0=a(30-15)^2+9$.
解得 $a=-0.04$.
∴二次函数解析式为 $y=-0.04(x-15)^2+9$.
(2) $2.5+2.5=5(\mathrm{m})$. 由题意，当 $y=5$ 时，
$-0.04(x-15)^2+9=5$.
解方程，得 $x_1=25$，$x_2=5$.
∴可设计成赛道的宽度为 $25-5=20(\mathrm{m})$.
∵$\frac{20}{1.5}=\frac{40}{3}＞10$,
∴10条龙舟(不考虑龙舟之间的间隔)可以同时通过桥洞.
设二次函数解析式为 $y=a(x-15)^2+9$.
将点 A(30，0) 代入，得 $0=a(30-15)^2+9$.
解得 $a=-0.04$.
∴二次函数解析式为 $y=-0.04(x-15)^2+9$.
(2) $2.5+2.5=5(\mathrm{m})$. 由题意，当 $y=5$ 时，
$-0.04(x-15)^2+9=5$.
解方程，得 $x_1=25$，$x_2=5$.
∴可设计成赛道的宽度为 $25-5=20(\mathrm{m})$.
∵$\frac{20}{1.5}=\frac{40}{3}＞10$,
∴10条龙舟(不考虑龙舟之间的间隔)可以同时通过桥洞.
解析
【分析】
(1) 求二次函数解析式首先要确定关键点坐标：已知OA=30m，可得点A坐标为(30,0)，抛物线对称轴为OA的中垂线x=15，结合最高点C到水面距离9m，得顶点C坐标为(15,9)。已知顶点坐标，选择顶点式设二次函数解析式，代入点A坐标即可求出未知参数a，得到解析式。
(2) 要判断10条龙舟能否同时通过，先计算安全通行所需的最小桥拱高度：龙舟最高处距水面2.5m，且需预留至少2.5m的竖直安全距离，因此对应桥拱的高度y=2.5+2.5=5m。将y=5代入已求出的解析式，得到对应的两个x值，两值的差即为可通行赛道的总宽度，再和10条龙舟的总宽度比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线顶点C的坐标为(15，9)，点A的坐标为(30，0)。
设二次函数解析式为顶点式：$y=a(x-15)^2+9$（$a≠0$）
将A(30，0)代入解析式得：
$0=a(30-15)^2+9$
解得：$a=-0.04$
因此二次函数解析式为 $y=-0.04(x-15)^2+9$（$0≤x≤30$）
(2) 安全通行时桥拱对应高度为：$2.5+2.5=5\ \mathrm{m}$
将$y=5$代入解析式得：
$-0.04(x-15)^2+9=5$
整理得：$(x-15)^2=100$
解得：$x_1=25$，$x_2=5$
即可通行的赛道宽度为：$25-5=20\ \mathrm{m}$
10条龙舟并排的总宽度为：$10×1.5=15\ \mathrm{m}$
因为$20＞15$，所以10条龙舟可以同时通过桥洞。
【答案】
(1) $y=-0.04(x-15)^2+9$
(2) 10条龙舟可以同时通过桥洞
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的数量关系转化为二次函数的相关计算，锻炼了学生将实际问题抽象为数学模型的能力，解题时需注意准确提取题目中的条件转化为数学量。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数解析式首先要确定关键点坐标：已知OA=30m，可得点A坐标为(30,0)，抛物线对称轴为OA的中垂线x=15，结合最高点C到水面距离9m，得顶点C坐标为(15,9)。已知顶点坐标，选择顶点式设二次函数解析式，代入点A坐标即可求出未知参数a，得到解析式。
(2) 要判断10条龙舟能否同时通过，先计算安全通行所需的最小桥拱高度：龙舟最高处距水面2.5m，且需预留至少2.5m的竖直安全距离，因此对应桥拱的高度y=2.5+2.5=5m。将y=5代入已求出的解析式，得到对应的两个x值，两值的差即为可通行赛道的总宽度，再和10条龙舟的总宽度比较即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意可知，抛物线顶点C的坐标为(15，9)，点A的坐标为(30，0)。
设二次函数解析式为顶点式：$y=a(x-15)^2+9$（$a≠0$）
将A(30，0)代入解析式得：
$0=a(30-15)^2+9$
解得：$a=-0.04$
因此二次函数解析式为 $y=-0.04(x-15)^2+9$（$0≤x≤30$）
(2) 安全通行时桥拱对应高度为：$2.5+2.5=5\ \mathrm{m}$
将$y=5$代入解析式得：
$-0.04(x-15)^2+9=5$
整理得：$(x-15)^2=100$
解得：$x_1=25$，$x_2=5$
即可通行的赛道宽度为：$25-5=20\ \mathrm{m}$
10条龙舟并排的总宽度为：$10×1.5=15\ \mathrm{m}$
因为$20＞15$，所以10条龙舟可以同时通过桥洞。
【答案】
(1) $y=-0.04(x-15)^2+9$
(2) 10条龙舟可以同时通过桥洞
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是将实际问题中的数量关系转化为二次函数的相关计算，锻炼了学生将实际问题抽象为数学模型的能力，解题时需注意准确提取题目中的条件转化为数学量。
【难度系数】
0.7
