登录
1. (★)函数是描述现实世界中和的数学模型. 利用一次函数可以表示一个变量随另一个变量的关系.
答案
解：
运动变化
对应关系
均匀变化
运动变化
对应关系
均匀变化
解析
【分析】
这道题属于概念识记类题目，解题时只需回忆函数和一次函数的基本定义即可：首先明确函数的核心作用是刻画变化过程中变量的关联特征，再结合一次函数的变化规律确定第三个空的内容。
【解析】
根据函数的相关定义：函数用于反映变化过程中两个变量的对应关系，因此是描述现实世界中运动变化和对应关系的数学模型；一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），其因变量随自变量的变化率是固定值，因此可以表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系。
【答案】
运动变化；对应关系；均匀变化
【知识点】
函数的概念；一次函数的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆，只要熟练掌握相关基础概念就能快速答对。
【难度系数】
0.9
这道题属于概念识记类题目，解题时只需回忆函数和一次函数的基本定义即可：首先明确函数的核心作用是刻画变化过程中变量的关联特征，再结合一次函数的变化规律确定第三个空的内容。
【解析】
根据函数的相关定义：函数用于反映变化过程中两个变量的对应关系，因此是描述现实世界中运动变化和对应关系的数学模型；一次函数的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$，$k$、$b$为常数），其因变量随自变量的变化率是固定值，因此可以表示一个变量随另一个变量均匀变化的关系。
【答案】
运动变化；对应关系；均匀变化
【知识点】
函数的概念；一次函数的特征
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对核心定义的记忆，只要熟练掌握相关基础概念就能快速答对。
【难度系数】
0.9
2. (★)(1)正方形的边长为4,若边长增加x,则面积对应增加y.显然,x和y都是变量,而且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的.根据正方形面积公式,它们之间的关系可以表示为,即.
(2)九年级某班共有x名同学,在开学见面会时每两名同学都握手一次,若共握手y次,则y与x之间的关系式是,即.
上述式子中的x和y都是变量,而且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的.
(3)问题(1)和(2)中,函数都是用自变量的表示的.一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的、和.
(2)九年级某班共有x名同学,在开学见面会时每两名同学都握手一次,若共握手y次,则y与x之间的关系式是,即.
上述式子中的x和y都是变量,而且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,即y是x的.
(3)问题(1)和(2)中,函数都是用自变量的表示的.一般地,形如(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫作二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的、和.
答案
解：
(1) 函数；$y=(4+x)^2 - 4^2$；$y=x^2+8x$
(2) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$；$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；函数
(3) 二次式；$y=ax^2+bx+c$；二次项系数；一次项系数；常数项
(1) 函数；$y=(4+x)^2 - 4^2$；$y=x^2+8x$
(2) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$；$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；函数
(3) 二次式；$y=ax^2+bx+c$；二次项系数；一次项系数；常数项
解析
【分析】
解题时先回忆相关基础概念：①函数定义：变化过程中，对自变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数；②二次函数的定义、一般形式及各部分名称。
(1) 先求边长增加后的正方形面积，减去原正方形面积得到面积增量y，再化简表达式即可。
(2) 握手为不重复计数问题：x名同学每人与其余(x-1)人握手，每次握手被重复计算2次，因此总次数要除以2，列表达式后化简，再结合函数定义判断y与x的关系。
(3) 观察前两问的函数表达式特征，对应回忆二次函数的相关概念填空即可。
【解析】
(1) 根据函数定义，x每取一个确定值，y都有唯一确定值对应，因此y是x的函数；
原正方形面积为$4^2$，边长增加x后面积为$(4+x)^2$，因此面积增量$y=(4+x)^2 - 4^2$，展开化简得$y=x^2+8x$。
(2) 总握手次数需排除重复计数，因此$y=\frac{1}{2}x(x-1)$，展开化简得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；结合函数定义可得y是x的函数。
(3) 前两问的函数都用自变量的二次式表示；二次函数一般形式为$y=ax^2+bx+c$（a,b,c为常数，$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
【答案】
(1) 函数；$y=(4+x)^2 - 4^2$；$y=x^2+8x$
(2) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$；$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；函数
(3) 二次式；$y=ax^2+bx+c$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
函数的定义，二次函数的概念，实际问题列函数关系式
【点评】
本题属于基础概念考察题，结合常见的生活场景引导学生理解二次函数的形成过程，熟练掌握相关基础定义即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆相关基础概念：①函数定义：变化过程中，对自变量x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数；②二次函数的定义、一般形式及各部分名称。
(1) 先求边长增加后的正方形面积，减去原正方形面积得到面积增量y，再化简表达式即可。
(2) 握手为不重复计数问题：x名同学每人与其余(x-1)人握手，每次握手被重复计算2次，因此总次数要除以2，列表达式后化简，再结合函数定义判断y与x的关系。
(3) 观察前两问的函数表达式特征，对应回忆二次函数的相关概念填空即可。
【解析】
(1) 根据函数定义，x每取一个确定值，y都有唯一确定值对应，因此y是x的函数；
原正方形面积为$4^2$，边长增加x后面积为$(4+x)^2$，因此面积增量$y=(4+x)^2 - 4^2$，展开化简得$y=x^2+8x$。
(2) 总握手次数需排除重复计数，因此$y=\frac{1}{2}x(x-1)$，展开化简得$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；结合函数定义可得y是x的函数。
(3) 前两问的函数都用自变量的二次式表示；二次函数一般形式为$y=ax^2+bx+c$（a,b,c为常数，$a≠0$），其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
【答案】
(1) 函数；$y=(4+x)^2 - 4^2$；$y=x^2+8x$
(2) $y=\frac{1}{2}x(x-1)$；$y=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x$；函数
(3) 二次式；$y=ax^2+bx+c$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
函数的定义，二次函数的概念，实际问题列函数关系式
【点评】
本题属于基础概念考察题，结合常见的生活场景引导学生理解二次函数的形成过程，熟练掌握相关基础定义即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
3. (★)二次函数$y=x^2 -6x -1$的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。
答案
解：
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的定义：
二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
对比$y=x^2-6x-1$可得：
二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-6}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$。
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的定义：
二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
对比$y=x^2-6x-1$可得：
二次项系数是$\boldsymbol{1}$，一次项系数是$\boldsymbol{-6}$，常数项是$\boldsymbol{-1}$。
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次函数的一般形式及各项系数的定义，二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，识别时要注意保留各项前面的符号，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应即可得出结果。
【解析】
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的定义：
二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
将二次函数$y=x^2 -6x -1$与一般形式对比可得：
二次项$x^2$的系数是$1$，一次项$-6x$的系数是$-6$，不含字母的常数项是$-1$。
【答案】
1；-6；-1
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数各项系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次函数各项系数的判断，解题时需注意各项前面的符号，避免因忽略负号出现错误，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆二次函数的一般形式及各项系数的定义，二次函数的标准形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，识别时要注意保留各项前面的符号，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应即可得出结果。
【解析】
根据二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a,b,c$为常数）的定义：
二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$。
将二次函数$y=x^2 -6x -1$与一般形式对比可得：
二次项$x^2$的系数是$1$，一次项$-6x$的系数是$-6$，不含字母的常数项是$-1$。
【答案】
1；-6；-1
【知识点】
二次函数的一般形式；二次函数各项系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对二次函数各项系数的判断，解题时需注意各项前面的符号，避免因忽略负号出现错误，是二次函数章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.9
4. (★)下列函数一定属于二次函数的是
【 】
A.$y=(x-1)^2+2$
B.$y=ax^2+2x+3$
C.$y=2x+3$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
【 】
A.$y=(x-1)^2+2$
B.$y=ax^2+2x+3$
C.$y=2x+3$
D.$y=x^2+\dfrac{1}{x}$
答案
A
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要牢记二次函数的定义及判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们用这三个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：将表达式展开得$y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3$，符合二次函数的形式，且二次项系数$a=1≠0$，是整式函数，自变量最高次数为2，一定是二次函数。
选项B：表达式中未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为$y=2x+3$，是一次函数，因此不一定是二次函数。
选项C：$y=2x+3$中自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
选项D：表达式中$\frac{1}{x}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数的要求。
综上，只有选项A一定属于二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解，解题时要特别注意二次项系数不为0、函数为整式这两个易漏的判定条件，避免误选B、D选项。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要牢记二次函数的定义及判定条件：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们用这三个条件逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：将表达式展开得$y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3$，符合二次函数的形式，且二次项系数$a=1≠0$，是整式函数，自变量最高次数为2，一定是二次函数。
选项B：表达式中未说明$a≠0$，若$a=0$，函数变为$y=2x+3$，是一次函数，因此不一定是二次函数。
选项C：$y=2x+3$中自变量最高次数为1，属于一次函数，不是二次函数。
选项D：表达式中$\frac{1}{x}$是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数的要求。
综上，只有选项A一定属于二次函数。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、一次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解，解题时要特别注意二次项系数不为0、函数为整式这两个易漏的判定条件，避免误选B、D选项。
【难度系数】
0.9
5. (★)已知$y=(m-3)x^{|m-1|}$(m为常数)是y关于x的二次函数，那么m的值是
【 】
A.3
B.-1
C.-3
D.3或-1
【 】
A.3
B.-1
C.-3
D.3或-1
答案
B
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数就不再是二次函数）。我们可以先根据x的次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
∵ $y=(m-3)x^{|m-1|}$是y关于x的二次函数
∴ 依据二次函数定义可得两个条件：
1. x的次数为2：$|m-1|=2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，解得$m=3$；
当$m-1=-2$时，解得$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：$m-3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$。
结合两个条件，排除$m=3$，因此$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考法，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要牢记二次函数的两个判定要点，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，函数就不再是二次函数）。我们可以先根据x的次数要求列方程求出m的可能取值，再根据系数不为0的限制排除不符合的取值，最终得到正确结果。
【解析】
∵ $y=(m-3)x^{|m-1|}$是y关于x的二次函数
∴ 依据二次函数定义可得两个条件：
1. x的次数为2：$|m-1|=2$
解绝对值方程：
当$m-1=2$时，解得$m=3$；
当$m-1=-2$时，解得$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：$m-3 ≠ 0$，即$m ≠ 3$。
结合两个条件，排除$m=3$，因此$m=-1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础考法，易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，误选D选项，解题时要牢记二次函数的两个判定要点，避免漏看限制条件出错。
【难度系数】
0.7
6. (★)下列函数关系是二次函数的是
【 】
A.生产100 t钢材,工作效率x和工作时间y之间的关系
B.当速度为100 km/h时,汽车行驶的路程s(单位:km)与时间t(单位:h)之间的关系
C.长方形的周长一定时,长方形的长y与宽x之间的关系
D.圆的面积S与半径r之间的关系
【 】
A.生产100 t钢材,工作效率x和工作时间y之间的关系
B.当速度为100 km/h时,汽车行驶的路程s(单位:km)与时间t(单位:h)之间的关系
C.长方形的周长一定时,长方形的长y与宽x之间的关系
D.圆的面积S与半径r之间的关系
答案
D
解析
【分析】
要判断哪个选项是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。解题时先根据每个选项的实际意义列出对应的函数关系式，再结合二次函数、一次函数、反比例函数的定义逐一判断即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：工作总量=工作效率×工作时间，已知工作总量为100t，因此$xy=100$，整理得$y=\frac{100}{x}$，属于反比例函数，不符合二次函数定义。
B选项：路程=速度×时间，速度为100km/h，因此$s=100t$，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合二次函数定义。
C选项：长方形周长$=2×（长+宽）$，设周长为定值$C$，因此$2(x+y)=C$，整理得$y=-x+\frac{C}{2}$，属于一次函数，不符合二次函数定义。
D选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，符合二次函数的形式（$a=π≠0$，无一次项和常数项），属于二次函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一次函数的定义
3. 反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对不同类型函数定义的区分能力，解题核心是先结合实际情境列出函数表达式，再对照各类函数的定义判断即可，掌握常见函数的定义特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断哪个选项是二次函数，首先需明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。解题时先根据每个选项的实际意义列出对应的函数关系式，再结合二次函数、一次函数、反比例函数的定义逐一判断即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：工作总量=工作效率×工作时间，已知工作总量为100t，因此$xy=100$，整理得$y=\frac{100}{x}$，属于反比例函数，不符合二次函数定义。
B选项：路程=速度×时间，速度为100km/h，因此$s=100t$，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合二次函数定义。
C选项：长方形周长$=2×（长+宽）$，设周长为定值$C$，因此$2(x+y)=C$，整理得$y=-x+\frac{C}{2}$，属于一次函数，不符合二次函数定义。
D选项：圆的面积公式为$S=π r^2$，符合二次函数的形式（$a=π≠0$，无一次项和常数项），属于二次函数。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一次函数的定义
3. 反比例函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察对不同类型函数定义的区分能力，解题核心是先结合实际情境列出函数表达式，再对照各类函数的定义判断即可，掌握常见函数的定义特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
7. (★★)某工厂7月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为x，如果第三季度共生产零件y万个，那么y关于x的函数解析式是
【 】
A.$y=50(1+x)^2$
B.$y=50+50(1+x)$
C.$y=50(1+x)+50(1+x)^2$
D.$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$
【 】
A.$y=50(1+x)^2$
B.$y=50+50(1+x)$
C.$y=50(1+x)+50(1+x)^2$
D.$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月产量和月平均增长率，我们可以先依次求出8月、9月的产量，再将三个月产量相加即可得到y与x的函数解析式。要注意避免误将9月的单独产量当成第三季度总产量的误区。
【解析】
首先，第三季度包含7月、8月、9月，三个月产量之和即为第三季度总产量：
1. 已知7月份产量为50万个；
2. 因为平均每月增长率为x，所以8月份产量是7月份的$(1+x)$倍，即8月份产量为$50(1+x)$万个；
3. 9月份产量是在8月份产量的基础上再增长x，因此9月份产量为$50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$万个；
4. 第三季度总产量$y = 7月产量 + 8月产量 + 9月产量$，代入得：$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，列函数解析式，实际问题求和
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题核心是明确统计周期包含的时间节点，按增长率的计算规则依次求出各阶段的量再求和，常见易错点是误将最后一个月的产量当成整个周期的总产量。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第三季度包含7、8、9三个月，总产量为三个月产量之和。已知7月产量和月平均增长率，我们可以先依次求出8月、9月的产量，再将三个月产量相加即可得到y与x的函数解析式。要注意避免误将9月的单独产量当成第三季度总产量的误区。
【解析】
首先，第三季度包含7月、8月、9月，三个月产量之和即为第三季度总产量：
1. 已知7月份产量为50万个；
2. 因为平均每月增长率为x，所以8月份产量是7月份的$(1+x)$倍，即8月份产量为$50(1+x)$万个；
3. 9月份产量是在8月份产量的基础上再增长x，因此9月份产量为$50(1+x) × (1+x) = 50(1+x)^2$万个；
4. 第三季度总产量$y = 7月产量 + 8月产量 + 9月产量$，代入得：$y=50+50(1+x)+50(1+x)^2$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平均增长率问题，列函数解析式，实际问题求和
【点评】
本题是增长率类的基础应用题，解题核心是明确统计周期包含的时间节点，按增长率的计算规则依次求出各阶段的量再求和，常见易错点是误将最后一个月的产量当成整个周期的总产量。
【难度系数】
0.8
