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【例 1】如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=10$,$BC=6$,$EF$为$AB$的垂直平分线,求$AE$的长.
解题思路:连接$BE$,设$AE=x$,则$BE=x$,$CE=$
根据勾股定理,得$CE^2+BC^2=BE^2$,可列方程为
解得$x=$
解题思路:连接$BE$,设$AE=x$,则$BE=x$,$CE=$
$10-x$
.根据勾股定理,得$CE^2+BC^2=BE^2$,可列方程为
$(10-x)^2+6^2=x^2$
.解得$x=$
$\frac{34}{5}$
.答案
例1：$10-x$；$(10-x)^2+6^2=x^2$；$\frac{34}{5}$
解析
【分析】
遇到垂直平分线相关的几何计算问题，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接BE后可推出AE=BE。我们设AE的长为x，那么BE的长也为x，CE的长度就是AC减去AE的长度。由于△BCE是直角三角形，可根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
连接BE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
设$AE=x$，则$BE=x$，
∵AC=10，
∴$CE=AC-AE=10-x$，
又
∵∠C=90°，BC=6，
∴在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$CE^2+BC^2=BE^2$，
代入数值列方程为：$(10-x)^2+6^2=x^2$，
展开计算：$100-20x+x^2+36=x^2$，
移项合并同类项得：$20x=136$，
解得：$x=\frac{34}{5}$。
【答案】
$10-x$；$(10-x)^2+6^2=x^2$；$\frac{34}{5}$
【知识点】
垂直平分线性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型题型，通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，结合勾股定理建立方程即可求解，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
遇到垂直平分线相关的几何计算问题，首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接BE后可推出AE=BE。我们设AE的长为x，那么BE的长也为x，CE的长度就是AC减去AE的长度。由于△BCE是直角三角形，可根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
连接BE，
∵EF是AB的垂直平分线，
∴BE=AE（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
设$AE=x$，则$BE=x$，
∵AC=10，
∴$CE=AC-AE=10-x$，
又
∵∠C=90°，BC=6，
∴在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：$CE^2+BC^2=BE^2$，
代入数值列方程为：$(10-x)^2+6^2=x^2$，
展开计算：$100-20x+x^2+36=x^2$，
移项合并同类项得：$20x=136$，
解得：$x=\frac{34}{5}$。
【答案】
$10-x$；$(10-x)^2+6^2=x^2$；$\frac{34}{5}$
【知识点】
垂直平分线性质；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型题型，通过垂直平分线的性质完成线段的等量转化，结合勾股定理建立方程即可求解，能有效锻炼数形结合的解题能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，$D$ 为 $AC$ 上一点. 若 $BD$ 是 $∠ ABC$ 的平分线，则 $AD=\_\_\_\_\_\_$.
答案
1. 5
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长度；第二步，根据角平分线的性质，过D作AB的垂线DE，可得DC=DE，再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BE=BC，进而求出AE的长度；第三步，设DC的长为x，用含x的式子表示AD，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解x，最后计算AD的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，
∵$BD$是$∠ ABC$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC⊥ BC$），
根据角平分线的性质可得$DC=DE$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\\DC=DE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△BCD≌\mathrm{Rt}△BED(\mathrm{HL})$，
∴$BE=BC=6$，则$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$DC=DE=x$，则$AD=AC-DC=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AE^2+DE^2=AD^2$，即$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开化简得：$16+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得$x=3$，
∴$AD=8-3=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形判定
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，结合角平分线性质构造全等三角形转化线段长度，再通过勾股定理建立方程求解，能很好地锻炼学生的几何综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AB的长度；第二步，根据角平分线的性质，过D作AB的垂线DE，可得DC=DE，再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BE=BC，进而求出AE的长度；第三步，设DC的长为x，用含x的式子表示AD，在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解x，最后计算AD的长度即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，
∵$BD$是$∠ ABC$的平分线，$∠ C=90°$（即$DC⊥ BC$），
根据角平分线的性质可得$DC=DE$。
在$\mathrm{Rt}△BCD$和$\mathrm{Rt}△BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\\DC=DE\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△BCD≌\mathrm{Rt}△BED(\mathrm{HL})$，
∴$BE=BC=6$，则$AE=AB-BE=10-6=4$。
设$DC=DE=x$，则$AD=AC-DC=8-x$，
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，由勾股定理得：
$AE^2+DE^2=AD^2$，即$4^2+x^2=(8-x)^2$
展开化简得：$16+x^2=64-16x+x^2$，
消去$x^2$后解得$x=3$，
∴$AD=8-3=5$。
【答案】
5
【知识点】
勾股定理；角平分线的性质；全等三角形判定
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型应用，结合角平分线性质构造全等三角形转化线段长度，再通过勾股定理建立方程求解，能很好地锻炼学生的几何综合运用能力。
【难度系数】
0.7
【例 2】 如图，在$△ ABC$中，$AB＝15$，$BC＝14$，$AC＝13$，$AD ⊥ BC$，求$BD$的长.
解题思路:设$BD=x$，
则$CD=$
根据勾股定理，得$AD^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，可列方程为
解得$x =$
解题思路:设$BD=x$，
则$CD=$
$14-x$
.根据勾股定理，得$AD^2 = AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$，可列方程为
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$
.解得$x =$
$9$
.答案
例2：$14-x$；$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$；$9$
解析
【分析】
要求BD的长，观察图形可知AD是△ABC的高，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，且二者共用直角边AD。我们可以设BD=x，用含x的式子表示出CD的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等列出方程，求解即可得到BD的长。
【解析】
设BD的长为x，
∵BC=14，
∴CD=BC-BD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形，
根据勾股定理，在Rt△ABD中：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2 - (14-x)^2$，
∵AD的长度固定，因此两个式子相等，可列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$
解方程：
$225 - x^2 = 169 - (196 - 28x + x^2)$
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
两边同时消去$-x^2$，得：
$225 = -27 + 28x$
$28x = 252$
$x=9$
【答案】
$14-x$；$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$；$9$
【知识点】
勾股定理；方程思想；一元一次方程解法
【点评】
本题是勾股定理与方程思想结合的典型习题，利用公共直角边作为等量关系列方程，将几何求解问题转化为代数解方程问题，降低了解题难度，需要熟练掌握这种借助公共边构造等式的解题方法。
【难度系数】
0.7
要求BD的长，观察图形可知AD是△ABC的高，因此△ABD和△ACD都是直角三角形，且二者共用直角边AD。我们可以设BD=x，用含x的式子表示出CD的长度，再分别在两个直角三角形中用勾股定理表示出AD²，根据AD²相等列出方程，求解即可得到BD的长。
【解析】
设BD的长为x，
∵BC=14，
∴CD=BC-BD=14-x，
∵AD⊥BC，
∴△ABD和△ACD均为直角三角形，
根据勾股定理，在Rt△ABD中：$AD^2=AB^2-BD^2=15^2 - x^2$，
在Rt△ACD中：$AD^2=AC^2-CD^2=13^2 - (14-x)^2$，
∵AD的长度固定，因此两个式子相等，可列方程：
$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$
解方程：
$225 - x^2 = 169 - (196 - 28x + x^2)$
$225 - x^2 = 169 - 196 + 28x - x^2$
两边同时消去$-x^2$，得：
$225 = -27 + 28x$
$28x = 252$
$x=9$
【答案】
$14-x$；$15^2 - x^2 = 13^2 - (14-x)^2$；$9$
【知识点】
勾股定理；方程思想；一元一次方程解法
【点评】
本题是勾股定理与方程思想结合的典型习题，利用公共直角边作为等量关系列方程，将几何求解问题转化为代数解方程问题，降低了解题难度，需要熟练掌握这种借助公共边构造等式的解题方法。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$BC=4$，$AC=13$，$AB=15$，求$△ ABC$的面积. 
答案
2. 解:过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$. 设 $CD = x$, 则 $BD = 4 + x$.
$\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2 , \therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$, 解得
$x=5. \therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = 144. \therefore AD=12. \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = 24.$
$\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2 , \therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$, 解得
$x=5. \therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = 144. \therefore AD=12. \therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} BC · AD = 24.$
解析
【分析】
已知△ABC的三边长度，要计算其面积，需要先求出某条边上的高。我们可以过点A作BC边上的高AD，此时D落在BC的延长线上，构造出两个共用直角边AD的直角三角形Rt△ACD和Rt△ABD。利用勾股定理可分别表示出AD²，再根据AD²相等建立方程，求解得到CD的长度后即可求出高AD，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，设CD = x，则BD = BC + CD = 4 + x。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - x^2$
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - (4 + x)^2$
联立得方程：$13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$
展开化简：$169 - x^2 = 225 - 16 - 8x - x^2$
消去$-x^2$后解得：$x=5$
代入得$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，因AD为线段长度，故$AD=12$
则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 12 = 24$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是方程思想结合勾股定理求解几何问题的典型题型，通过作高构造公共直角边的两个直角三角形，利用勾股定理建立等量关系列方程，将几何计算转化为代数方程求解，是勾股定理实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
已知△ABC的三边长度，要计算其面积，需要先求出某条边上的高。我们可以过点A作BC边上的高AD，此时D落在BC的延长线上，构造出两个共用直角边AD的直角三角形Rt△ACD和Rt△ABD。利用勾股定理可分别表示出AD²，再根据AD²相等建立方程，求解得到CD的长度后即可求出高AD，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，设CD = x，则BD = BC + CD = 4 + x。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - x^2$
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 15^2 - (4 + x)^2$
联立得方程：$13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$
展开化简：$169 - x^2 = 225 - 16 - 8x - x^2$
消去$-x^2$后解得：$x=5$
代入得$AD^2 = 13^2 - 5^2 = 144$，因AD为线段长度，故$AD=12$
则$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × BC × AD = \frac{1}{2} × 4 × 12 = 24$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，方程思想
【点评】
本题是方程思想结合勾股定理求解几何问题的典型题型，通过作高构造公共直角边的两个直角三角形，利用勾股定理建立等量关系列方程，将几何计算转化为代数方程求解，是勾股定理实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$BD=2$，$CD=4$，求$AD$的长.
答案
3. 解:设 $AD=x$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$, 在
$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,
$AC^2 + BC^2 = AB^2$, 即 $x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$, 解得 $x=8$.
$\therefore AD=8.$
$\mathrm{Rt}△ BCD$ 中, $BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,
$AC^2 + BC^2 = AB^2$, 即 $x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$, 解得 $x=8$.
$\therefore AD=8.$
解析
【分析】
观察图形可知图中共有3个直角三角形，三个三角形的边长相互关联：AC、BC既是两个小直角三角形的斜边，也是大直角△ABC的直角边，AB的长度为AD+BD。解题时可先设AD的长为未知数x，再分别在两个小直角三角形中用勾股定理表示出AC²和BC²，最后代入大直角三角形的勾股定理公式，即可得到关于x的方程，解方程就能求出AD的长度。
【解析】
解：设AD的长为x。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，其中$AB=AD+BD=x+2$，
将$AC^2$、$BC^2$代入上式得：$x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$，
展开化简得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$。
【答案】
$AD=8$
【知识点】
勾股定理；方程思想解几何题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的典型应用题，解题关键是找到不同直角三角形边长之间的等量关系，通过设未知数构建方程求解，熟练掌握勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
观察图形可知图中共有3个直角三角形，三个三角形的边长相互关联：AC、BC既是两个小直角三角形的斜边，也是大直角△ABC的直角边，AB的长度为AD+BD。解题时可先设AD的长为未知数x，再分别在两个小直角三角形中用勾股定理表示出AC²和BC²，最后代入大直角三角形的勾股定理公式，即可得到关于x的方程，解方程就能求出AD的长度。
【解析】
解：设AD的长为x。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，其中$AB=AD+BD=x+2$，
将$AC^2$、$BC^2$代入上式得：$x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$，
展开化简得：$x^2 + 36 = x^2 + 4x + 4$，
解得$x=8$。
【答案】
$AD=8$
【知识点】
勾股定理；方程思想解几何题
【点评】
本题是勾股定理结合方程思想的典型应用题，解题关键是找到不同直角三角形边长之间的等量关系，通过设未知数构建方程求解，熟练掌握勾股定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
