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【例】如图,在三角形纸片$ABC$中,$AB=8$,$BC=6$,$AC=10$,折叠三角形纸片$ABC$,使点$A$与$BC$的中点$D$重合,折痕为$MN$,求$BN$的长.
【思路点拨】由$△ ABC$的三边长满足勾股定理可知$△ ABC$是直角三角形,$∠ B=90°$.先求得$BD$的长,由折叠的性质可知$AN=DN$,设$BN=x$,则$AN=DN=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ DBN$中,由勾股定理列出关于$x$的方程求解即可.
【思路点拨】由$△ ABC$的三边长满足勾股定理可知$△ ABC$是直角三角形,$∠ B=90°$.先求得$BD$的长,由折叠的性质可知$AN=DN$,设$BN=x$,则$AN=DN=8-x$,在$\mathrm{Rt}△ DBN$中,由勾股定理列出关于$x$的方程求解即可.
答案
解:
∵在△ABC中,AB=8,BC=6,AC=10,
∴AB²+BC²=AC².
∴∠B=90°.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD=3.设BN=x,则AN=DN=8−x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得(8−x)²=x²+3²,解得x=$\frac{55}{16}$.故BN的长为$\frac{55}{16}$.
∵在△ABC中,AB=8,BC=6,AC=10,
∴AB²+BC²=AC².
∴∠B=90°.
∵D为BC的中点,
∴BD=CD=3.设BN=x,则AN=DN=8−x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得(8−x)²=x²+3²,解得x=$\frac{55}{16}$.故BN的长为$\frac{55}{16}$.
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，且∠B=90°；其次根据D是BC中点，求出BD的长度为3；再利用折叠的性质，折叠后点A与D重合，可得AN=DN；最后设BN的长为x，将DN用含x的式子表示为8-x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可得到BN的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，
∴$AB^2+BC^2=8^2+6^2=100=10^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°。
∵D为BC的中点，BC=6，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=3$。
设$BN=x$，则$AN=AB-BN=8-x$，
由折叠的性质可知$DN=AN=8-x$，
在Rt△BDN中，由勾股定理得$DN^2=BN^2+BD^2$，
即$(8-x)^2=x^2+3^2$，
展开得$64-16x+x^2=x^2+9$，
化简得$16x=55$，
解得$x=\frac{55}{16}$。
【答案】
$\frac{55}{16}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；折叠的性质；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，再结合直角三角形的三边关系构造方程求解，能较好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ABC的三边长，6、8、10是常见勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断△ABC为直角三角形，且∠B=90°；其次根据D是BC中点，求出BD的长度为3；再利用折叠的性质，折叠后点A与D重合，可得AN=DN；最后设BN的长为x，将DN用含x的式子表示为8-x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可得到BN的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，
∴$AB^2+BC^2=8^2+6^2=100=10^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°。
∵D为BC的中点，BC=6，
∴$BD=\frac{1}{2}BC=3$。
设$BN=x$，则$AN=AB-BN=8-x$，
由折叠的性质可知$DN=AN=8-x$，
在Rt△BDN中，由勾股定理得$DN^2=BN^2+BD^2$，
即$(8-x)^2=x^2+3^2$，
展开得$64-16x+x^2=x^2+9$，
化简得$16x=55$，
解得$x=\frac{55}{16}$。
【答案】
$\frac{55}{16}$
【知识点】
勾股定理及逆定理；折叠的性质；方程思想
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，解题核心是利用折叠的性质转化相等线段，再结合直角三角形的三边关系构造方程求解，能较好地考查学生对几何性质的运用和方程思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
1.如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=4 cm，BC=8 cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF的长为（
A.3 cm
B.$\frac{12}{5}$ cm
C.5 cm
D.8 cm
C
）A.3 cm
B.$\frac{12}{5}$ cm
C.5 cm
D.8 cm
答案
1.C
解析
【分析】
本题是折叠结合勾股定理的计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到折叠前后对应边、对应角相等；再结合长方形对边相等、四个角为直角的性质，设AF的长为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形AD'F的其余边长；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到AF的长度。
【解析】
设AF的长为$ x $ cm，
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=4 cm，BC=8 cm，
∴ AD=BC=8 cm，CD=AB=4 cm，$ ∠ D=90° $，
∴ DF = AD - AF = $ (8-x) $ cm。
∵ 纸片沿EF对折后点C与点A重合，
∴ 折叠后$ D'F=DF=(8-x) $ cm，$ AD'=CD=4 $ cm，$ ∠ D'=∠ D=90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ AD'F $中，根据勾股定理可得：
$ AD'^2 + D'F^2 = AF^2 $
代入数值得：$ 4^2 + (8-x)^2 = x^2 $
展开计算：$ 16 + 64 - 16x + x^2 = x^2 $
化简得：$ 16x = 80 $
解得：$ x=5 $
即AF的长为5 cm。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；长方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，构造直角三角形，通过设未知数列方程的方式求解，很好地体现了数形结合和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
本题是折叠结合勾股定理的计算题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到折叠前后对应边、对应角相等；再结合长方形对边相等、四个角为直角的性质，设AF的长为未知数，用含未知数的式子表示出直角三角形AD'F的其余边长；最后在直角三角形中利用勾股定理列方程，求解即可得到AF的长度。
【解析】
设AF的长为$ x $ cm，
∵ 四边形ABCD是长方形，AB=4 cm，BC=8 cm，
∴ AD=BC=8 cm，CD=AB=4 cm，$ ∠ D=90° $，
∴ DF = AD - AF = $ (8-x) $ cm。
∵ 纸片沿EF对折后点C与点A重合，
∴ 折叠后$ D'F=DF=(8-x) $ cm，$ AD'=CD=4 $ cm，$ ∠ D'=∠ D=90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ AD'F $中，根据勾股定理可得：
$ AD'^2 + D'F^2 = AF^2 $
代入数值得：$ 4^2 + (8-x)^2 = x^2 $
展开计算：$ 16 + 64 - 16x + x^2 = x^2 $
化简得：$ 16x = 80 $
解得：$ x=5 $
即AF的长为5 cm。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；长方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是勾股定理在折叠问题中的典型应用，解题核心是抓住折叠前后对应边相等的性质，构造直角三角形，通过设未知数列方程的方式求解，很好地体现了数形结合和方程思想的运用。
【难度系数】
0.7
2.如图,在三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,在AC上取一点E,沿BE折叠纸片,使AB的一部分与BC重合,点A与BC延长线上的点D重合,则CE的长为
$\frac{10}{3}$
.答案
2.$\frac{10}{3}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；其次，根据折叠的性质，得到对应边相等，即BD=AB、DE=AE，进而求出CD的长度；最后，设CE的长为x，用含x的式子表示DE的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理列方程求解即可得到CE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
由折叠的性质可知：$BD=AB=13$，$DE=AE$
∴ $CD=BD-BC=13-5=8$
设$CE=x$，则$DE=AE=AC-CE=12-x$
∵ ∠DCE=180°-∠ACB=90°，
∴ △DCE是直角三角形
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$CE^2+CD^2=DE^2$
代入得：$x^2+8^2=(12-x)^2$
展开得：$x^2+64=144-24x+x^2$
移项化简得：$24x=80$
解得：$x=\frac{10}{3}$
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，核心是利用折叠的性质转化相等的线段，再通过设未知数将几何问题转化为方程问题求解，体现了数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长度；其次，根据折叠的性质，得到对应边相等，即BD=AB、DE=AE，进而求出CD的长度；最后，设CE的长为x，用含x的式子表示DE的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理列方程求解即可得到CE的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AB=13，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$
由折叠的性质可知：$BD=AB=13$，$DE=AE$
∴ $CD=BD-BC=13-5=8$
设$CE=x$，则$DE=AE=AC-CE=12-x$
∵ ∠DCE=180°-∠ACB=90°，
∴ △DCE是直角三角形
在Rt△DCE中，由勾股定理得：
$CE^2+CD^2=DE^2$
代入得：$x^2+8^2=(12-x)^2$
展开得：$x^2+64=144-24x+x^2$
移项化简得：$24x=80$
解得：$x=\frac{10}{3}$
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠问题结合的典型题型，核心是利用折叠的性质转化相等的线段，再通过设未知数将几何问题转化为方程问题求解，体现了数形结合的解题思路。
【难度系数】
0.6
3.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=13,将长方形ABCD沿BE折叠,点A落在A'处.若EA'的延长线恰好过点C,则AE的长为
1
.答案
3.1
解析
【分析】
这是一道矩形背景下的折叠计算题，解题思路如下：第一步，结合折叠的性质，得到折叠前后对应边相等、对应角相等，可知AB=A'B=5，AE=A'E，∠BA'C=90°；第二步，在Rt△BA'C中，已知BC和A'B的长度，用勾股定理先求出A'C的长度；第三步，设AE的长为x，用含x的代数式分别表示出EC、ED的长度，再在Rt△EDC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=5，AD=BC=13，
由折叠的性质可得：△ABE≌△A'BE，
∴A'B=AB=5，A'E=AE，∠BA'E=∠A=90°，
∴∠BA'C=180°-∠BA'E=90°，
在Rt△BA'C中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{BC^2 - A'B^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$，
设AE=x，则A'E=x，ED=AD-AE=13-x，EC=A'E+A'C=x+12，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：$EC^2=ED^2 + CD^2$，
代入得：$(x+12)^2=(13-x)^2 + 5^2$，
展开得：$x^2 +24x +144 = x^2 -26x +169 +25$，
化简得：50x=50，
解得：x=1，
即AE的长为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠性质转化相等的边与角，再结合勾股定理建立方程求解，充分体现了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.6
这是一道矩形背景下的折叠计算题，解题思路如下：第一步，结合折叠的性质，得到折叠前后对应边相等、对应角相等，可知AB=A'B=5，AE=A'E，∠BA'C=90°；第二步，在Rt△BA'C中，已知BC和A'B的长度，用勾股定理先求出A'C的长度；第三步，设AE的长为x，用含x的代数式分别表示出EC、ED的长度，再在Rt△EDC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=CD=5，AD=BC=13，
由折叠的性质可得：△ABE≌△A'BE，
∴A'B=AB=5，A'E=AE，∠BA'E=∠A=90°，
∴∠BA'C=180°-∠BA'E=90°，
在Rt△BA'C中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{BC^2 - A'B^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{144}=12$，
设AE=x，则A'E=x，ED=AD-AE=13-x，EC=A'E+A'C=x+12，
在Rt△EDC中，由勾股定理得：$EC^2=ED^2 + CD^2$，
代入得：$(x+12)^2=(13-x)^2 + 5^2$，
展开得：$x^2 +24x +144 = x^2 -26x +169 +25$，
化简得：50x=50，
解得：x=1，
即AE的长为1。
【答案】
1
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是利用折叠性质转化相等的边与角，再结合勾股定理建立方程求解，充分体现了方程思想在几何计算中的运用。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3. 沿过点A的直线折叠纸片，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，则AE的长是
$\frac{13}{6}$
.答案
4.$\frac{13}{6}$
解析
【分析】
遇到折叠类问题，首先要明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。解题思路可按以下步骤梳理：
1. 分析第一次折叠：点B与点D重合，可得AB=AD，∠B=∠ADB；
2. 分析第二次折叠：点C与点D重合，可得CE=DE，∠C=∠CDE；
3. 结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，可知∠B+∠C=90°，等量代换得∠ADB+∠CDE=90°，由此推出∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形；
4. 设AE的长为未知数，用含未知数的式子表示DE的长度，在Rt△ADE中用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
由折叠的性质可知：
1. 点B折叠后与点D重合，因此$AB=AD=2$，$∠ B=∠ ADB$；
2. 点C折叠后与点D重合，因此$CE=DE$，$∠ C=∠ CDE$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ B+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ ADE=180°-(∠ ADB+∠ CDE)=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，因此$DE=CE=3-x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2+DE^2=AE^2$
代入数值：$2^2+(3-x)^2=x^2$
展开计算：$4+9-6x+x^2=x^2$
移项化简得：$6x=13$
解得：$x=\frac{13}{6}$
【答案】
$\frac{13}{6}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质转化边和角的关系，构造直角三角形后通过勾股定理建立方程求解，能够很好地锻炼数形结合思维和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
遇到折叠类问题，首先要明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。解题思路可按以下步骤梳理：
1. 分析第一次折叠：点B与点D重合，可得AB=AD，∠B=∠ADB；
2. 分析第二次折叠：点C与点D重合，可得CE=DE，∠C=∠CDE；
3. 结合△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，可知∠B+∠C=90°，等量代换得∠ADB+∠CDE=90°，由此推出∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形；
4. 设AE的长为未知数，用含未知数的式子表示DE的长度，在Rt△ADE中用勾股定理列方程即可求解。
【解析】
由折叠的性质可知：
1. 点B折叠后与点D重合，因此$AB=AD=2$，$∠ B=∠ ADB$；
2. 点C折叠后与点D重合，因此$CE=DE$，$∠ C=∠ CDE$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ B+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ CDE=90°$，
$\therefore ∠ ADE=180°-(∠ ADB+∠ CDE)=90°$，即$△ ADE$是直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，因此$DE=CE=3-x$。
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AD^2+DE^2=AE^2$
代入数值：$2^2+(3-x)^2=x^2$
展开计算：$4+9-6x+x^2=x^2$
移项化简得：$6x=13$
解得：$x=\frac{13}{6}$
【答案】
$\frac{13}{6}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是折叠问题与勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用折叠性质转化边和角的关系，构造直角三角形后通过勾股定理建立方程求解，能够很好地锻炼数形结合思维和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射线BC上一动点,l为长方形ABCD的一条对称轴,将△ABP沿AP折叠,当点B的对应点B'落在l上时,BP的长为
$\frac{5}{3}$或15
.答案
5.$\frac{5}{3}$或15
解析
【分析】
这是一道结合折叠性质、长方形对称轴性质与勾股定理的几何计算题，解题思路如下：1. 依据折叠的性质，可得折叠后对应边相等，即$AB'=AB=5$，$BP=B'P$；2. 明确长方形竖直对称轴$l$的位置，$l$到左侧边$AB$的水平距离为$BC$长度的一半，即3；3. 题目中$P$是射线$BC$上的动点，因此需要分两种情况讨论：$P$在线段$BC$上、$P$在$BC$的延长线上，结合$AB'=5$用勾股定理求出$B'$的竖直高度，再根据$B'P=BP$列方程求解即可。
【解析】
设$B$为坐标原点，$BC$所在直线为$x$轴，$AB$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$A(0,5)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$。
$\because l$是长方形$ABCD$的竖直对称轴，$\therefore l$为直线$x=3$，设$B'(3,y)$，$BP=x$，则$P(x,0)$。
由折叠性质可知：$AB'=AB=5$，$B'P=BP=x$。
根据勾股定理，由$AB'=5$可得：$\sqrt{(3-0)^2+(y-5)^2}=5$，
平方化简得：$9+(y-5)^2=25$，即$(y-5)^2=16$，解得$y=1$或$y=9$。
①当$y=1$时，$B'(3,1)$，由$B'P=x$得：$\sqrt{(x-3)^2+(0-1)^2}=x$，
平方化简得：$(x-3)^2+1=x^2$，即$x^2-6x+10=x^2$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$0＜x≤6$，对应$P$在线段$BC$上。
②当$y=9$时，$B'(3,9)$，由$B'P=x$得：$\sqrt{(x-3)^2+(0-9)^2}=x$，
平方化简得：$(x-3)^2+81=x^2$，即$x^2-6x+90=x^2$，解得$x=15$，符合$x＞6$，对应$P$在$BC$的延长线上。
【答案】
$\frac{5}{3}$或15
【知识点】
折叠的性质，勾股定理的应用，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类的典型计算题，解题时要注意题目中“射线BC”的条件，需分两种情况讨论避免漏解，通过构造直角三角形、利用勾股定理列方程是解决这类折叠问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
这是一道结合折叠性质、长方形对称轴性质与勾股定理的几何计算题，解题思路如下：1. 依据折叠的性质，可得折叠后对应边相等，即$AB'=AB=5$，$BP=B'P$；2. 明确长方形竖直对称轴$l$的位置，$l$到左侧边$AB$的水平距离为$BC$长度的一半，即3；3. 题目中$P$是射线$BC$上的动点，因此需要分两种情况讨论：$P$在线段$BC$上、$P$在$BC$的延长线上，结合$AB'=5$用勾股定理求出$B'$的竖直高度，再根据$B'P=BP$列方程求解即可。
【解析】
设$B$为坐标原点，$BC$所在直线为$x$轴，$AB$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，则$A(0,5)$，$B(0,0)$，$C(6,0)$。
$\because l$是长方形$ABCD$的竖直对称轴，$\therefore l$为直线$x=3$，设$B'(3,y)$，$BP=x$，则$P(x,0)$。
由折叠性质可知：$AB'=AB=5$，$B'P=BP=x$。
根据勾股定理，由$AB'=5$可得：$\sqrt{(3-0)^2+(y-5)^2}=5$，
平方化简得：$9+(y-5)^2=25$，即$(y-5)^2=16$，解得$y=1$或$y=9$。
①当$y=1$时，$B'(3,1)$，由$B'P=x$得：$\sqrt{(x-3)^2+(0-1)^2}=x$，
平方化简得：$(x-3)^2+1=x^2$，即$x^2-6x+10=x^2$，解得$x=\frac{5}{3}$，符合$0＜x≤6$，对应$P$在线段$BC$上。
②当$y=9$时，$B'(3,9)$，由$B'P=x$得：$\sqrt{(x-3)^2+(0-9)^2}=x$，
平方化简得：$(x-3)^2+81=x^2$，即$x^2-6x+90=x^2$，解得$x=15$，符合$x＞6$，对应$P$在$BC$的延长线上。
【答案】
$\frac{5}{3}$或15
【知识点】
折叠的性质，勾股定理的应用，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类的典型计算题，解题时要注意题目中“射线BC”的条件，需分两种情况讨论避免漏解，通过构造直角三角形、利用勾股定理列方程是解决这类折叠问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
