知识梳理
知识点 弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角的概念:顶点在的角叫作圆心角.
弧、弦、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的相等,所对的相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的相等,所对的分别相等.
重点提示
圆的旋转不变性,即圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图形完全重合.

圆心 圆心角 弦 圆心角 优弧和劣弧

【分析】
这道题考查圆心角的基础定义以及弧、弦、圆心角三者的关系定理推论，解题时只需回忆课本对应的基础知识点即可：第一空对应圆心角的定义，明确圆心角的顶点位置；后续空对应同圆或等圆中弧、弦、圆心角的互推关系，结合定理内容和“一条弦对应优弧、劣弧两条弧”的特点依次填空即可。
【解析】
1. 第一个空：根据圆心角的定义，顶点在圆心的角叫作圆心角，故填“圆心”；
2. 第二、三个空：根据弧、弦、圆心角关系的推论，在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等，故依次填“圆心角”“弦”；
3. 第四、五个空：根据推论，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，又因为一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），因此所对的优弧和劣弧分别相等，故依次填“圆心角”“优弧和劣弧”。
【答案】
圆心 圆心角 弦 圆心角 优弧和劣弧
【知识点】
圆心角的定义；弧、弦、圆心角的关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对课本中圆心角相关定义、定理的记忆与理解，熟练掌握基础概念是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9

例 如图,AB,CD是$\odot O$的弦,且$AB=CD$,若$∠ BOD=80°$,则$∠ OCA$的度数为 ()


A.$40°$
B.$46°$
C.$48°$
D.$50°$
分析:如图,连接AO.

$\because$ AB,CD是$\odot O$的弦,且$AB=CD$,
$\therefore ∠ AOB=∠ COD$.
$\therefore ∠ AOB-∠ AOD=∠ COD-∠ AOD$.
$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$.
$\because ∠ BOD=80°$,
$\therefore ∠ AOC=80°$.
$\because OA=OC$,
$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$.
$\because ∠ OAC+∠ OCA+∠ AOC=180°$,
$\therefore ∠ OCA=(180°-80°)×\frac{1}{2}=50°$.
$\therefore ∠ OCA$的度数为$50°$.
答案:D
方法点拨 本题考查弧、弦、圆心角之间的关系,三角形的内角和定理,等腰三角形的性质.连接AO,由已知可得$∠ AOB=∠ COD$,从而可得$∠ AOC=∠ BOD$,根据三角形的内角和定理,结合等腰三角形的性质计算即可.

D

【分析】
解题时首先结合已知条件“同圆中两弦相等”，联想到同圆中等弦对应的圆心角相等的性质；要求∠OCA的度数，观察到∠OCA在△OCA中，OA、OC都是圆的半径，故△OCA是等腰三角形，只需求出顶角∠AOC的度数即可计算底角∠OCA。接下来利用等弦对应的圆心角相等，得到∠AOB=∠COD，两个角同时减去公共角∠AOD，即可推出∠AOC=已知的∠BOD，最后结合等腰三角形性质和三角形内角和定理计算即可。
【解析】
解：连接辅助线OA。
∵ AB、CD是$\odot O$的弦，且$AB=CD$，
∴ 同圆中等弦对等圆心角，可得$∠ AOB=∠ COD$，
∴ $∠ AOB - ∠ AOD = ∠ COD - ∠ AOD$，即$∠ AOC = ∠ BOD$，
已知$∠ BOD=80°$，
∴ $∠ AOC=80°$，
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，$△ OAC$为等腰三角形，
∴ $∠ OAC=∠ OCA$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ OAC + ∠ OCA + ∠ AOC = 180°$，
代入数据得：$2∠ OCA + 80° = 180°$，
解得$∠ OCA=(180°-80°)÷2=50°$。
【答案】D
【知识点】
弧弦圆心角的关系；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆性质应用的基础题型，解题的关键是通过等弦对等圆心角的性质建立已知角和待求三角形顶角的联系，再结合三角形相关性质计算即可。
【难度系数】
0.8