登录
6. 游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一. 如图，大摆锤OB以O为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作$\overset{\frown}{AC}$，连接AC交OB于点D，已知OB⊥AC，且B为$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC=16 m，BD=4 m，则大摆锤的长度为（
A.8 m
B.12 m
C.10 m
D.9 m
C
）A.8 m
B.12 m
C.10 m
D.9 m
答案
6.C
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的几何应用题，解题核心是求大摆锤所在圆的半径。首先观察图形特征：OB是圆的半径，且OB垂直于弦AC，同时B是弧AC的中点，满足垂径定理的使用条件。第一步可通过垂径定理得到弦AC的一半长度，再设半径为r，用r表示出直角三角形OAD的未知边长度，最后借助勾股定理列方程求解，即可得到大摆锤的长度。
【解析】
解：设大摆锤的长度即圆O的半径$OA=OB=r\ \mathrm{m}$。
根据垂径定理，$\because OB⊥ AC$，$AC=16\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=DC=\frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$。
又$\because BD=4\ \mathrm{m}$，$\therefore OD=OB-BD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=8^2+(r-4)^2$，
展开计算：$r^2=64+r^2-8r+16$，
移项化简得：$8r=80$，解得$r=10$。
即大摆锤的长度为$10\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题以游乐场大摆锤为背景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题关键是将实际问题转化为圆的几何问题，利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活场景的几何应用题，解题核心是求大摆锤所在圆的半径。首先观察图形特征：OB是圆的半径，且OB垂直于弦AC，同时B是弧AC的中点，满足垂径定理的使用条件。第一步可通过垂径定理得到弦AC的一半长度，再设半径为r，用r表示出直角三角形OAD的未知边长度，最后借助勾股定理列方程求解，即可得到大摆锤的长度。
【解析】
解：设大摆锤的长度即圆O的半径$OA=OB=r\ \mathrm{m}$。
根据垂径定理，$\because OB⊥ AC$，$AC=16\ \mathrm{m}$，$\therefore AD=DC=\frac{1}{2}AC=8\ \mathrm{m}$。
又$\because BD=4\ \mathrm{m}$，$\therefore OD=OB-BD=(r-4)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
代入数据得：$r^2=8^2+(r-4)^2$，
展开计算：$r^2=64+r^2-8r+16$，
移项化简得：$8r=80$，解得$r=10$。
即大摆锤的长度为$10\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题以游乐场大摆锤为背景，考查垂径定理和勾股定理的综合应用，解题关键是将实际问题转化为圆的几何问题，利用垂径定理构造直角三角形，再通过勾股定理列方程求解，属于常考的基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
7. 已知在$\odot O$中，半径$r=13$，弦$AB// CD$，且$AB=24$，$CD=10$，则$AB$与$CD$的距离为（
A.7或17
B.7
C.7或12
D.12
A
）A.7或17
B.7
C.7或12
D.12
答案
7.A
解析
【分析】
遇到圆中两条平行弦求间距的问题，首先要明确存在两种位置情况：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，这是本题的易错点，很多同学容易漏解其中一种。解题时需过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，再将半弦长、半径、弦心距放入直角三角形中，用勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两弦的位置关系，对弦心距作差或求和即可得到两弦的距离。
【解析】
解：过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理，得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$，
在$Rt△ AOE$中，$OA=r=13$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
在$Rt△ COF$中，$OC=r=13$，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为：$OF-OE=12-5=7$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为：$OF+OE=12+5=17$；
综上，AB与CD的距离为7或17。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆的高频易错题，解题的核心是不要忽略平行弦相对圆心的两种位置关系，熟练运用垂径定理构造直角三角形是求解的关键，能有效考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
遇到圆中两条平行弦求间距的问题，首先要明确存在两种位置情况：两弦在圆心同侧、两弦在圆心异侧，这是本题的易错点，很多同学容易漏解其中一种。解题时需过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，再将半弦长、半径、弦心距放入直角三角形中，用勾股定理分别求出两条弦到圆心的距离，最后根据两弦的位置关系，对弦心距作差或求和即可得到两弦的距离。
【解析】
解：过圆心O作OE⊥AB于点E，延长OE交CD于点F，
∵AB//CD，
∴OF⊥CD，
根据垂径定理，得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$，
在$Rt△ AOE$中，$OA=r=13$，
由勾股定理得：$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
在$Rt△ COF$中，$OC=r=13$，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为：$OF-OE=12-5=7$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为：$OF+OE=12+5=17$；
综上，AB与CD的距离为7或17。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是圆的高频易错题，解题的核心是不要忽略平行弦相对圆心的两种位置关系，熟练运用垂径定理构造直角三角形是求解的关键，能有效考查分类讨论思想的应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图,已知点$M(0,-3),N(0,-9)$,半径为5的$\odot A$经过点$M,N$,则点$A$的坐标为（
A.$(-5,-6)$
B.$(4,-6)$
C.$(-6,-4)$
D.$(-4,-6)$
D
）A.$(-5,-6)$
B.$(4,-6)$
C.$(-6,-4)$
D.$(-4,-6)$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先观察到M、N都在y轴上，弦MN为竖直线段，根据垂径定理，圆心必在弦的垂直平分线上，可先确定点A的纵坐标；再结合圆的半径为5，利用勾股定理计算圆心到y轴的水平距离，最后根据圆在y轴左侧的位置特征确定横坐标的符号，即可得到点A的坐标。
【解析】
已知点M(0,-3)，N(0,-9)，则MN的中点纵坐标为$\frac{-3+(-9)}{2}=-6$，即MN中点坐标为$(0,-6)$。
根据垂径定理，圆心A在MN的垂直平分线上，因为MN为竖直方向线段，其垂直平分线为水平直线$y=-6$，因此点A的纵坐标为$-6$。
过点A作$AB⊥ y$轴于点B，则点B坐标为$(0,-6)$，可得$MB=|-3-(-6)|=3$。
已知$\odot A$半径为5，即$AM=5$，在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2-MB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
又因为$\odot A$位于y轴左侧，因此点A的横坐标为$-4$，即点A坐标为$(-4,-6)$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题将垂径定理和平面直角坐标系结合考查，解题的突破口是利用垂径定理确定圆心所在的直线，再结合勾股定理和图形的位置判断坐标符号，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到M、N都在y轴上，弦MN为竖直线段，根据垂径定理，圆心必在弦的垂直平分线上，可先确定点A的纵坐标；再结合圆的半径为5，利用勾股定理计算圆心到y轴的水平距离，最后根据圆在y轴左侧的位置特征确定横坐标的符号，即可得到点A的坐标。
【解析】
已知点M(0,-3)，N(0,-9)，则MN的中点纵坐标为$\frac{-3+(-9)}{2}=-6$，即MN中点坐标为$(0,-6)$。
根据垂径定理，圆心A在MN的垂直平分线上，因为MN为竖直方向线段，其垂直平分线为水平直线$y=-6$，因此点A的纵坐标为$-6$。
过点A作$AB⊥ y$轴于点B，则点B坐标为$(0,-6)$，可得$MB=|-3-(-6)|=3$。
已知$\odot A$半径为5，即$AM=5$，在$Rt△ ABM$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AM^2-MB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$
又因为$\odot A$位于y轴左侧，因此点A的横坐标为$-4$，即点A坐标为$(-4,-6)$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，坐标与图形性质
【点评】
本题将垂径定理和平面直角坐标系结合考查，解题的突破口是利用垂径定理确定圆心所在的直线，再结合勾股定理和图形的位置判断坐标符号，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$\odot O$中,AB,AC是互相垂直的两条弦,
$OD ⊥ AB$于点$D$,$OE ⊥ AC$于点$E$,且$AB=8\ \mathrm{cm}$,
$AC=6\ \mathrm{cm}$,那么$\odot O$的半径长为
$OD ⊥ AB$于点$D$,$OE ⊥ AC$于点$E$,且$AB=8\ \mathrm{cm}$,
$AC=6\ \mathrm{cm}$,那么$\odot O$的半径长为
5
$\mathrm{cm}$.答案
9.5
解析
【分析】
解题时先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。首先结合已知的OD⊥AB、OE⊥AC，利用垂径定理求出弦AB、AC的一半的长度；再根据AB、AC互相垂直，且OD、OE分别垂直于两条弦，可判断四边形OEAD为矩形，得到直角三角形的两条直角边长度；最后连接半径OA，用勾股定理即可求出半径的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$，
∵ $OE ⊥ AC$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB ⊥ AC$，$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ AC$，
∴ 四边形OEAD的三个内角均为直角，即四边形OEAD是矩形，
∴ $OD = AE = 3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径长为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质相关的典型基础题，将垂径定理、特殊四边形判定和勾股定理结合考查，解题的核心是通过垂径定理转化弦长，再利用矩形的性质得到直角三角形的边长，进而求出半径。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。首先结合已知的OD⊥AB、OE⊥AC，利用垂径定理求出弦AB、AC的一半的长度；再根据AB、AC互相垂直，且OD、OE分别垂直于两条弦，可判断四边形OEAD为矩形，得到直角三角形的两条直角边长度；最后连接半径OA，用勾股定理即可求出半径的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵ $OD ⊥ AB$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ \mathrm{cm}$，
∵ $OE ⊥ AC$，$AC=6\ \mathrm{cm}$，由垂径定理可得：
$AE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$，
又
∵ $AB ⊥ AC$，$OD ⊥ AB$，$OE ⊥ AC$，
∴ 四边形OEAD的三个内角均为直角，即四边形OEAD是矩形，
∴ $OD = AE = 3\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，由勾股定理得：
$OA = \sqrt{AD^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径长为$5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
5
【知识点】
垂径定理，矩形的判定，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质相关的典型基础题，将垂径定理、特殊四边形判定和勾股定理结合考查，解题的核心是通过垂径定理转化弦长，再利用矩形的性质得到直角三角形的边长，进而求出半径。
【难度系数】
0.7
10. 如图,有一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为30 m,拱高PM为9 m,当洪水泛滥到跨度只有15 m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有2 m,即$PN=2\ \mathrm{m}$时,求:
(1)拱桥所在的圆的半径长;
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.
(1)拱桥所在的圆的半径长;
(2)通过计算说明是否需要采取紧急措施.
答案
10. (1)如图,设圆弧所在圆的圆心为 O,半径长为 x m. 连接 OA,OA',OM,由题设可知 O,M,N,P 四点在同一直线上,OP ⊥ AB,OP ⊥ A'B'.
由垂径定理可知 AM=BM,A'N=B'N.
∵ AB=30 m,
∴ AM=$\frac{1}{2}$AB=15 m.
在 Rt△AOM 中,OM=OP-PM=(x-9) m,
由勾股定理可得 $AO^2=OM^2+AM^2$,
即 $x^2=(x-9)^2+15^2$.
解得 x=17,
即拱桥所在的圆的半径长为 17 m.
(2)
∵ OP=17 m,PN=2 m,
∴ ON=OP-PN=17-2=15(m).
在 Rt△A'ON 中,由勾股定理可得 $A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8(\mathrm{m})$.
∴ A'B'=2A'N=16 m＞15 m.
∴ 不需要采取紧急措施.
解析
【分析】
本题是圆弧形拱桥的实际应用问题，核心解题思路是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解。(1)求半径时，先设圆弧半径为未知数，连接圆心与弦AB的端点得到半径，根据垂径定理得到AB一半的长度，再用半径减去拱高表示出直角三角形的另一条直角边，代入勾股定理列方程即可求出半径。(2)判断是否需要采取紧急措施，只需计算当前水面的跨度，先根据PN的长度求出ON的长，再在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2得到当前跨度，和15m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设圆弧所在圆的圆心为O，半径长为$x\ \mathrm{m}$，连接$OA、OA'$，由题设可知$O、M、N、P$四点在同一直线上，$OP ⊥ AB$，$OP ⊥ A'B'$。
根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，$A'N=B'N=\frac{1}{2}A'B'$。
已知$AB=30\ \mathrm{m}$，因此$AM=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{m}$。
又因为拱高$PM=9\ \mathrm{m}$，所以$OM=OP-PM=(x-9)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得$AO^2=OM^2+AM^2$，代入数据得：
$x^2=(x-9)^2+15^2$
展开化简得：$x^2=x^2-18x+81+225$，解得$x=17$。
即拱桥所在的圆的半径长为$17\ \mathrm{m}$。
(2) 已知$PN=2\ \mathrm{m}$，半径$OP=17\ \mathrm{m}$，因此$ON=OP-PN=17-2=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'ON$中，由勾股定理得：
$A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
所以此时水面跨度$A'B'=2A'N=2×8=16\ \mathrm{m}$。
因为$16\ \mathrm{m}＞15\ \mathrm{m}$，所以不需要采取紧急措施。
【答案】
(1) 拱桥所在的圆的半径长为$\boxed{17\ \mathrm{m}}$；
(2) 此时水面跨度为$16\ \mathrm{m}$，大于$15\ \mathrm{m}$，$\boxed{不需要采取紧急措施}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、一元一次方程的应用
【点评】
本题是垂径定理的典型实际应用问题，解题关键是将实际问题转化为圆的几何问题，通过构造直角三角形、结合勾股定理建立方程求解，考查了学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是圆弧形拱桥的实际应用问题，核心解题思路是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解。(1)求半径时，先设圆弧半径为未知数，连接圆心与弦AB的端点得到半径，根据垂径定理得到AB一半的长度，再用半径减去拱高表示出直角三角形的另一条直角边，代入勾股定理列方程即可求出半径。(2)判断是否需要采取紧急措施，只需计算当前水面的跨度，先根据PN的长度求出ON的长，再在直角三角形中用勾股定理求出半弦长，乘2得到当前跨度，和15m比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 设圆弧所在圆的圆心为O，半径长为$x\ \mathrm{m}$，连接$OA、OA'$，由题设可知$O、M、N、P$四点在同一直线上，$OP ⊥ AB$，$OP ⊥ A'B'$。
根据垂径定理可得：$AM=BM=\frac{1}{2}AB$，$A'N=B'N=\frac{1}{2}A'B'$。
已知$AB=30\ \mathrm{m}$，因此$AM=\frac{1}{2}×30=15\ \mathrm{m}$。
又因为拱高$PM=9\ \mathrm{m}$，所以$OM=OP-PM=(x-9)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOM$中，由勾股定理得$AO^2=OM^2+AM^2$，代入数据得：
$x^2=(x-9)^2+15^2$
展开化简得：$x^2=x^2-18x+81+225$，解得$x=17$。
即拱桥所在的圆的半径长为$17\ \mathrm{m}$。
(2) 已知$PN=2\ \mathrm{m}$，半径$OP=17\ \mathrm{m}$，因此$ON=OP-PN=17-2=15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'ON$中，由勾股定理得：
$A'N=\sqrt{OA'^2-ON^2}=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$
所以此时水面跨度$A'B'=2A'N=2×8=16\ \mathrm{m}$。
因为$16\ \mathrm{m}＞15\ \mathrm{m}$，所以不需要采取紧急措施。
【答案】
(1) 拱桥所在的圆的半径长为$\boxed{17\ \mathrm{m}}$；
(2) 此时水面跨度为$16\ \mathrm{m}$，大于$15\ \mathrm{m}$，$\boxed{不需要采取紧急措施}$。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、一元一次方程的应用
【点评】
本题是垂径定理的典型实际应用问题，解题关键是将实际问题转化为圆的几何问题，通过构造直角三角形、结合勾股定理建立方程求解，考查了学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
11.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具，据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有一千多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6 m时，水面下盛水筒的最大深度(即水面下方的圆上任一点距离水面的最大距离)为1 m. 求该圆的半径长.
答案
11. 如图,过点 O 作 OD ⊥ AB,垂足为 C,交$\odot O$于点 D.
由题意可知,CD=1 m,AB=6 m.
∵ OC ⊥ AB,
∴ $AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$.
设该圆的半径长为 r m,则 OA=OD=r m.
∴ OC=(r-1) m.
在 Rt△AOC 中,根据勾股定理,得 $OC^2+AC^2=OA^2$,即$(r-1)^2+3^2=r^2$. 解得 r=5.
∴ 该圆的半径长为 5 m.
解析
【分析】
遇到圆中弦长的计算问题，通常可借助垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦AB得到半弦长，又能结合水面下的最大深度表示出圆心到弦AB的距离，随后设圆的半径为未知数，在构造出的直角三角形中利用勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
过点O作OD⊥AB，垂足为C，交$\odot O$于点D。
由题意可知，CD=1 m，AB=6 m。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$。
设该圆的半径长为r m，则OA=OD=r m，因此OC=OD-CD=(r-1) m。
在Rt△AOC中，根据勾股定理，得 $OC^2+AC^2=OA^2$，代入数据得：
$(r-1)^2+3^2=r^2$
展开整理得：$r^2-2r+1+9=r^2$，
解得：$r=5$。
【答案】
该圆的半径长为5 m。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合古代发明“筒车”的实际情境考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何方程问题求解，能很好地考查学生的知识应用能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦长的计算问题，通常可借助垂径定理求解：首先过圆心作弦AB的垂线，既可以平分弦AB得到半弦长，又能结合水面下的最大深度表示出圆心到弦AB的距离，随后设圆的半径为未知数，在构造出的直角三角形中利用勾股定理列方程，即可求出半径长度。
【解析】
过点O作OD⊥AB，垂足为C，交$\odot O$于点D。
由题意可知，CD=1 m，AB=6 m。
∵ OC⊥AB，根据垂径定理可得：
$AC=BC=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$。
设该圆的半径长为r m，则OA=OD=r m，因此OC=OD-CD=(r-1) m。
在Rt△AOC中，根据勾股定理，得 $OC^2+AC^2=OA^2$，代入数据得：
$(r-1)^2+3^2=r^2$
展开整理得：$r^2-2r+1+9=r^2$，
解得：$r=5$。
【答案】
该圆的半径长为5 m。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合古代发明“筒车”的实际情境考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何方程问题求解，能很好地考查学生的知识应用能力和建模意识。
【难度系数】
0.7
