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1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若以点$C$为圆心，$CB$长为半径的圆恰好经过$AB$的中点$D$，则$∠ A$的度数为
$30°$
。答案
1. $30°$
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件：存在直角三角形和斜边中点，可优先联想到直角三角形斜边中线的性质，得到CD与BD的等量关系；再结合圆的半径相等，可推出△BCD的三条边相等，判定其为等边三角形得到∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 $CD = \frac{1}{2}AB = BD$。
又
∵ 点D在以C为圆心、CB为半径的圆上，
∴ $CD = CB$（圆的半径相等）。
∴ $CD = CB = BD$，即△BCD为等边三角形，
∴ $∠B = 60°$。
在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，
∴ $∠A = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等边三角形判定与性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，综合了圆的基本性质和特殊三角形的性质，解题突破口是结合中点和半径的等量关系判断出等边三角形，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件：存在直角三角形和斜边中点，可优先联想到直角三角形斜边中线的性质，得到CD与BD的等量关系；再结合圆的半径相等，可推出△BCD的三条边相等，判定其为等边三角形得到∠B的度数，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得 $CD = \frac{1}{2}AB = BD$。
又
∵ 点D在以C为圆心、CB为半径的圆上，
∴ $CD = CB$（圆的半径相等）。
∴ $CD = CB = BD$，即△BCD为等边三角形，
∴ $∠B = 60°$。
在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°，
∴ $∠A = 90° - 60° = 30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、等边三角形判定与性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，综合了圆的基本性质和特殊三角形的性质，解题突破口是结合中点和半径的等量关系判断出等边三角形，掌握相关基础性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
2. 用反证法证明时,假设的结论“点在圆内”不成立,那么点与圆的位置关系只能是 (
A.点在圆外
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆外
D
)A.点在圆外
B.点在圆上
C.点在圆心上
D.点在圆上或圆外
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确点与圆的全部位置关系，再结合反证法的逻辑分析：①我们学过点和圆的位置关系共有三类：点在圆内、点在圆上、点在圆外；②反证法中假设结论不成立，就是对原结论进行否定，即排除原结论对应的情况，剩下的所有可能情况就是假设的内容。本题否定“点在圆内”后，剩余的两类位置关系就是正确结果。
【解析】
点与圆的位置关系有且仅有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
反证法证明时，假设“点在圆内”不成立，即说明点不在圆内，排除该情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆外。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；反证法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对反证法否定结论的逻辑理解，以及对点与圆位置关系的记忆，掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确点与圆的全部位置关系，再结合反证法的逻辑分析：①我们学过点和圆的位置关系共有三类：点在圆内、点在圆上、点在圆外；②反证法中假设结论不成立，就是对原结论进行否定，即排除原结论对应的情况，剩下的所有可能情况就是假设的内容。本题否定“点在圆内”后，剩余的两类位置关系就是正确结果。
【解析】
点与圆的位置关系有且仅有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。
反证法证明时，假设“点在圆内”不成立，即说明点不在圆内，排除该情况后，剩余的位置关系为点在圆上或点在圆外。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系；反证法
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对反证法否定结论的逻辑理解，以及对点与圆位置关系的记忆，掌握相关基础知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时,假设正确的是 (
A.假设三个外角都是钝角
B.假设三个外角中至少有一个钝角
C.假设三个外角中至多有两个钝角
D.假设三个外角中至多有一个钝角
D
)A.假设三个外角都是钝角
B.假设三个外角中至少有一个钝角
C.假设三个外角中至多有两个钝角
D.假设三个外角中至多有一个钝角
答案
3. D
解析
【分析】
首先明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。解题时先提取原命题的结论“三角形的三个外角中至少有两个钝角”，再推导该结论的反面表述即可。“至少有两个”的含义是钝角数量≥2，它的反面就是钝角数量＜2，也就是最多只有1个钝角，对应正确假设。
【解析】
根据反证法的规则，需先否定原命题的结论：
1. 原命题结论：三角形的三个外角中至少有两个钝角，即钝角个数≥2；
2. 对结论进行否定：钝角个数≤1，也就是三个外角中至多有一个钝角。
因此符合要求的假设为选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题重点考查反证法的初始假设环节，核心是掌握常见量词的否定规则，比如“至少有n个”的否定为“至多有n-1个”，熟练掌握这类基础规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
首先明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。解题时先提取原命题的结论“三角形的三个外角中至少有两个钝角”，再推导该结论的反面表述即可。“至少有两个”的含义是钝角数量≥2，它的反面就是钝角数量＜2，也就是最多只有1个钝角，对应正确假设。
【解析】
根据反证法的规则，需先否定原命题的结论：
1. 原命题结论：三角形的三个外角中至少有两个钝角，即钝角个数≥2；
2. 对结论进行否定：钝角个数≤1，也就是三个外角中至多有一个钝角。
因此符合要求的假设为选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题重点考查反证法的初始假设环节，核心是掌握常见量词的否定规则，比如“至少有n个”的否定为“至多有n-1个”，熟练掌握这类基础规则就能快速准确解题。
【难度系数】
0.7
4. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，用反证法证明时，最终推出与矛盾。
(
A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C.过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D.垂直的定义
(
B
)A.两点确定一条直线
B.在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C.过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D.垂直的定义
答案
4. B
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：第一步反设，即假设命题的结论不成立；第二步通过合理推理得出矛盾；第三步由矛盾判定假设错误，原命题成立。我们先对本题命题做反设，再顺着假设推导，就能找到对应的矛盾点。本题命题的结论是“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，反设就为“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行（即相交）”，再结合几何基本事实推导即可。
【解析】
用反证法证明该命题的步骤如下：
1. 反设：假设在同一平面内，垂直于同一条直线$ l $的两条直线$ a $、$ b $不平行，即$ a $与$ b $相交，设交点为$ P $。
2. 推导：由假设可得，点$ P $同时在直线$ a $和直线$ b $上，且$ a ⊥ l $、$ b ⊥ l $，也就是过点$ P $有两条直线都和已知直线$ l $垂直。
3. 找矛盾：这一推导结果与“在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条”的基本事实矛盾，因此假设不成立，原命题正确。
因此最终推出与选项B的内容矛盾。
【答案】
B
【知识点】
反证法；垂线的性质
【点评】
本题考查反证法的应用，解题关键是正确做出反设，再结合平面内几何基本性质推导矛盾，能帮助理解反证法的核心逻辑，是反证法相关的基础题型。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆反证法的基本步骤：第一步反设，即假设命题的结论不成立；第二步通过合理推理得出矛盾；第三步由矛盾判定假设错误，原命题成立。我们先对本题命题做反设，再顺着假设推导，就能找到对应的矛盾点。本题命题的结论是“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，反设就为“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行（即相交）”，再结合几何基本事实推导即可。
【解析】
用反证法证明该命题的步骤如下：
1. 反设：假设在同一平面内，垂直于同一条直线$ l $的两条直线$ a $、$ b $不平行，即$ a $与$ b $相交，设交点为$ P $。
2. 推导：由假设可得，点$ P $同时在直线$ a $和直线$ b $上，且$ a ⊥ l $、$ b ⊥ l $，也就是过点$ P $有两条直线都和已知直线$ l $垂直。
3. 找矛盾：这一推导结果与“在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条”的基本事实矛盾，因此假设不成立，原命题正确。
因此最终推出与选项B的内容矛盾。
【答案】
B
【知识点】
反证法；垂线的性质
【点评】
本题考查反证法的应用，解题关键是正确做出反设，再结合平面内几何基本性质推导矛盾，能帮助理解反证法的核心逻辑，是反证法相关的基础题型。
【难度系数】
0.7
5. 用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$,这与三角形的内角和为$180°$相矛盾,所以$∠ A=∠ B=90°$不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角$∠ A,∠ B,∠ C$中有两个直角,不妨设$∠ A=∠ B=90°$.
正确的顺序应为 (
A.①②③
B.①③②
C.③②①
D.③①②
①$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$,这与三角形的内角和为$180°$相矛盾,所以$∠ A=∠ B=90°$不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角$∠ A,∠ B,∠ C$中有两个直角,不妨设$∠ A=∠ B=90°$.
正确的顺序应为 (
D
)A.①②③
B.①③②
C.③②①
D.③①②
答案
5. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确反证法的基本逻辑流程：反证法共分为三步，第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设原命题结论的反面成立；第二步是推谬，从反设的结论出发进行推理，推导得出和已知定理、公理或已知条件矛盾的结果；第三步是下结论，由推出的矛盾判定反设不成立，因此原命题的结论正确。对应题目给出的三个步骤：③是假设命题反面成立，对应反设环节；①是从假设出发推出和三角形内角和定理矛盾的结果，对应推谬环节；②是得出原命题成立的最终结论，对应总结环节，据此即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的证明步骤依次为：
1. 反设：假设命题的结论不成立，即假设一个三角形中有两个直角，对应题中步骤③；
2. 推谬：从假设出发计算三角形内角和，可得$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$，这和三角形内角和为$180°$的定理矛盾，对应题中步骤①；
3. 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题“一个三角形中不能有两个直角”成立，对应题中步骤②。
因此正确顺序是③①②，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查对反证法基本步骤的理解和应用，属于基础题型，熟悉反证法的逻辑流程即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确反证法的基本逻辑流程：反证法共分为三步，第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是假设原命题结论的反面成立；第二步是推谬，从反设的结论出发进行推理，推导得出和已知定理、公理或已知条件矛盾的结果；第三步是下结论，由推出的矛盾判定反设不成立，因此原命题的结论正确。对应题目给出的三个步骤：③是假设命题反面成立，对应反设环节；①是从假设出发推出和三角形内角和定理矛盾的结果，对应推谬环节；②是得出原命题成立的最终结论，对应总结环节，据此即可排出正确顺序。
【解析】
反证法的证明步骤依次为：
1. 反设：假设命题的结论不成立，即假设一个三角形中有两个直角，对应题中步骤③；
2. 推谬：从假设出发计算三角形内角和，可得$∠ A+∠ B+∠ C=90°+90°+∠ C＞180°$，这和三角形内角和为$180°$的定理矛盾，对应题中步骤①；
3. 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题“一个三角形中不能有两个直角”成立，对应题中步骤②。
因此正确顺序是③①②，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查对反证法基本步骤的理解和应用，属于基础题型，熟悉反证法的逻辑流程即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
6. 用反证法证明:两直线平行,同旁内角互补.
答案
6. 已知:如图,$l_1// l_2$,$l_1$,$l_2$都被$l_3$所截.
求证:$∠1+∠2=180°$.
证明:假设$∠1+∠2≠180°$.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $∠1=∠3$.
∵ $∠1+∠2≠180°$,
∴ $∠3+∠2≠180°$,这与平角为$180°$矛盾.
∴ 假设$∠1+∠2≠180°$不成立,即$∠1+∠2=180°$.
解析
【分析】
本题用反证法证明命题，需遵循反证法的常规解题逻辑：首先明确命题的已知条件和待证结论，再反设待证结论不成立，即假设两直线平行时同旁内角和不等于$180°$；接下来结合平行线的性质与平角的定义推导，得出与已知定理矛盾的结论；最后根据矛盾判定假设不成立，原命题得证。
【解析】
首先明确已知和求证：
已知：如图，$l_1// l_2$，$l_1$，$l_2$都被$l_3$所截。
求证：$∠1+∠2=180°$。
证明：假设$∠1+∠2\ne180°$。
$\because l_1// l_2$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠1=∠3$。
$\because ∠1+∠2\ne180°$，等量代换得$∠3+∠2\ne180°$，这与平角为$180°$的定义矛盾。
因此假设$∠1+∠2\ne180°$不成立，即$∠1+∠2=180°$。
【答案】
已知:如图,$l_1// l_2$,$l_1$,$l_2$都被$l_3$所截.
求证:$∠1+∠2=180°$.
证明:假设$∠1+∠2≠180°$.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $∠1=∠3$.
∵ $∠1+∠2≠180°$,
∴ $∠3+∠2≠180°$,这与平角为$180°$矛盾.
∴ 假设$∠1+∠2≠180°$不成立,即$∠1+∠2=180°$.
【知识点】
反证法；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心是掌握反证法的三步逻辑：否定结论、推导矛盾、肯定原结论，解题时需结合所学的几何基础定理推导矛盾，难度不高。
【难度系数】
0.7
本题用反证法证明命题，需遵循反证法的常规解题逻辑：首先明确命题的已知条件和待证结论，再反设待证结论不成立，即假设两直线平行时同旁内角和不等于$180°$；接下来结合平行线的性质与平角的定义推导，得出与已知定理矛盾的结论；最后根据矛盾判定假设不成立，原命题得证。
【解析】
首先明确已知和求证：
已知：如图，$l_1// l_2$，$l_1$，$l_2$都被$l_3$所截。
求证：$∠1+∠2=180°$。
证明：假设$∠1+∠2\ne180°$。
$\because l_1// l_2$，根据两直线平行，同位角相等，可得$∠1=∠3$。
$\because ∠1+∠2\ne180°$，等量代换得$∠3+∠2\ne180°$，这与平角为$180°$的定义矛盾。
因此假设$∠1+∠2\ne180°$不成立，即$∠1+∠2=180°$。
【答案】
已知:如图,$l_1// l_2$,$l_1$,$l_2$都被$l_3$所截.
求证:$∠1+∠2=180°$.
证明:假设$∠1+∠2≠180°$.
∵ $l_1// l_2$,
∴ $∠1=∠3$.
∵ $∠1+∠2≠180°$,
∴ $∠3+∠2≠180°$,这与平角为$180°$矛盾.
∴ 假设$∠1+∠2≠180°$不成立,即$∠1+∠2=180°$.
【知识点】
反证法；平行线的性质；平角的定义
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心是掌握反证法的三步逻辑：否定结论、推导矛盾、肯定原结论，解题时需结合所学的几何基础定理推导矛盾，难度不高。
【难度系数】
0.7
7. 用反证法证明:如果 $a+b＞0$,那么 $a,b$ 中至少有一个大于0.
答案
7. 假设$a,b$都不大于0,即$a≤0,b≤0$,
∵ 两个非正数相加还是非正数,
∴ $a+b≤0$.
这与题设$a+b＞0$矛盾,
∴ 假设不成立.
∴ $a,b$中至少有一个大于0.
∵ 两个非正数相加还是非正数,
∴ $a+b≤0$.
这与题设$a+b＞0$矛盾,
∴ 假设不成立.
∴ $a,b$中至少有一个大于0.
解析
【分析】
使用反证法证明命题需遵循三步逻辑：①反设：假设原命题的结论不成立，写出结论的反面表述；②归谬：从反设的结论出发，结合已知条件、已有定理推导，得出矛盾；③存真：由矛盾判定反设错误，从而肯定原命题结论正确。本题中，原结论是“a,b中至少有一个大于0”，其反面为“a,b都不大于0（即a≤0且b≤0）”，从该假设出发推导a+b的取值范围，若和已知a+b＞0矛盾，即可证明原命题成立。
【解析】
假设$a,b$都不大于0，即$a≤0,b≤0$，
∵ 两个非正数相加的和仍为非正数，
∴ $a+b≤0$，
这与题设$a+b＞0$矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ $a,b$中至少有一个大于0。
【答案】
假设$a,b$都不大于0,即$a≤0,b≤0$,
∵ 两个非正数相加还是非正数,
∴ $a+b≤0$.
这与题设$a+b＞0$矛盾,
∴ 假设不成立.
∴ $a,b$中至少有一个大于0.
【知识点】
反证法；不等式的基本性质
【点评】
本题是反证法的基础典型题，核心考查反证法的证明步骤，重点需要准确对“至少有一个”类存在性结论做否定，通过合理推导得到矛盾即可完成证明，能帮助学生掌握反证法的基本应用逻辑。
【难度系数】
0.8
使用反证法证明命题需遵循三步逻辑：①反设：假设原命题的结论不成立，写出结论的反面表述；②归谬：从反设的结论出发，结合已知条件、已有定理推导，得出矛盾；③存真：由矛盾判定反设错误，从而肯定原命题结论正确。本题中，原结论是“a,b中至少有一个大于0”，其反面为“a,b都不大于0（即a≤0且b≤0）”，从该假设出发推导a+b的取值范围，若和已知a+b＞0矛盾，即可证明原命题成立。
【解析】
假设$a,b$都不大于0，即$a≤0,b≤0$，
∵ 两个非正数相加的和仍为非正数，
∴ $a+b≤0$，
这与题设$a+b＞0$矛盾，
∴ 假设不成立，
∴ $a,b$中至少有一个大于0。
【答案】
假设$a,b$都不大于0,即$a≤0,b≤0$,
∵ 两个非正数相加还是非正数,
∴ $a+b≤0$.
这与题设$a+b＞0$矛盾,
∴ 假设不成立.
∴ $a,b$中至少有一个大于0.
【知识点】
反证法；不等式的基本性质
【点评】
本题是反证法的基础典型题，核心考查反证法的证明步骤，重点需要准确对“至少有一个”类存在性结论做否定，通过合理推导得到矛盾即可完成证明，能帮助学生掌握反证法的基本应用逻辑。
【难度系数】
0.8
