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8. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AC,AB$上,$BD,CE$相交于点$O$.求证:$BD$和$CE$不可能互相平分.(用反证法证明)
答案
8. 如图,连接$DE$.
假设$BD$和$CE$互相平分,则四边形$EBCD$是平行四边形.
∴ $BE// CD$,这与$BE,CD$相交于点$A$矛盾.
∴ 假设不成立,原命题正确,
即$BD$和$CE$不可能互相平分.
解析
【分析】
本题要求用反证法证明，解题思路遵循反证法的常规步骤：首先反设，假设命题的结论不成立，即假设BD和CE互相平分；接下来推谬，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可推出四边形EBCD是平行四边形，进而得到BE//CD，而BE、CD分别在△ABC的两边AB、AC上，AB与AC交于点A，显然不可能平行，出现矛盾；最后存真，由矛盾判定假设不成立，从而得出原命题正确。
【解析】
证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形EBCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质，可得$BE// CD$。
而BE是AB的一部分，CD是AC的一部分，AB与AC相交于点A，与$BE// CD$矛盾。
因此假设不成立，原命题成立，即BD和CE不可能互相平分。
【答案】
8. 如图,连接$DE$.
假设$BD$和$CE$互相平分,则四边形$EBCD$是平行四边形.
∴ $BE// CD$,这与$BE,CD$相交于点$A$矛盾.
∴ 假设不成立,原命题正确,
即$BD$和$CE$不可能互相平分.
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是反证法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握反证法“反设-推谬-存真的核心逻辑，结合平行四边形的相关性质推导得到矛盾即可完成证明，能帮助学生巩固反证法的应用的应用方法。
【难度系数】
0.7
本题要求用反证法证明，解题思路遵循反证法的常规步骤：首先反设，假设命题的结论不成立，即假设BD和CE互相平分；接下来推谬，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可推出四边形EBCD是平行四边形，进而得到BE//CD，而BE、CD分别在△ABC的两边AB、AC上，AB与AC交于点A，显然不可能平行，出现矛盾；最后存真，由矛盾判定假设不成立，从而得出原命题正确。
【解析】
证明：连接DE，
假设BD和CE互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形EBCD是平行四边形。
根据平行四边形的性质，可得$BE// CD$。
而BE是AB的一部分，CD是AC的一部分，AB与AC相交于点A，与$BE// CD$矛盾。
因此假设不成立，原命题成立，即BD和CE不可能互相平分。
【答案】
8. 如图,连接$DE$.
假设$BD$和$CE$互相平分,则四边形$EBCD$是平行四边形.
∴ $BE// CD$,这与$BE,CD$相交于点$A$矛盾.
∴ 假设不成立,原命题正确,
即$BD$和$CE$不可能互相平分.
【知识点】
反证法；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是反证法应用的基础题型，解题关键是熟练掌握反证法“反设-推谬-存真的核心逻辑，结合平行四边形的相关性质推导得到矛盾即可完成证明，能帮助学生巩固反证法的应用的应用方法。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$AM$是边$BC$上的中线. 用反证法证明点$M$不与点$D$重合.
答案
9. 如图,延长$AM$到点$N$,使$MN=AM$,连接$BN$.
假设点$M$与点$D$重合.
∵ $AM$是边$BC$上的中线,
∴ $BM=CM$.
又 $∠AMC=∠NMB$,$AM=NM$,
∴ $△AMC≌△NMB$.
∴ $∠MAC=∠MNB$,$BN=CA$.
∵ $AM(AD)$是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAM=∠MAC$.
∴ $∠MNB=∠BAM$.
∴ $BN=AB$.
∴ $AC=AB$,这与$AB＞AC$相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ 点$M$与点$D$不重合.
解析
【分析】
本题要求用反证法证明结论，首先明确反证法的三步解题逻辑：1. 假设结论不成立，即假设点M与点D重合；2. 结合已知条件推导矛盾：遇到三角形中线可采用“中线加倍”的常用辅助线方法，延长AM到N使MN=AM，构造全等三角形将AC转化为BN，再结合角平分线的性质推导得到AB=AC，与题干给出的AB＞AC矛盾；3. 否定假设，即可得到原结论成立。
【解析】
证明：如图，延长$AM$到点$N$，使$MN=AM$，连接$BN$。
假设点$M$与点$D$重合。
∵ $AM$是边$BC$上的中线，
∴ $BM=CM$。
又 $∠ AMC=∠ NMB$，$AM=NM$，
∴ $△ AMC≌△ NMB$（SAS）。
∴ $∠ MAC=∠ MNB$，$BN=CA$。
∵ $AM(AD)$是$∠ BAC$的平分线，
∴ $∠ BAM=∠ MAC$。
∴ $∠ MNB=∠ BAM$。
∴ $BN=AB$（等角对等边）。
∴ $AC=AB$，这与已知$AB＞AC$相矛盾。
∴ 假设不成立，故点$M$与点$D$不重合。
【答案】
9. 如图,延长$AM$到点$N$,使$MN=AM$,连接$BN$.
假设点$M$与点$D$重合.
∵ $AM$是边$BC$上的中线,
∴ $BM=CM$.
又 $∠AMC=∠NMB$,$AM=NM$,
∴ $△AMC≌△NMB$.
∴ $∠MAC=∠MNB$,$BN=CA$.
∵ $AM(AD)$是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAM=∠MAC$.
∴ $∠MNB=∠BAM$.
∴ $BN=AB$.
∴ $AC=AB$,这与$AB＞AC$相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ 点$M$与点$D$不重合.
【知识点】
反证法；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题重点考查反证法的应用，同时涉及三角形中常用的“中线加倍”辅助线构造方法，需要熟练掌握反证法的基本步骤，能结合全等三角形的知识实现边角的转化，进而推导出矛盾证明结论。
【难度系数】
0.6
本题要求用反证法证明结论，首先明确反证法的三步解题逻辑：1. 假设结论不成立，即假设点M与点D重合；2. 结合已知条件推导矛盾：遇到三角形中线可采用“中线加倍”的常用辅助线方法，延长AM到N使MN=AM，构造全等三角形将AC转化为BN，再结合角平分线的性质推导得到AB=AC，与题干给出的AB＞AC矛盾；3. 否定假设，即可得到原结论成立。
【解析】
证明：如图，延长$AM$到点$N$，使$MN=AM$，连接$BN$。
假设点$M$与点$D$重合。
∵ $AM$是边$BC$上的中线，
∴ $BM=CM$。
又 $∠ AMC=∠ NMB$，$AM=NM$，
∴ $△ AMC≌△ NMB$（SAS）。
∴ $∠ MAC=∠ MNB$，$BN=CA$。
∵ $AM(AD)$是$∠ BAC$的平分线，
∴ $∠ BAM=∠ MAC$。
∴ $∠ MNB=∠ BAM$。
∴ $BN=AB$（等角对等边）。
∴ $AC=AB$，这与已知$AB＞AC$相矛盾。
∴ 假设不成立，故点$M$与点$D$不重合。
【答案】
9. 如图,延长$AM$到点$N$,使$MN=AM$,连接$BN$.
假设点$M$与点$D$重合.
∵ $AM$是边$BC$上的中线,
∴ $BM=CM$.
又 $∠AMC=∠NMB$,$AM=NM$,
∴ $△AMC≌△NMB$.
∴ $∠MAC=∠MNB$,$BN=CA$.
∵ $AM(AD)$是$∠BAC$的平分线,
∴ $∠BAM=∠MAC$.
∴ $∠MNB=∠BAM$.
∴ $BN=AB$.
∴ $AC=AB$,这与$AB＞AC$相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ 点$M$与点$D$不重合.
【知识点】
反证法；全等三角形的判定与性质；角平分线的定义
【点评】
本题重点考查反证法的应用，同时涉及三角形中常用的“中线加倍”辅助线构造方法，需要熟练掌握反证法的基本步骤，能结合全等三角形的知识实现边角的转化，进而推导出矛盾证明结论。
【难度系数】
0.6
10. 设 $a,b,c$ 是不全相等的任意整数,若 $x=a^2 - bc$,$y=b^2 - ac$,$z=c^2 - ab$. 求证:$x,y,z$ 中至少有一个大于 0.(用反证法证明)
答案
10. 假设$x≤0,y≤0,z≤0$.
∵ $x=a^2−bc$,$y=b^2−ac$,$z=c^2−ab$,
∴ $2(x+y+z)=2a^2−2bc+2b^2−2ac+2c^2−2ab=(a^2−2ab+b^2)+(b^2−2bc+c^2)+(a^2−2ac+c^2)=(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2≤0$.
∵ $(a−b)^2≥0$,$(b−c)^2≥0$,$(c−a)^2≥0$,
∴ $(a−b)^2=0$,$(b−c)^2=0$,$(c−a)^2=0$.
∴ $a=b=c$,这与$a,b,c$是不全相等的任意整数相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ $x,y,z$中至少有一个大于0.
∵ $x=a^2−bc$,$y=b^2−ac$,$z=c^2−ab$,
∴ $2(x+y+z)=2a^2−2bc+2b^2−2ac+2c^2−2ab=(a^2−2ab+b^2)+(b^2−2bc+c^2)+(a^2−2ac+c^2)=(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2≤0$.
∵ $(a−b)^2≥0$,$(b−c)^2≥0$,$(c−a)^2≥0$,
∴ $(a−b)^2=0$,$(b−c)^2=0$,$(c−a)^2=0$.
∴ $a=b=c$,这与$a,b,c$是不全相等的任意整数相矛盾.
∴ 假设不成立.
∴ $x,y,z$中至少有一个大于0.
解析
【分析】
本题要求用反证法证明，需按照反证法的常规思路思考：第一步先假设原结论不成立，即“x,y,z中至少有一个大于0”的反面是“x,y,z都小于或等于0”；第二步从假设出发，将x、y、z求和后乘2，通过完全平方公式配方变形为三个平方项的和；第三步结合平方的非负性推导，会得出与“a,b,c不全相等”矛盾的结论；第四步由矛盾判定假设错误，从而肯定原结论成立。
【解析】
证明：假设$x≤0,y≤0,z≤0$。
∵ $x=a^2−bc$,$y=b^2−ac$,$z=c^2−ab$,
∴ $2(x+y+z)=2a^2−2bc+2b^2−2ac+2c^2−2ab$
$=(a^2−2ab+b^2)+(b^2−2bc+c^2)+(a^2−2ac+c^2)$
$=(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2≤0$。
∵ 平方数具有非负性，即$(a−b)^2≥0$,$(b−c)^2≥0$,$(c−a)^2≥0$,
∴ 仅当$(a−b)^2=0$,$(b−c)^2=0$,$(c−a)^2=0$时，三个非负数的和才会小于等于0，
∴ $a=b=c$，这与$a,b,c$是不全相等的任意整数相矛盾。
∴ 假设不成立，
∴ $x,y,z$中至少有一个大于0。
【答案】
$x,y,z$中至少有一个大于0，得证。
【知识点】
反证法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是反证法的典型应用题型，解题核心是正确写出结论的反设，再通过代数配方变形，结合平方的非负性推出与已知条件矛盾的结果，能有效考查逻辑推理能力和代数变形能力。
【难度系数】
0.6
本题要求用反证法证明，需按照反证法的常规思路思考：第一步先假设原结论不成立，即“x,y,z中至少有一个大于0”的反面是“x,y,z都小于或等于0”；第二步从假设出发，将x、y、z求和后乘2，通过完全平方公式配方变形为三个平方项的和；第三步结合平方的非负性推导，会得出与“a,b,c不全相等”矛盾的结论；第四步由矛盾判定假设错误，从而肯定原结论成立。
【解析】
证明：假设$x≤0,y≤0,z≤0$。
∵ $x=a^2−bc$,$y=b^2−ac$,$z=c^2−ab$,
∴ $2(x+y+z)=2a^2−2bc+2b^2−2ac+2c^2−2ab$
$=(a^2−2ab+b^2)+(b^2−2bc+c^2)+(a^2−2ac+c^2)$
$=(a−b)^2+(b−c)^2+(c−a)^2≤0$。
∵ 平方数具有非负性，即$(a−b)^2≥0$,$(b−c)^2≥0$,$(c−a)^2≥0$,
∴ 仅当$(a−b)^2=0$,$(b−c)^2=0$,$(c−a)^2=0$时，三个非负数的和才会小于等于0，
∴ $a=b=c$，这与$a,b,c$是不全相等的任意整数相矛盾。
∴ 假设不成立，
∴ $x,y,z$中至少有一个大于0。
【答案】
$x,y,z$中至少有一个大于0，得证。
【知识点】
反证法，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是反证法的典型应用题型，解题核心是正确写出结论的反设，再通过代数配方变形，结合平方的非负性推出与已知条件矛盾的结果，能有效考查逻辑推理能力和代数变形能力。
【难度系数】
0.6
