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10. 如图，直线$y=ax+b(a≠0)$与$x$轴交点的横坐标为1，则关于$x$的方程$ax=2a-b$的解为（
A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
D
）A.$x=-1$
B.$x=1$
C.$x=2$
D.$x=3$
答案
10.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆一次函数与x轴交点的性质：一次函数$y=ax+b$与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时对应的$x$的值。我们先利用这个性质得到$a$和$b$的数量关系，再把这个关系代入要求解的方程$ax=2a-b$中，结合$a≠0$的条件消去$a$，就能求出$x$的值。
【解析】
∵ 直线$y=ax+b$与x轴交点的横坐标为1
∴ 当$x=1$时，$y=0$，将$x=1$、$y=0$代入函数解析式得：
$a·1 + b = 0$，即$b = -a$
将$b=-a$代入方程$ax=2a - b$，得：
$ax = 2a - (-a)$
整理得$ax=3a$
又
∵$a≠0$，方程两边同时除以$a$，得$x=3$
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；解一元一次方程
【点评】
本题解题的核心是掌握一次函数与x轴交点的坐标特征，通过函数图象信息得到参数的关系，再代入方程求解，将函数问题转化为方程问题是常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆一次函数与x轴交点的性质：一次函数$y=ax+b$与x轴交点的横坐标，就是当$y=0$时对应的$x$的值。我们先利用这个性质得到$a$和$b$的数量关系，再把这个关系代入要求解的方程$ax=2a-b$中，结合$a≠0$的条件消去$a$，就能求出$x$的值。
【解析】
∵ 直线$y=ax+b$与x轴交点的横坐标为1
∴ 当$x=1$时，$y=0$，将$x=1$、$y=0$代入函数解析式得：
$a·1 + b = 0$，即$b = -a$
将$b=-a$代入方程$ax=2a - b$，得：
$ax = 2a - (-a)$
整理得$ax=3a$
又
∵$a≠0$，方程两边同时除以$a$，得$x=3$
【答案】
D
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；解一元一次方程
【点评】
本题解题的核心是掌握一次函数与x轴交点的坐标特征，通过函数图象信息得到参数的关系，再代入方程求解，将函数问题转化为方程问题是常用的解题思路。
【难度系数】
0.7
11. 如图，直线$y_1=x+b$与$y_2=kx-1$相交于点$P$.如果点$P$的横坐标为$-1$，那么关于$x$的不等式$(1-k)x+(b+1)≥0$的解集为（
A.$x＜-1$
B.$x＞-1$
C.$x≤-1$
D.$x≥-1$
D
）A.$x＜-1$
B.$x＞-1$
C.$x≤-1$
D.$x≥-1$
答案
11.D
解析
【分析】
首先将待解不等式进行变形，转化为两个一次函数的函数值大小比较的形式，即判断$y_1=x+b$大于等于$y_2=kx-1$时$x$的取值范围；再结合两直线交点的横坐标，观察图像得出$y_1≥y_2$对应的$x$的范围，就是不等式的解集。
【解析】
对不等式$(1-k)x+(b+1)≥0$移项整理：
$x + b ≥ kx - 1$
结合已知的两个一次函数解析式，该不等式等价于$y_1 ≥ y_2$。
已知直线$y_1=x+b$与$y_2=kx-1$的交点$P$的横坐标为$-1$，观察函数图像可得：当$x≥-1$时，直线$y_1=x+b$的图像位于$y_2=kx-1$的图像上方（包含交点），即此时满足$y_1≥y_2$，因此不等式的解集为$x≥-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数与一元一次不等式
2.一次函数图像性质
【点评】
本题解题核心是将一元一次不等式转化为一次函数值的大小比较问题，结合图像直观求解，渗透了数形结合的数学思想，掌握一次函数的图像特点是解题的基础。
【难度系数】
0.7
首先将待解不等式进行变形，转化为两个一次函数的函数值大小比较的形式，即判断$y_1=x+b$大于等于$y_2=kx-1$时$x$的取值范围；再结合两直线交点的横坐标，观察图像得出$y_1≥y_2$对应的$x$的范围，就是不等式的解集。
【解析】
对不等式$(1-k)x+(b+1)≥0$移项整理：
$x + b ≥ kx - 1$
结合已知的两个一次函数解析式，该不等式等价于$y_1 ≥ y_2$。
已知直线$y_1=x+b$与$y_2=kx-1$的交点$P$的横坐标为$-1$，观察函数图像可得：当$x≥-1$时，直线$y_1=x+b$的图像位于$y_2=kx-1$的图像上方（包含交点），即此时满足$y_1≥y_2$，因此不等式的解集为$x≥-1$。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数与一元一次不等式
2.一次函数图像性质
【点评】
本题解题核心是将一元一次不等式转化为一次函数值的大小比较问题，结合图像直观求解，渗透了数形结合的数学思想，掌握一次函数的图像特点是解题的基础。
【难度系数】
0.7
12. 如图,直线 $ l_1: y = x + 3 $ 与直线 $ l_2: y = mx + \frac{4}{3} $ 相交于点 $ M(-1,2) $,直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ x $ 轴分别交于点 $ A,B $,与 $ y $ 轴分别交于点 $ C,D $.
(1)根据函数图象,写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}y = x + 3, \\ y = mx + \frac{4}{3}\end{cases}$ 的解: ______ .
(2)根据函数图象,写出关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ≤ mx + \frac{4}{3} $ 的解集:
(3)求直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ x $ 轴围成的三角形 $ ABM $ 的面积.
(1)根据函数图象,写出关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}y = x + 3, \\ y = mx + \frac{4}{3}\end{cases}$ 的解: ______ .
(2)根据函数图象,写出关于 $ x $ 的不等式 $ x + 3 ≤ mx + \frac{4}{3} $ 的解集:
$x≤-1$
.(3)求直线 $ l_1,l_2 $ 与 $ x $ 轴围成的三角形 $ ABM $ 的面积.
答案
12.(1)$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
(2)$x≤-1$
(3)$S_{三角形ABM}=5$
(2)$x≤-1$
(3)$S_{三角形ABM}=5$
解析
【分析】
（1）二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$M(-1,2)$，直接可得方程组的解；
（2）不等式$x+3 ≤ mx + \frac{4}{3}$的几何意义是直线$l_1$的函数值小于等于直线$l_2$的函数值，观察图象，找到$l_1$位于$l_2$下方（含交点）时对应的$x$的取值范围即可；
（3）先分别求出直线$l_1$、$l_2$与$x$轴交点$A$、$B$的坐标，计算线段$AB$的长度，再以$AB$为底，点$M$的纵坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 因为直线$l_1:y=x+3$与直线$l_2:y=mx+\frac{4}{3}$的交点为$M(-1,2)$，所以方程组$\begin{cases}y = x + 3 \\ y = mx + \frac{4}{3}\end{cases}$的解为两直线交点坐标，即$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$。
(2) 不等式$x + 3 ≤ mx + \frac{4}{3}$表示直线$l_1$的图象在直线$l_2$图象下方（含交点）的部分，结合图象可知，交点左侧满足条件，对应$x$的取值范围为$x≤-1$。
(3) ①求点A坐标：令$l_1$中$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$；
②求直线$l_2$的解析式：将$M(-1,2)$代入$y=mx+\frac{4}{3}$，得$2=-m+\frac{4}{3}$，解得$m=-\frac{2}{3}$，即$l_2:y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$；
③求点B坐标：令$l_2$中$y=0$，则$0=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，解得$x=2$，所以$B(2,0)$；
④计算AB长度：$AB=2 - (-3)=5$；
⑤三角形ABM的高为点M到x轴的距离，即M点纵坐标的绝对值$h=2$，所以面积$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×5×2=5$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
(2)$x≤-1$
(3)$S_{\mathrm{三角形}ABM}=5$
【知识点】
一次函数与方程组，一次函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，解题核心是理解一次函数图象与方程、不等式的对应关系，计算面积时需准确找到底和对应高的长度，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
（1）二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，已知两直线交点为$M(-1,2)$，直接可得方程组的解；
（2）不等式$x+3 ≤ mx + \frac{4}{3}$的几何意义是直线$l_1$的函数值小于等于直线$l_2$的函数值，观察图象，找到$l_1$位于$l_2$下方（含交点）时对应的$x$的取值范围即可；
（3）先分别求出直线$l_1$、$l_2$与$x$轴交点$A$、$B$的坐标，计算线段$AB$的长度，再以$AB$为底，点$M$的纵坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 因为直线$l_1:y=x+3$与直线$l_2:y=mx+\frac{4}{3}$的交点为$M(-1,2)$，所以方程组$\begin{cases}y = x + 3 \\ y = mx + \frac{4}{3}\end{cases}$的解为两直线交点坐标，即$\begin{cases}x=-1 \\ y=2\end{cases}$。
(2) 不等式$x + 3 ≤ mx + \frac{4}{3}$表示直线$l_1$的图象在直线$l_2$图象下方（含交点）的部分，结合图象可知，交点左侧满足条件，对应$x$的取值范围为$x≤-1$。
(3) ①求点A坐标：令$l_1$中$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$；
②求直线$l_2$的解析式：将$M(-1,2)$代入$y=mx+\frac{4}{3}$，得$2=-m+\frac{4}{3}$，解得$m=-\frac{2}{3}$，即$l_2:y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$；
③求点B坐标：令$l_2$中$y=0$，则$0=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，解得$x=2$，所以$B(2,0)$；
④计算AB长度：$AB=2 - (-3)=5$；
⑤三角形ABM的高为点M到x轴的距离，即M点纵坐标的绝对值$h=2$，所以面积$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×5×2=5$。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$
(2)$x≤-1$
(3)$S_{\mathrm{三角形}ABM}=5$
【知识点】
一次函数与方程组，一次函数与不等式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的综合基础题，解题核心是理解一次函数图象与方程、不等式的对应关系，计算面积时需准确找到底和对应高的长度，注重对基础知识的考查。
【难度系数】
0.7
13.已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人骑车分别从A,B两地同时相向而行,他们都保持匀速行驶.如图,$l_1$,$l_2$分别表示甲、乙两人离B地的距离y km与骑车时间x h的函数关系,当$x=$
1.6
时,甲、乙两人相遇.答案
13.1.6
解析
【分析】
要计算两人相遇的时间，首先明确相遇时两人离B地的距离相等，即函数$l_1$和$l_2$的交点横坐标就是所求$x$值。解题步骤如下：第一步，利用待定系数法分别求出$l_1$、$l_2$的函数解析式；第二步，联立两个解析式，解方程即可得到相遇时的$x$值。
【解析】
1. 求$l_1$的函数解析式：
设$l_1$对应的函数解析式为$y = k_1x + b_1$，
由图可知$l_1$过点$(0,80)$和$(1,50)$，
将$(0,80)$代入得$b_1 = 80$，
将$(1,50)$、$b_1=80$代入得：$50 = k_1 + 80$，解得$k_1=-30$，
因此$l_1: y = -30x + 80$。
2. 求$l_2$的函数解析式：
设$l_2$对应的函数解析式为$y = k_2x$，
由图可知$l_2$过点$(3,60)$，代入得：$60 = 3k_2$，解得$k_2=20$，
因此$l_2: y = 20x$。
3. 求相遇时间：
两人相遇时离B地距离相等，即$-30x + 80 = 20x$，
移项得：$50x = 80$，解得$x = 1.6$。
【答案】
1.6
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程相遇问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解相遇时两人离B地的距离相等，对应两个一次函数图象的交点，掌握待定系数法求解析式是解题基础，能够考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要计算两人相遇的时间，首先明确相遇时两人离B地的距离相等，即函数$l_1$和$l_2$的交点横坐标就是所求$x$值。解题步骤如下：第一步，利用待定系数法分别求出$l_1$、$l_2$的函数解析式；第二步，联立两个解析式，解方程即可得到相遇时的$x$值。
【解析】
1. 求$l_1$的函数解析式：
设$l_1$对应的函数解析式为$y = k_1x + b_1$，
由图可知$l_1$过点$(0,80)$和$(1,50)$，
将$(0,80)$代入得$b_1 = 80$，
将$(1,50)$、$b_1=80$代入得：$50 = k_1 + 80$，解得$k_1=-30$，
因此$l_1: y = -30x + 80$。
2. 求$l_2$的函数解析式：
设$l_2$对应的函数解析式为$y = k_2x$，
由图可知$l_2$过点$(3,60)$，代入得：$60 = 3k_2$，解得$k_2=20$，
因此$l_2: y = 20x$。
3. 求相遇时间：
两人相遇时离B地距离相等，即$-30x + 80 = 20x$，
移项得：$50x = 80$，解得$x = 1.6$。
【答案】
1.6
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数实际应用；一次函数交点问题
【点评】
本题结合行程相遇问题考查一次函数的实际应用，解题核心是理解相遇时两人离B地的距离相等，对应两个一次函数图象的交点，掌握待定系数法求解析式是解题基础，能够考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
14.“地摊经济”是社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
| 商品 | 甲商品 | 乙商品 |
| --- | --- | --- |
| 进价/元·件^{-1} |
65 | 5 |
| 售价/元·件^{-1} | 90 | 10 |
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品$x$件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为$y$元.
(1)求出$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)小明用不超过3500元的资金一次性购进甲、乙两种商品，求$x$的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少.
| 商品 | 甲商品 | 乙商品 |
| --- | --- | --- |
| 进价/元·件^{-1} |
65 | 5 || 售价/元·件^{-1} | 90 | 10 |
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品$x$件，甲、乙商品全部销售完后获得的利润为$y$元.
(1)求出$y$与$x$之间的函数表达式；
(2)小明用不超过3500元的资金一次性购进甲、乙两种商品，求$x$的取值范围；
(3)在(2)的条件下，若要求甲、乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少.
答案
14.(1)$y=20x+500$.
(2)$x$的取值范围为$0≤x≤50$.
(3)由题意,得$20x+500≥1450$,解得$x≥47.5$,结合(2)得$47.5≤x≤50$.
因为$x$为整数,所以$x$的值为48,49,50,共3种进货方案:
①购进甲商品48件,乙商品52件;②购进甲商品49件,乙商品51件;③购进甲商品50件,乙商品50件.
由(1)知,$y$随$x$的增大而增大,
所以当$x=50$时,有最大利润,最大利润为$20×50+500=1500$(元).
(2)$x$的取值范围为$0≤x≤50$.
(3)由题意,得$20x+500≥1450$,解得$x≥47.5$,结合(2)得$47.5≤x≤50$.
因为$x$为整数,所以$x$的值为48,49,50,共3种进货方案:
①购进甲商品48件,乙商品52件;②购进甲商品49件,乙商品51件;③购进甲商品50件,乙商品50件.
由(1)知,$y$随$x$的增大而增大,
所以当$x=50$时,有最大利润,最大利润为$20×50+500=1500$(元).
解析
【分析】
(1) 求利润函数需先明确总利润=甲商品总利润+乙商品总利润：先计算甲、乙的单件利润，再结合甲商品x件、总进货量100件得到乙商品数量，代入总利润公式化简即可得到函数表达式。
(2) 资金不超过3500元即总进价≤3500元，根据甲、乙的进价列出不等式求解，同时结合进货量非负的隐含条件，即可得到x的取值范围。
(3) 先根据利润不低于1450元列不等式，结合(2)的x范围得到x的可行整数解，对应不同进货方案；再根据一次函数的增减性判断利润最大值对应的x值，代入计算最大利润即可。
【解析】
(1) 由题意可知，购进乙商品的数量为$(100-x)$件。
甲商品单件利润：$90-65=25$（元），乙商品单件利润：$10-5=5$（元）
总利润$y=25x+5(100-x)$
化简得：$y=20x+500$
即$y$与$x$的函数表达式为$y=20x+500$。
(2) 根据总进货款不超过3500元，列不等式：
$65x+5(100-x)≤3500$
展开得：$65x+500-5x≤3500$
合并同类项得：$60x≤3000$
解得：$x≤50$
又因为$x$为进货数量，是非负整数，因此$x$的取值范围为$0≤ x≤50$。
(3) 由题意得总利润不少于1450元，即$y≥1450$，代入$y=20x+500$得：
$20x+500≥1450$
解得：$x≥47.5$
结合(2)的$0≤ x≤50$，可得$47.5≤ x≤50$。
因为$x$为整数，所以$x$的取值为48、49、50，共3种进货方案：
①购进甲商品48件，乙商品$100-48=52$件；
②购进甲商品49件，乙商品$100-49=51$件；
③购进甲商品50件，乙商品$100-50=50$件。
一次函数$y=20x+500$中$k=20＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=50$时利润最大，最大利润为$20×50+500=1500$（元）。
【答案】
(1)$y=20x+500$
(2)$0≤ x≤50$
(3)共有3种可行进货方案：①购进甲商品48件，乙商品52件；②购进甲商品49件，乙商品51件；③购进甲商品50件，乙商品50件。购进甲商品50件、乙商品50件时利润最大，最大利润为1500元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、最优方案设计
【点评】
本题结合“地摊经济”的热点背景，考查函数与不等式的综合应用，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，正确建立函数模型、列出不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求利润函数需先明确总利润=甲商品总利润+乙商品总利润：先计算甲、乙的单件利润，再结合甲商品x件、总进货量100件得到乙商品数量，代入总利润公式化简即可得到函数表达式。
(2) 资金不超过3500元即总进价≤3500元，根据甲、乙的进价列出不等式求解，同时结合进货量非负的隐含条件，即可得到x的取值范围。
(3) 先根据利润不低于1450元列不等式，结合(2)的x范围得到x的可行整数解，对应不同进货方案；再根据一次函数的增减性判断利润最大值对应的x值，代入计算最大利润即可。
【解析】
(1) 由题意可知，购进乙商品的数量为$(100-x)$件。
甲商品单件利润：$90-65=25$（元），乙商品单件利润：$10-5=5$（元）
总利润$y=25x+5(100-x)$
化简得：$y=20x+500$
即$y$与$x$的函数表达式为$y=20x+500$。
(2) 根据总进货款不超过3500元，列不等式：
$65x+5(100-x)≤3500$
展开得：$65x+500-5x≤3500$
合并同类项得：$60x≤3000$
解得：$x≤50$
又因为$x$为进货数量，是非负整数，因此$x$的取值范围为$0≤ x≤50$。
(3) 由题意得总利润不少于1450元，即$y≥1450$，代入$y=20x+500$得：
$20x+500≥1450$
解得：$x≥47.5$
结合(2)的$0≤ x≤50$，可得$47.5≤ x≤50$。
因为$x$为整数，所以$x$的取值为48、49、50，共3种进货方案：
①购进甲商品48件，乙商品$100-48=52$件；
②购进甲商品49件，乙商品$100-49=51$件；
③购进甲商品50件，乙商品$100-50=50$件。
一次函数$y=20x+500$中$k=20＞0$，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=50$时利润最大，最大利润为$20×50+500=1500$（元）。
【答案】
(1)$y=20x+500$
(2)$0≤ x≤50$
(3)共有3种可行进货方案：①购进甲商品48件，乙商品52件；②购进甲商品49件，乙商品51件；③购进甲商品50件，乙商品50件。购进甲商品50件、乙商品50件时利润最大，最大利润为1500元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、最优方案设计
【点评】
本题结合“地摊经济”的热点背景，考查函数与不等式的综合应用，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，正确建立函数模型、列出不等式，再结合一次函数的增减性求解最值，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
