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7.已知二次函数$y=x^2 -4x +2$，关于该函数在$-1≤ x≤3$的取值范围内，下列说法正确的是（
A.有最大值－1，有最小值－2
B.有最大值0，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值7，有最小值－2
D
）A.有最大值－1，有最小值－2
B.有最大值0，有最小值－1
C.有最大值7，有最小值－1
D.有最大值7，有最小值－2
答案
7.D
解析
【分析】
要解决二次函数在给定闭区间内的最值问题，首先可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标；再判断对称轴是否在给定区间内：若开口向上，对称轴处取得最小值，最大值为区间两端点中离对称轴更远的点对应的函数值；最后分别计算对应点的函数值即可判断选项。
【解析】
首先对二次函数进行配方：
$y=x^2 -4x +2 = (x^2-4x+4) -4 +2 = (x-2)^2 -2$
由此可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-2)$。
已知取值范围是$-1≤x≤3$，对称轴$x=2$在该区间内：
1. 最小值：开口向上时顶点为最低点，故当$x=2$时，$y_{最小}=-2$；
2. 最大值：比较区间两端点到对称轴的距离，$x=-1$到$x=2$的距离为$| -1 -2 | =3$，$x=3$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$，故$x=-1$处函数值更大。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2 -4×(-1)+2=1+4+2=7$，即$y_{最大}=7$。
因此该函数在$-1≤x≤3$范围内有最大值7，最小值-2。
【答案】
D
【知识点】
配方法化二次函数顶点式，二次函数的对称轴，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用，解题关键是先确定对称轴位置，结合开口方向判断最值的取值点，计算端点函数值时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定闭区间内的最值问题，首先可以通过配方法将二次函数一般式转化为顶点式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标；再判断对称轴是否在给定区间内：若开口向上，对称轴处取得最小值，最大值为区间两端点中离对称轴更远的点对应的函数值；最后分别计算对应点的函数值即可判断选项。
【解析】
首先对二次函数进行配方：
$y=x^2 -4x +2 = (x^2-4x+4) -4 +2 = (x-2)^2 -2$
由此可知该二次函数开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-2)$。
已知取值范围是$-1≤x≤3$，对称轴$x=2$在该区间内：
1. 最小值：开口向上时顶点为最低点，故当$x=2$时，$y_{最小}=-2$；
2. 最大值：比较区间两端点到对称轴的距离，$x=-1$到$x=2$的距离为$| -1 -2 | =3$，$x=3$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$，故$x=-1$处函数值更大。
当$x=-1$时，$y=(-1)^2 -4×(-1)+2=1+4+2=7$，即$y_{最大}=7$。
因此该函数在$-1≤x≤3$范围内有最大值7，最小值-2。
【答案】
D
【知识点】
配方法化二次函数顶点式，二次函数的对称轴，二次函数区间最值
【点评】
本题属于二次函数性质的基础应用，解题关键是先确定对称轴位置，结合开口方向判断最值的取值点，计算端点函数值时要注意符号不要出错。
【难度系数】
0.7
8.某公司对办公大楼一块墙面进行如图所示的图案设计.这个图案是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成的大正方形.设小正方形的边长为$m$,直角三角形较短直角边长为$n$,且$n=2m-4$,大正方形的面积为$S$.
(1)求$S$关于$m$的函数表达式.
(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时,求$m$的值.
(1)求$S$关于$m$的函数表达式.
(2)若小正方形边长不大于3,当大正方形面积最大时,求$m$的值.
答案
8.解:(1)
∵小正方形的边长为 m,直角三角形较短边长为 n,
∴直角三角形较长边长为$m+n$,
∴由勾股定理得:$S=(m+n)^2+n^2$,$\because n=2m-4$,
∴$S=(m+2m-4)^2+(2m-4)^2=13m^2-40m+32$.$\because n=2m-4＞0$,$\therefore m＞2$.
∴S 关于 m 的函数关系式为$S=13m^2-40m+32(m＞2)$.(2)$\because S=13m^2-40m+32(2＜m≤ 3)$,$\therefore S=13(m-\frac{20}{13})^2+\frac{16}{13}$,$\because m≥ \frac{20}{13}$时,S 随 x 的增大而增大,$\therefore m=3$时,S 有最大值.$\therefore m=3$.
∵小正方形的边长为 m,直角三角形较短边长为 n,
∴直角三角形较长边长为$m+n$,
∴由勾股定理得:$S=(m+n)^2+n^2$,$\because n=2m-4$,
∴$S=(m+2m-4)^2+(2m-4)^2=13m^2-40m+32$.$\because n=2m-4＞0$,$\therefore m＞2$.
∴S 关于 m 的函数关系式为$S=13m^2-40m+32(m＞2)$.(2)$\because S=13m^2-40m+32(2＜m≤ 3)$,$\therefore S=13(m-\frac{20}{13})^2+\frac{16}{13}$,$\because m≥ \frac{20}{13}$时,S 随 x 的增大而增大,$\therefore m=3$时,S 有最大值.$\therefore m=3$.
解析
【分析】
(1) 求S关于m的函数表达式时，首先明确大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可知大正方形面积等于直角三角形两条直角边的平方和。结合图形可得直角三角形长直角边为$m+n$，再将$n=2m-4$代入面积表达式，同时根据边长为正的隐含条件确定m的取值范围，化简后即可得到函数关系式。
(2) 求大正方形面积最大时的m值，属于二次函数定区间的最值问题。先将二次函数化为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合"小正方形边长不大于3"的条件确定m的完整取值范围，根据二次函数的单调性即可确定S取最大值时对应的m值。
【解析】
(1)
∵小正方形的边长为m，直角三角形较短直角边长为n，
∴直角三角形较长直角边长为$m+n$，
由勾股定理得大正方形面积：$S=n^2+(m+n)^2$，
将$n=2m-4$代入得：
$S=(2m-4)^2+(m+2m-4)^2$
$=(4m^2-16m+16)+(9m^2-24m+16)$
$=13m^2-40m+32$，
∵直角三角形边长为正，$\therefore n=2m-4＞0$，解得$m＞2$，
∴S关于m的函数表达式为$S=13m^2-40m+32(m＞2)$。
(2)
∵小正方形边长不大于3，$\therefore m≤3$，结合(1)中$m＞2$，得m的取值范围为$2＜m≤3$，
将二次函数配方得：
$S=13m^2-40m+32=13(m-\frac{20}{13})^2+\frac{16}{13}$，
∵$13＞0$，函数开口向上，对称轴为$m=\frac{20}{13}$，
∴当$m＞\frac{20}{13}$时，S随m的增大而增大，
在$2＜m≤3$范围内，S随m的增大而增大，因此当$m=3$时，S取得最大值。
【答案】
(1) $S=13m^2-40m+32(m＞2)$
(2) $m=3$
【知识点】
勾股定理，二次函数解析式，二次函数的性质
【点评】
本题为几何与二次函数结合的综合题，解题核心是先通过图形的边长关系结合勾股定理推导函数解析式，再结合二次函数的单调性和自变量的取值范围求解最值，解题时需注意边长为正的隐含条件，避免因忽略自变量范围导致错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求S关于m的函数表达式时，首先明确大正方形的边长是直角三角形的斜边，由勾股定理可知大正方形面积等于直角三角形两条直角边的平方和。结合图形可得直角三角形长直角边为$m+n$，再将$n=2m-4$代入面积表达式，同时根据边长为正的隐含条件确定m的取值范围，化简后即可得到函数关系式。
(2) 求大正方形面积最大时的m值，属于二次函数定区间的最值问题。先将二次函数化为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合"小正方形边长不大于3"的条件确定m的完整取值范围，根据二次函数的单调性即可确定S取最大值时对应的m值。
【解析】
(1)
∵小正方形的边长为m，直角三角形较短直角边长为n，
∴直角三角形较长直角边长为$m+n$，
由勾股定理得大正方形面积：$S=n^2+(m+n)^2$，
将$n=2m-4$代入得：
$S=(2m-4)^2+(m+2m-4)^2$
$=(4m^2-16m+16)+(9m^2-24m+16)$
$=13m^2-40m+32$，
∵直角三角形边长为正，$\therefore n=2m-4＞0$，解得$m＞2$，
∴S关于m的函数表达式为$S=13m^2-40m+32(m＞2)$。
(2)
∵小正方形边长不大于3，$\therefore m≤3$，结合(1)中$m＞2$，得m的取值范围为$2＜m≤3$，
将二次函数配方得：
$S=13m^2-40m+32=13(m-\frac{20}{13})^2+\frac{16}{13}$，
∵$13＞0$，函数开口向上，对称轴为$m=\frac{20}{13}$，
∴当$m＞\frac{20}{13}$时，S随m的增大而增大，
在$2＜m≤3$范围内，S随m的增大而增大，因此当$m=3$时，S取得最大值。
【答案】
(1) $S=13m^2-40m+32(m＞2)$
(2) $m=3$
【知识点】
勾股定理，二次函数解析式，二次函数的性质
【点评】
本题为几何与二次函数结合的综合题，解题核心是先通过图形的边长关系结合勾股定理推导函数解析式，再结合二次函数的单调性和自变量的取值范围求解最值，解题时需注意边长为正的隐含条件，避免因忽略自变量范围导致错误。
【难度系数】
0.7
9.如图，直线$y=x+n$与抛物线$y=ax^2+bx+5(a≠0)$相交于$A(1,2)$和$B(4,m)$两点，点$P$是线段$AB$上异于$A,B$的动点，过点$P$作$PC⊥x$轴于点$D$，交抛物线于点$C$。
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)是否存在这样的点$P$，使线段$PC$的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)是否存在这样的点$P$，使线段$PC$的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
答案
9.解:(1)把$A(1,2)$代入$y=x+n$,得$1+n=2$,解得$n=1$,
∴一次函数解析式为$y=x+1$;把$B(4,m)$代入$y=x+1$,得$m=4+1=5$,即$B(4,5)$,把$A(1,2),B(4,5)$代入$y=ax^2+bx+5$,得$\begin{cases}a+b+5=2,\\16a+4b+5=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4x+5$.(2)存在.设$P(t,t+1)(1＜t＜4)$,$\because PC⊥ x$轴,$\therefore C(t,t^2-4t+5)$,$\therefore PC=t+1-(t^2-4t+5)=-t^2+5t-4=-(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$,当$t=\frac{5}{2}$时,PC 的长有最大值,最大值为$\frac{9}{4}$.
∴一次函数解析式为$y=x+1$;把$B(4,m)$代入$y=x+1$,得$m=4+1=5$,即$B(4,5)$,把$A(1,2),B(4,5)$代入$y=ax^2+bx+5$,得$\begin{cases}a+b+5=2,\\16a+4b+5=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\end{cases}$
∴抛物线解析式为$y=x^2-4x+5$.(2)存在.设$P(t,t+1)(1＜t＜4)$,$\because PC⊥ x$轴,$\therefore C(t,t^2-4t+5)$,$\therefore PC=t+1-(t^2-4t+5)=-t^2+5t-4=-(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$,当$t=\frac{5}{2}$时,PC 的长有最大值,最大值为$\frac{9}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式需先得到抛物线上两个点的坐标：已知点A在直线上，先将A代入直线解析式求出n，得到直线的完整表达式，再将B的横坐标代入直线求出B的纵坐标，得到B点坐标；最后把A、B两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出a、b，得到抛物线解析式。
(2) 要判断是否存在点P使PC最长，因PC垂直x轴，P、C横坐标相同，设P的横坐标为t，结合P在直线上、C在抛物线上分别表示出两点的纵坐标，PC长度为P的纵坐标减C的纵坐标（P在C上方），得到关于t的二次函数，结合t的取值范围，利用二次函数的性质即可求出PC的最大值。
【解析】
(1) 把$A(1,2)$代入$y=x+n$，得$1+n=2$，解得$n=1$，
∴直线AB的解析式为$y=x+1$。
把$B(4,m)$代入$y=x+1$，得$m=4+1=5$，即$B(4,5)$。
把$A(1,2)$、$B(4,5)$代入$y=ax^2+bx+5$，得方程组：
$\begin{cases}a+b+5=2\\16a+4b+5=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 存在。
设点P的横坐标为$t(1＜t＜4)$，
∵P在线段AB上，
∴$P(t,t+1)$，
∵$PC⊥x$轴，C在抛物线上，
∴$C(t,t^2-4t+5)$，
∴$PC=(t+1)-(t^2-4t+5)=-t^2+5t-4$，
配方得：$PC=-(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$，
∵二次项系数$-1＜0$，且$t=\frac{5}{2}$在$1＜t＜4$范围内，
∴当$t=\frac{5}{2}$时，PC的长取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+5}$
(2) 存在，PC的最大值为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础综合题，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规方法，第二问考查动点线段最值的处理思路，核心是通过设参数表示同横坐标的两点坐标，将线段长度转化为二次函数求最值，是二次函数应用的典型题型，需熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.7
(1) 求抛物线解析式需先得到抛物线上两个点的坐标：已知点A在直线上，先将A代入直线解析式求出n，得到直线的完整表达式，再将B的横坐标代入直线求出B的纵坐标，得到B点坐标；最后把A、B两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求出a、b，得到抛物线解析式。
(2) 要判断是否存在点P使PC最长，因PC垂直x轴，P、C横坐标相同，设P的横坐标为t，结合P在直线上、C在抛物线上分别表示出两点的纵坐标，PC长度为P的纵坐标减C的纵坐标（P在C上方），得到关于t的二次函数，结合t的取值范围，利用二次函数的性质即可求出PC的最大值。
【解析】
(1) 把$A(1,2)$代入$y=x+n$，得$1+n=2$，解得$n=1$，
∴直线AB的解析式为$y=x+1$。
把$B(4,m)$代入$y=x+1$，得$m=4+1=5$，即$B(4,5)$。
把$A(1,2)$、$B(4,5)$代入$y=ax^2+bx+5$，得方程组：
$\begin{cases}a+b+5=2\\16a+4b+5=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\b=-4\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为$y=x^2-4x+5$。
(2) 存在。
设点P的横坐标为$t(1＜t＜4)$，
∵P在线段AB上，
∴$P(t,t+1)$，
∵$PC⊥x$轴，C在抛物线上，
∴$C(t,t^2-4t+5)$，
∴$PC=(t+1)-(t^2-4t+5)=-t^2+5t-4$，
配方得：$PC=-(t-\frac{5}{2})^2+\frac{9}{4}$，
∵二次项系数$-1＜0$，且$t=\frac{5}{2}$在$1＜t＜4$范围内，
∴当$t=\frac{5}{2}$时，PC的长取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x^2-4x+5}$
(2) 存在，PC的最大值为$\boldsymbol{\frac{9}{4}}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的最值，函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的基础综合题，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规方法，第二问考查动点线段最值的处理思路，核心是通过设参数表示同横坐标的两点坐标，将线段长度转化为二次函数求最值，是二次函数应用的典型题型，需熟练掌握相关方法。
【难度系数】
0.7
