登录
1.已知抛物线$y=(x-2)^2+1$.下列结论错误的是 （
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路为：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义，再结合参数逐一判断四个选项的正误即可。其中$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性需结合开口方向和对称轴共同判断。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=(x-2)^2+1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数$a=1$，$h=2$，$k=1$：
选项A：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A结论正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B结论正确，不符合题意；
选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,1)$，C结论正确，不符合题意；
选项D：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式性质的理解与运用，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向对函数增减性的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路为：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的意义，再结合参数逐一判断四个选项的正误即可。其中$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性需结合开口方向和对称轴共同判断。
【解析】
已知抛物线解析式为顶点式$y=(x-2)^2+1$，对应顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得参数$a=1$，$h=2$，$k=1$：
选项A：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A结论正确，不符合题意；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=2$，B结论正确，不符合题意；
选项C：抛物线顶点坐标为$(h,k)=(2,1)$，C结论正确，不符合题意；
选项D：$\because$抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数顶点式性质的理解与运用，熟练掌握顶点式中各参数对应的几何意义，以及开口方向对函数增减性的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2.若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则 （
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
）A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题有两种常规解题思路：思路一为代入求值法，直接将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的具体数值后比较大小即可；思路二为利用二次函数增减性判断，先明确y=x²的开口方向、对称轴，再判断三个点的横坐标所在的区间，根据该区间内函数的增减性，由横坐标的大小关系推导对应y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：利用二次函数增减性求解
二次函数$y=x^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），可得：当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，均在$x≥0$的区间内，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都比较常用，代入法直观易懂，利用增减性解题效率更高，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
这道题有两种常规解题思路：思路一为代入求值法，直接将三个点的横坐标分别代入二次函数解析式，计算出对应的y₁、y₂、y₃的具体数值后比较大小即可；思路二为利用二次函数增减性判断，先明确y=x²的开口方向、对称轴，再判断三个点的横坐标所在的区间，根据该区间内函数的增减性，由横坐标的大小关系推导对应y值的大小关系。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=0$代入$y=x^2$，得$y_1=0^2=0$；
将$x=1$代入$y=x^2$，得$y_2=1^2=1$；
将$x=2$代入$y=x^2$，得$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
方法二：利用二次函数增减性求解
二次函数$y=x^2$中，二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（即y轴），可得：当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，均在$x≥0$的区间内，因此对应的函数值满足$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都比较常用，代入法直观易懂，利用增减性解题效率更高，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.9
3.如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴相交于$A(-1,0),B$两点,对称轴是直线$x=1$.下列说法正确的是 （
A.$a＞0$
B.当$x＞-1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.点$B$的坐标为$(4,0)$
D.$4a+2b+c＞0$
D
）A.$a＞0$
B.当$x＞-1$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.点$B$的坐标为$(4,0)$
D.$4a+2b+c＞0$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时需结合二次函数的图像特征与基本性质，逐一分析选项：首先根据开口方向判断a的符号；再结合对称轴判断函数的增减性；利用二次函数与x轴两交点关于对称轴对称的性质求B点坐标；最后代入x=2判断对应函数值的符号，即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由图像可知二次函数开口向下，因此$a＜0$，故A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$x=1$，且开口向下，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，并非$x＞-1$时$y$都随$x$增大而增大，故B错误；
C. 二次函数与x轴的交点A、B关于对称轴$x=1$对称，A点坐标为$(-1,0)$，到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此B点横坐标为$1+2=3$，即$B(3,0)$，故C错误；
D. 当$x=2$时，代入二次函数解析式得$y=4a+2b+c$，由图像可知$x=2$在对称轴右侧、点B左侧，对应点在x轴上方，即$y＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数对称性；函数值符号判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，需结合图像信息逐一推导判断，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性、对称性等核心性质即可快速解题，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时需结合二次函数的图像特征与基本性质，逐一分析选项：首先根据开口方向判断a的符号；再结合对称轴判断函数的增减性；利用二次函数与x轴两交点关于对称轴对称的性质求B点坐标；最后代入x=2判断对应函数值的符号，即可得出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 由图像可知二次函数开口向下，因此$a＜0$，故A错误；
B. 二次函数对称轴为直线$x=1$，且开口向下，因此当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，并非$x＞-1$时$y$都随$x$增大而增大，故B错误；
C. 二次函数与x轴的交点A、B关于对称轴$x=1$对称，A点坐标为$(-1,0)$，到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，因此B点横坐标为$1+2=3$，即$B(3,0)$，故C错误；
D. 当$x=2$时，代入二次函数解析式得$y=4a+2b+c$，由图像可知$x=2$在对称轴右侧、点B左侧，对应点在x轴上方，即$y＞0$，因此$4a+2b+c＞0$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数对称性；函数值符号判断
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，需结合图像信息逐一推导判断，熟练掌握二次函数的开口、对称轴、增减性、对称性等核心性质即可快速解题，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
4.已知点$(-3,y_1),(-2,y_2),(1,y_3)$在抛物线$y=-3x^2-12x+m$上,则 (
A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
B
)A.$y_3＜y_2＜y_1$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
4.B
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先明确抛物线的开口方向，再计算出抛物线的对称轴，接着判断三个点的横坐标到对称轴的距离，根据开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，即可得出三个y值的大小关系，该方法比直接代入计算更简便。
【解析】
对于二次函数$y=-3x^2-12x+m$：
1. 确定开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，在对称轴处函数值取得最大值，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3,b=-12$，得$x=-\frac{-12}{2×(-3)}=-2$。
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-3,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$；
点$(-2,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-2-(-2)|=0$；
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$|1-(-2)|=3$。
4. 比较函数值大小：$\because 3＞1＞0$，结合开口向下的性质，得$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质、二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题目，解题核心是准确求出对称轴，结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值，避免了代入计算的繁琐，掌握该方法可快速解决同类函数值比较问题。
【难度系数】
0.7
要比较三个点的函数值大小，可利用二次函数的性质求解：首先明确抛物线的开口方向，再计算出抛物线的对称轴，接着判断三个点的横坐标到对称轴的距离，根据开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，即可得出三个y值的大小关系，该方法比直接代入计算更简便。
【解析】
对于二次函数$y=-3x^2-12x+m$：
1. 确定开口方向：$\because a=-3＜0$，$\therefore$ 抛物线开口向下，在对称轴处函数值取得最大值，且点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小。
2. 计算对称轴：对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3,b=-12$，得$x=-\frac{-12}{2×(-3)}=-2$。
3. 计算各点到对称轴的距离：
点$(-3,y_1)$到$x=-2$的距离：$|-3-(-2)|=1$；
点$(-2,y_2)$到$x=-2$的距离：$|-2-(-2)|=0$；
点$(1,y_3)$到$x=-2$的距离：$|1-(-2)|=3$。
4. 比较函数值大小：$\because 3＞1＞0$，结合开口向下的性质，得$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质、二次函数对称轴计算
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用题目，解题核心是准确求出对称轴，结合开口方向通过点到对称轴的距离比较函数值，避免了代入计算的繁琐，掌握该方法可快速解决同类函数值比较问题。
【难度系数】
0.7
5.当$-1≤ x≤ 3$时，二次函数$y=x^2-4x+5$有最大值$m$，则$m=$
10
.答案
5.10
解析
【分析】
要解决二次函数在给定闭区间上的最值问题，思路如下：1. 先将二次函数化为顶点式，或用对称轴公式，确定开口方向和对称轴；2. 判断对称轴是否落在给定区间$[-1,3]$内；3. 该二次函数开口向上，因此区间内最小值在顶点处取得，最大值在离对称轴更远的区间端点处取得，代入计算端点的函数值，比较得到最大值即可。
【解析】
先对二次函数进行配方：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
可得二次项系数$a=1＞0$，函数图像开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$，顶点是函数的最小值点。
已知$x$的取值范围是$-1≤ x≤3$，分别计算区间两个端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2+1=9+1=10$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2+1=1+1=2$。
比较10、2、1的大小，可得函数的最大值$m=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数性质；二次函数最值；配方法
【点评】
本题考查二次函数区间最值的求解，解题核心是先明确函数的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的取值位置，注意不要直接将顶点函数值当成区间最值，需结合区间范围分析，避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决二次函数在给定闭区间上的最值问题，思路如下：1. 先将二次函数化为顶点式，或用对称轴公式，确定开口方向和对称轴；2. 判断对称轴是否落在给定区间$[-1,3]$内；3. 该二次函数开口向上，因此区间内最小值在顶点处取得，最大值在离对称轴更远的区间端点处取得，代入计算端点的函数值，比较得到最大值即可。
【解析】
先对二次函数进行配方：
$y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
可得二次项系数$a=1＞0$，函数图像开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,1)$，顶点是函数的最小值点。
已知$x$的取值范围是$-1≤ x≤3$，分别计算区间两个端点的函数值：
当$x=-1$时，$y=(-1-2)^2+1=9+1=10$；
当$x=3$时，$y=(3-2)^2+1=1+1=2$。
比较10、2、1的大小，可得函数的最大值$m=10$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数性质；二次函数最值；配方法
【点评】
本题考查二次函数区间最值的求解，解题核心是先明确函数的开口方向和对称轴，再结合给定区间判断最值的取值位置，注意不要直接将顶点函数值当成区间最值，需结合区间范围分析，避免出错。
【难度系数】
0.7
6.已知函数$y=-x^2 -7x +18$.
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)求出图象与坐标轴的交点坐标.
(3)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(4)x取何值时，$y＞0$？x取何值时，$y＜0$？
(1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)求出图象与坐标轴的交点坐标.
(3)x为何值时，y随x的增大而增大？x为何值时，y随x的增大而减小？
(4)x取何值时，$y＞0$？x取何值时，$y＜0$？
答案
6.解:(1)开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{7}{2}$,顶点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{121}{4})$.(2)$(0,18),(2,0),(-9,0)$.(3)当$x≤ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而增大;当$x≥ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而减小.(4)当$-9＜x＜2$时,$y＞0$;当$x＜-9$或$x＞2$时,$y＜0$.
解析
【分析】
这是一道二次函数性质的基础应用题，解题思路如下：①对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，先通过$a$的符号判断开口方向，再用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴，代入对称轴到函数式或用顶点纵坐标公式求顶点坐标；②求与坐标轴交点时，令$x=0$得与y轴交点，令$y=0$解一元二次方程得与x轴交点；③结合开口方向和对称轴判断函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；④结合开口方向和与x轴的交点，判断函数值大于0、小于0对应的x范围：开口向下时，两交点之间的x对应$y＞0$，两交点外侧的x对应$y＜0$。
【解析】
解：(1) 已知函数为$y=-x^2-7x+18$，属于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，其中$a=-1＜0$，$b=-7$，$c=18$。
∵ $a=-1＜0$，
∴ 函数图象开口向下；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-7}{2×(-1)}=-\frac{7}{2}$；
将$x=-\frac{7}{2}$代入函数得顶点纵坐标：
$y=-(-\frac{7}{2})^2 -7×(-\frac{7}{2}) +18=-\frac{49}{4}+\frac{49}{2}+18=\frac{121}{4}$，
∴ 顶点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{121}{4})$。
(2) 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=18$，
∴ 与y轴交点为$(0,18)$；
求与x轴交点：令$y=0$，则$-x^2-7x+18=0$，整理得$x^2+7x-18=0$，
因式分解得$(x+9)(x-2)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=2$，
∴ 与x轴交点为$(2,0)$、$(-9,0)$。
(3)
∵ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{7}{2}$，
∴ 当$x≤ -\frac{7}{2}$时，y随x的增大而增大；当$x≥ -\frac{7}{2}$时，y随x的增大而减小。
(4)
∵ 函数图象开口向下，与x轴交于$(-9,0)$、$(2,0)$，
∴ 当图象在x轴上方时，$y＞0$，对应x的范围是$-9＜x＜2$；
当图象在x轴下方时，$y＜0$，对应x的范围是$x＜-9$或$x＞2$。
【答案】
(1)开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{7}{2}$,顶点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{121}{4})$.
(2)$(0,18),(2,0),(-9,0)$.
(3)当$x≤ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而增大;当$x≥ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而减小.
(4)当$-9＜x＜2$时,$y＞0$;当$x＜-9$或$x＞2$时,$y＜0$.
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，涉及开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标、增减性及函数值符号判断等核心考点，难度较低，需要熟练掌握二次函数基本性质及一元二次方程的解法，为后续二次函数综合应用打好基础。
【难度系数】
0.8
这是一道二次函数性质的基础应用题，解题思路如下：①对于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，先通过$a$的符号判断开口方向，再用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$求对称轴，代入对称轴到函数式或用顶点纵坐标公式求顶点坐标；②求与坐标轴交点时，令$x=0$得与y轴交点，令$y=0$解一元二次方程得与x轴交点；③结合开口方向和对称轴判断函数增减性：开口向下时，对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小；④结合开口方向和与x轴的交点，判断函数值大于0、小于0对应的x范围：开口向下时，两交点之间的x对应$y＞0$，两交点外侧的x对应$y＜0$。
【解析】
解：(1) 已知函数为$y=-x^2-7x+18$，属于二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，其中$a=-1＜0$，$b=-7$，$c=18$。
∵ $a=-1＜0$，
∴ 函数图象开口向下；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-7}{2×(-1)}=-\frac{7}{2}$；
将$x=-\frac{7}{2}$代入函数得顶点纵坐标：
$y=-(-\frac{7}{2})^2 -7×(-\frac{7}{2}) +18=-\frac{49}{4}+\frac{49}{2}+18=\frac{121}{4}$，
∴ 顶点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{121}{4})$。
(2) 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=18$，
∴ 与y轴交点为$(0,18)$；
求与x轴交点：令$y=0$，则$-x^2-7x+18=0$，整理得$x^2+7x-18=0$，
因式分解得$(x+9)(x-2)=0$，解得$x_1=-9$，$x_2=2$，
∴ 与x轴交点为$(2,0)$、$(-9,0)$。
(3)
∵ 函数图象开口向下，对称轴为直线$x=-\frac{7}{2}$，
∴ 当$x≤ -\frac{7}{2}$时，y随x的增大而增大；当$x≥ -\frac{7}{2}$时，y随x的增大而减小。
(4)
∵ 函数图象开口向下，与x轴交于$(-9,0)$、$(2,0)$，
∴ 当图象在x轴上方时，$y＞0$，对应x的范围是$-9＜x＜2$；
当图象在x轴下方时，$y＜0$，对应x的范围是$x＜-9$或$x＞2$。
【答案】
(1)开口向下,对称轴为直线$x=-\frac{7}{2}$,顶点坐标为$(-\frac{7}{2},\frac{121}{4})$.
(2)$(0,18),(2,0),(-9,0)$.
(3)当$x≤ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而增大;当$x≥ -\frac{7}{2}$时,y 随 x 的增大而减小.
(4)当$-9＜x＜2$时,$y＞0$;当$x＜-9$或$x＞2$时,$y＜0$.
【知识点】
二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数与不等式的关系
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，涉及开口方向、对称轴、顶点坐标、交点坐标、增减性及函数值符号判断等核心考点，难度较低，需要熟练掌握二次函数基本性质及一元二次方程的解法，为后续二次函数综合应用打好基础。
【难度系数】
0.8
