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7.在平面直角坐标系中,如果抛物线$y=2x^2$不动,而坐标轴向上、向右各平移2个单位长度,那么新的平面直角坐标系中抛物线的函数表达式是（
A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
B
）A.$y=2(x-2)^2+2$
B.$y=2(x+2)^2-2$
C.$y=2(x-2)^2-2$
D.$y=2(x+2)^2+2$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先要明确坐标轴平移和函数图象平移是相对运动关系：坐标轴的平移方向与函数图象相对于新坐标系的平移方向相反。本题中坐标轴向上、向右各平移2个单位，等价于抛物线保持不动的前提下，相对于新坐标系向左平移2个单位、向下平移2个单位，之后结合二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律对原解析式进行变换即可，也可通过坐标代换的方法直接推导新坐标系下的解析式。
【解析】
方法1（相对运动法）：
坐标轴向上平移2个单位、向右平移2个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位、向下平移2个单位。
原抛物线解析式为$y=2x^2$，根据平移规则：
向左平移2个单位，将解析式中的$x$替换为$x+2$；向下平移2个单位，在整体表达式后减2，
可得新坐标系下的解析式为$y=2(x+2)^2-2$。
方法2（坐标代换法）：
设新坐标系内任意一点坐标为$(x,y)$，因坐标轴向右、向上各平移2个单位，因此该点在原坐标系中的坐标为$(x+2,y+2)$。
将原坐标代入原抛物线解析式$y_{原}=2x_{原}^2$，得：
$y+2=2(x+2)^2$，
整理得$y=2(x+2)^2-2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.坐标平移的相对性
【点评】
本题是二次函数平移的典型变式题，没有直接考查图象平移，而是通过坐标轴平移设置考点，解题核心是将坐标轴的平移转化为图象的反向平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则即可快速解题，要注意避免混淆平移方向导致出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确坐标轴平移和函数图象平移是相对运动关系：坐标轴的平移方向与函数图象相对于新坐标系的平移方向相反。本题中坐标轴向上、向右各平移2个单位，等价于抛物线保持不动的前提下，相对于新坐标系向左平移2个单位、向下平移2个单位，之后结合二次函数“左加右减、上加下减”的平移规律对原解析式进行变换即可，也可通过坐标代换的方法直接推导新坐标系下的解析式。
【解析】
方法1（相对运动法）：
坐标轴向上平移2个单位、向右平移2个单位，相当于抛物线相对于新坐标系向左平移2个单位、向下平移2个单位。
原抛物线解析式为$y=2x^2$，根据平移规则：
向左平移2个单位，将解析式中的$x$替换为$x+2$；向下平移2个单位，在整体表达式后减2，
可得新坐标系下的解析式为$y=2(x+2)^2-2$。
方法2（坐标代换法）：
设新坐标系内任意一点坐标为$(x,y)$，因坐标轴向右、向上各平移2个单位，因此该点在原坐标系中的坐标为$(x+2,y+2)$。
将原坐标代入原抛物线解析式$y_{原}=2x_{原}^2$，得：
$y+2=2(x+2)^2$，
整理得$y=2(x+2)^2-2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.坐标平移的相对性
【点评】
本题是二次函数平移的典型变式题，没有直接考查图象平移，而是通过坐标轴平移设置考点，解题核心是将坐标轴的平移转化为图象的反向平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则即可快速解题，要注意避免混淆平移方向导致出错。
【难度系数】
0.6
8.二次函数$y=a(x+k)^2 +k(a≠0)$，无论$k$为何实数，其图象的顶点总在直线
$y=-x$
上。答案
8.$y=-x$
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式的结构特征，对于顶点式$y=a(x-h)^2+m$，其顶点坐标为$(h,m)$。本题给出的二次函数是含参数$k$的顶点式，我们第一步先写出它的顶点坐标，再把顶点的横、纵坐标分别看作变量$x$和$y$，消去参数$k$就能得到$x$和$y$的函数关系，也就是顶点所在的直线解析式。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=a(x+k)^2 +k(a≠0)$，属于二次函数的顶点式，因此它的顶点坐标为$(-k, k)$。
设该顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，可得：
$x=-k$，$y=k$
将$k=-x$代入$y=k$，可推出$y=-x$。
因此无论$k$取何实数，图象的顶点总在直线$y=-x$上。
【答案】
$y=-x$
【知识点】
二次函数顶点式、消参求轨迹、一次函数
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式对应的坐标特征，通过消去参数得到顶点横纵坐标的对应关系即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式的结构特征，对于顶点式$y=a(x-h)^2+m$，其顶点坐标为$(h,m)$。本题给出的二次函数是含参数$k$的顶点式，我们第一步先写出它的顶点坐标，再把顶点的横、纵坐标分别看作变量$x$和$y$，消去参数$k$就能得到$x$和$y$的函数关系，也就是顶点所在的直线解析式。
【解析】
已知二次函数的解析式为$y=a(x+k)^2 +k(a≠0)$，属于二次函数的顶点式，因此它的顶点坐标为$(-k, k)$。
设该顶点的横坐标为$x$，纵坐标为$y$，可得：
$x=-k$，$y=k$
将$k=-x$代入$y=k$，可推出$y=-x$。
因此无论$k$取何实数，图象的顶点总在直线$y=-x$上。
【答案】
$y=-x$
【知识点】
二次函数顶点式、消参求轨迹、一次函数
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是熟练掌握二次函数顶点式对应的坐标特征，通过消去参数得到顶点横纵坐标的对应关系即可求解，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
9.如图,点$P(a,3)$在抛物线$C:y=4-(6-x)^2$上,且在$C$的对称轴右侧.
(1)写出$C$的对称轴和$y$的最大值,并求$a$的值.
(2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及$C$的一段,分别记为$P',C'$.平移该胶片,使$C'$所在抛物线对应的函数恰为$y=-x^2+6x-9$.求点$P'$移动的最短路程.
(1)写出$C$的对称轴和$y$的最大值,并求$a$的值.
(2)在平面直角坐标系中放置一透明胶片,并在胶片上描画出点$P$及$C$的一段,分别记为$P',C'$.平移该胶片,使$C'$所在抛物线对应的函数恰为$y=-x^2+6x-9$.求点$P'$移动的最短路程.
答案
9.解:(1)$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$,
∴$C$的对称轴为直线$x=6$,$y$的最大值为4,把点$P(a,3)$代入抛物线$C$的表达式,得$-(a-6)^2+4=3$,解得$a=5$(舍去)或$a=7$.
(2)$C'$的表达式为$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$,
∴抛物线$C$平移过程为向左平移3个单位长度,向下平移4个单位长度,
∴点$P'$移动的最短路程为$\sqrt{3^2+4^2}=5$.
∴$C$的对称轴为直线$x=6$,$y$的最大值为4,把点$P(a,3)$代入抛物线$C$的表达式,得$-(a-6)^2+4=3$,解得$a=5$(舍去)或$a=7$.
(2)$C'$的表达式为$y=-x^2+6x-9=-(x-3)^2$,
∴抛物线$C$平移过程为向左平移3个单位长度,向下平移4个单位长度,
∴点$P'$移动的最短路程为$\sqrt{3^2+4^2}=5$.
解析
【分析】
(1) 先将抛物线C的解析式整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的性质可直接得到对称轴和最大值；再将点P的坐标代入解析式求解a的取值，结合P在对称轴右侧的条件筛选出符合要求的a即可。
(2) 先将平移后抛物线的解析式也整理为顶点式，对比原抛物线和平移后抛物线的顶点坐标，即可得到抛物线的平移规律；由于平移时图形上所有点的平移规律一致，点P'移动的最短路程就是平移的路径长，结合勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 对抛物线C的解析式变形：
$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$
根据二次函数顶点式的性质，可得C的对称轴为直线$x=6$，
∵二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴y的最大值为4。
将点$P(a,3)$代入$y=-(x-6)^2+4$，得：
$-(a-6)^2+4=3$
整理得$(a-6)^2=1$，解得$a=5$或$a=7$，
∵点P在对称轴$x=6$的右侧，即$a＞6$，
∴舍去$a=5$，得$a=7$。
(2) 对平移后$C'$的解析式变形：
$y=-x^2+6x-9=-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2$
原抛物线C的顶点为$(6,4)$，平移后抛物线$C'$的顶点为$(3,0)$，
对比顶点坐标可知，抛物线的平移规律为：向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度。
∵图形平移时，图形上所有点的平移规律相同，点$P'$移动的最短路程就是平移的路径长，
∴最短路程为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
(1) C的对称轴为直线$x=6$，y的最大值为4，$a=7$；
(2) 点$P'$移动的最短路程为5。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的平移，勾股定理
【点评】
本题主要围绕二次函数顶点式的应用展开，考查了从顶点式中提取对称轴、最值的方法，以及抛物线平移的规律，解题关键是理解抛物线平移的本质是顶点的平移，对应点的平移规律完全相同，整体考查偏向基础，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1) 先将抛物线C的解析式整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，根据顶点式的性质可直接得到对称轴和最大值；再将点P的坐标代入解析式求解a的取值，结合P在对称轴右侧的条件筛选出符合要求的a即可。
(2) 先将平移后抛物线的解析式也整理为顶点式，对比原抛物线和平移后抛物线的顶点坐标，即可得到抛物线的平移规律；由于平移时图形上所有点的平移规律一致，点P'移动的最短路程就是平移的路径长，结合勾股定理计算即可。
【解析】
(1) 对抛物线C的解析式变形：
$y=4-(6-x)^2=-(x-6)^2+4$
根据二次函数顶点式的性质，可得C的对称轴为直线$x=6$，
∵二次项系数为$-1＜0$，抛物线开口向下，
∴y的最大值为4。
将点$P(a,3)$代入$y=-(x-6)^2+4$，得：
$-(a-6)^2+4=3$
整理得$(a-6)^2=1$，解得$a=5$或$a=7$，
∵点P在对称轴$x=6$的右侧，即$a＞6$，
∴舍去$a=5$，得$a=7$。
(2) 对平移后$C'$的解析式变形：
$y=-x^2+6x-9=-(x^2-6x+9)=-(x-3)^2$
原抛物线C的顶点为$(6,4)$，平移后抛物线$C'$的顶点为$(3,0)$，
对比顶点坐标可知，抛物线的平移规律为：向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度。
∵图形平移时，图形上所有点的平移规律相同，点$P'$移动的最短路程就是平移的路径长，
∴最短路程为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
【答案】
(1) C的对称轴为直线$x=6$，y的最大值为4，$a=7$；
(2) 点$P'$移动的最短路程为5。
【知识点】
二次函数的性质，二次函数的平移，勾股定理
【点评】
本题主要围绕二次函数顶点式的应用展开，考查了从顶点式中提取对称轴、最值的方法，以及抛物线平移的规律，解题关键是理解抛物线平移的本质是顶点的平移，对应点的平移规律完全相同，整体考查偏向基础，难度适中。
【难度系数】
0.7
10.二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的图象如图所示，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且 $OA=OB$。
(1)求该抛物线的函数表达式。
(2)请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象的函数表达式。
(1)求该抛物线的函数表达式。
(2)请直接写出该抛物线关于y轴对称的图象的函数表达式。
答案
10.解:(1)
∵点 A 为抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的顶点,
∴$A(h,0)$,
∴$OA=h$,
∵$OA=OB$,且点 B 在 y 轴的正半轴上,
∴$OB=h$,
∴$B(0,h)$,把 $B(0,h)$代入 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$,
得 $h=\frac{1}{2}(0-h)^2$,解得 $h_1=0$(不合题意,舍去),$h_2=2$,
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$.
(2)$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$.
∵点 A 为抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的顶点,
∴$A(h,0)$,
∴$OA=h$,
∵$OA=OB$,且点 B 在 y 轴的正半轴上,
∴$OB=h$,
∴$B(0,h)$,把 $B(0,h)$代入 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$,
得 $h=\frac{1}{2}(0-h)^2$,解得 $h_1=0$(不合题意,舍去),$h_2=2$,
∴该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$.
(2)$y=\frac{1}{2}(x+2)^2$.
解析
【分析】
(1) 解题先从二次函数顶点式的性质入手：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此可得顶点A的坐标，从而得到OA的长度；结合$OA=OB$且点B在y轴正半轴，可推出点B的坐标；再将点B坐标代入二次函数解析式，列方程求解h的值，注意结合图象舍去不符合题意的解，即可得到抛物线解析式。
(2) 关于y轴对称的图象，对应点的横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此只需找到原顶点关于y轴对称的点的坐标，保持二次项系数不变，即可写出对称后的函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点A为抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的顶点，
$\therefore$ 点A的坐标为 $(h,0)$，则 $OA=h$，
由图象可知点B在y轴正半轴，且 $OA=OB$，
$\therefore OB=h$，即点B的坐标为 $(0,h)$，
将$B(0,h)$代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$得：
$h=\frac{1}{2}(0-h)^2$，
整理得 $\frac{1}{2}h^2 - h = 0$，解得 $h_1=0$（不符合图象特征，舍去），$h_2=2$，
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
(2) 抛物线关于y轴对称时，二次项系数不变，原顶点$(2,0)$关于y轴对称的点为$(-2,0)$，因此对称后的图象的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$；(2) $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数轴对称变换
【点评】
本题围绕二次函数顶点式和图象对称变换设置考点，解题核心是利用几何线段相等关系得到点的坐标，再通过待定系数法求参数，需注意结合图象特征排除不合题意的解，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
(1) 解题先从二次函数顶点式的性质入手：顶点式$y=a(x-h)^2$的顶点坐标为$(h,0)$，因此可得顶点A的坐标，从而得到OA的长度；结合$OA=OB$且点B在y轴正半轴，可推出点B的坐标；再将点B坐标代入二次函数解析式，列方程求解h的值，注意结合图象舍去不符合题意的解，即可得到抛物线解析式。
(2) 关于y轴对称的图象，对应点的横坐标互为相反数、纵坐标不变，因此只需找到原顶点关于y轴对称的点的坐标，保持二次项系数不变，即可写出对称后的函数表达式。
【解析】
(1) $\because$ 点A为抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的顶点，
$\therefore$ 点A的坐标为 $(h,0)$，则 $OA=h$，
由图象可知点B在y轴正半轴，且 $OA=OB$，
$\therefore OB=h$，即点B的坐标为 $(0,h)$，
将$B(0,h)$代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$得：
$h=\frac{1}{2}(0-h)^2$，
整理得 $\frac{1}{2}h^2 - h = 0$，解得 $h_1=0$（不符合图象特征，舍去），$h_2=2$，
$\therefore$ 该抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
(2) 抛物线关于y轴对称时，二次项系数不变，原顶点$(2,0)$关于y轴对称的点为$(-2,0)$，因此对称后的图象的函数表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x-2)^2$；(2) $y=\frac{1}{2}(x+2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数轴对称变换
【点评】
本题围绕二次函数顶点式和图象对称变换设置考点，解题核心是利用几何线段相等关系得到点的坐标，再通过待定系数法求参数，需注意结合图象特征排除不合题意的解，属于二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.7
