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知识梳理
知识点1）完全平方公式
1. 公式形式：$a^2+2ab+b^2=$
2. 含义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
易混辨析
1. 系数必须匹配. 例如$4x^2+6x+9$不能利用完全平方公式分解因式，因为$2ab=12x$，而题目给出的是$6x$，不匹配.
2. 公式中的$a,b$既可以是单项式，也可以是多项式. 例如$(x+y)^2+2(x+y)z+z^2=(x+y+z)^2$.
3. 完全平方公式和平方差公式的区别：完全平方公式适用于三项式，平方差公式适用于二项式.
知识点1）完全平方公式
1. 公式形式：$a^2+2ab+b^2=$
$(a+b)^2$
，$a^2-2ab+b^2=$$(a-b)^2$
.2. 含义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的
2倍
，等于这两个数的和（或差）的平方
.易混辨析
1. 系数必须匹配. 例如$4x^2+6x+9$不能利用完全平方公式分解因式，因为$2ab=12x$，而题目给出的是$6x$，不匹配.
2. 公式中的$a,b$既可以是单项式，也可以是多项式. 例如$(x+y)^2+2(x+y)z+z^2=(x+y+z)^2$.
3. 完全平方公式和平方差公式的区别：完全平方公式适用于三项式，平方差公式适用于二项式.
答案
1. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
2. 2倍 平方
2. 2倍 平方
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的基础识记，解题时先回忆整式乘法中完全平方公式的展开形式，将等式左右互换就能得到因式分解所用的完全平方公式形式，再对应公式的结构特征完成文字表述类的填空即可。第1小问核心是逆向运用完全平方的整式乘法公式，第2小问只需对应公式里的中间项特征和右侧结果的形式填写内容。
【解析】
1. 由整式乘法的完全平方公式可知：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式左右两边互换，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
同理$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，互换后得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
2. 观察完全平方公式的结构：左边的中间项为$\pm2ab$，也就是两个数的积的2倍，等式右边是两个数的和（或差）的平方，因此依次填入2倍、平方。
【答案】
1. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
2. 2倍 平方
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆公式的代数形式和文字表述是解题的关键，也是后续运用完全平方公式进行整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的基础识记，解题时先回忆整式乘法中完全平方公式的展开形式，将等式左右互换就能得到因式分解所用的完全平方公式形式，再对应公式的结构特征完成文字表述类的填空即可。第1小问核心是逆向运用完全平方的整式乘法公式，第2小问只需对应公式里的中间项特征和右侧结果的形式填写内容。
【解析】
1. 由整式乘法的完全平方公式可知：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式左右两边互换，可得$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；
同理$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，互换后得$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
2. 观察完全平方公式的结构：左边的中间项为$\pm2ab$，也就是两个数的积的2倍，等式右边是两个数的和（或差）的平方，因此依次填入2倍、平方。
【答案】
1. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
2. 2倍 平方
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题属于基础识记类题目，核心考查对完全平方公式结构的掌握程度，熟练记忆公式的代数形式和文字表述是解题的关键，也是后续运用完全平方公式进行整式运算、因式分解的重要基础。
【难度系数】
0.9
知识点2）完全平方公式的使用条件
要使用完全平方公式分解因式,必须满足:
1. 三项式:多项式有
2. 两项是完全平方式:其中两项可以表示为$a^2$和$b^2$.
3. 第三项是
要使用完全平方公式分解因式,必须满足:
1. 三项式:多项式有
三项
.2. 两项是完全平方式:其中两项可以表示为$a^2$和$b^2$.
3. 第三项是
$2ab$
或$-2ab$
.答案
1. 三项
3. $2ab$ $-2ab$
3. $2ab$ $-2ab$
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征，明确完全平方公式逆用（即用于因式分解）时的多项式形态：首先，完全平方公式展开后是三项，因此逆用分解因式的前提是多项式为三项式；其次对比公式的项的构成，除两个平方项外，剩余的第三项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，对应即可填出空缺。
【解析】
我们先写出完全平方公式的两种形式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将公式逆用得到因式分解的完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
1. 观察逆用公式的左侧为三项式，因此使用完全平方公式分解因式的多项式首先要有三项；
3. 公式中除开$a^2$、$b^2$两个平方项，第三项是两个底数$a、b$乘积的2倍，符号可取正或负，即$2ab$或$-2ab$。
【答案】
1. 三项
3. $2ab$；$-2ab$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的公式法
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，是运用公式法分解因式的基础内容，牢记公式的项数、各项的形式特点，才能准确快速地对符合条件的多项式进行因式分解。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方公式的结构特征，明确完全平方公式逆用（即用于因式分解）时的多项式形态：首先，完全平方公式展开后是三项，因此逆用分解因式的前提是多项式为三项式；其次对比公式的项的构成，除两个平方项外，剩余的第三项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，对应即可填出空缺。
【解析】
我们先写出完全平方公式的两种形式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
将公式逆用得到因式分解的完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
1. 观察逆用公式的左侧为三项式，因此使用完全平方公式分解因式的多项式首先要有三项；
3. 公式中除开$a^2$、$b^2$两个平方项，第三项是两个底数$a、b$乘积的2倍，符号可取正或负，即$2ab$或$-2ab$。
【答案】
1. 三项
3. $2ab$；$-2ab$
【知识点】
完全平方公式；因式分解的公式法
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，是运用公式法分解因式的基础内容，牢记公式的项数、各项的形式特点，才能准确快速地对符合条件的多项式进行因式分解。
【难度系数】
0.9
1. 检查是否符合完全平方式：
找出可能的$a^2$和$b^2$，检查中间项是
2. 确定$a$和$b$：
例如，$4x^2+12x+9$中，$a^2=4x^2$，得出$a=2x$；$b^2=9$，得出$b=3$；$2ab=12x$.
3. 套用公式：
如果中间项是$+2ab$，那么因式分解为
如果中间项是$-2ab$，那么因式分解为
找出可能的$a^2$和$b^2$，检查中间项是
$2ab$
或$-2ab$
.2. 确定$a$和$b$：
例如，$4x^2+12x+9$中，$a^2=4x^2$，得出$a=2x$；$b^2=9$，得出$b=3$；$2ab=12x$.
3. 套用公式：
如果中间项是$+2ab$，那么因式分解为
$(a+b)^2$
；如果中间项是$-2ab$，那么因式分解为
$(a-b)^2$
.答案
1. $2ab$ $-2ab$
3. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
3. $(a+b)^2$ $(a-b)^2$
解析
【分析】
本题考查完全平方式的判定及用完全平方公式因式分解的基础知识，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式：$(a±b)^2=a²±2ab+b²$，反过来因式分解时，三项式要符合完全平方式的结构，第一步先找到两个分别能写成平方形式的项，即$a²$和$b²$，第二步检查中间项是否为两个底数$a$、$b$乘积的2倍，符号可正可负；最后根据中间项的符号对应套用和的平方或差的平方公式完成因式分解即可。
【解析】
1. 由完全平方公式的展开式可知，完全平方式的结构为“两个平方项的和，加上或减去两个底数乘积的2倍”，因此确定$a²$和$b²$后，中间项应为$2ab$或$-2ab$。
3. 结合完全平方公式的逆用：若三项式为$a²+2ab+b²$，对应中间项是$+2ab$，因式分解结果为$(a+b)^2$；若三项式为$a²-2ab+b²$，对应中间项是$-2ab$，因式分解结果为$(a-b)^2$。
【答案】
1. $2ab$；$-2ab$
3. $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方式的判定；用完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握完全平方公式的正反应用，牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的二倍在中央”的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方式的判定及用完全平方公式因式分解的基础知识，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的展开形式：$(a±b)^2=a²±2ab+b²$，反过来因式分解时，三项式要符合完全平方式的结构，第一步先找到两个分别能写成平方形式的项，即$a²$和$b²$，第二步检查中间项是否为两个底数$a$、$b$乘积的2倍，符号可正可负；最后根据中间项的符号对应套用和的平方或差的平方公式完成因式分解即可。
【解析】
1. 由完全平方公式的展开式可知，完全平方式的结构为“两个平方项的和，加上或减去两个底数乘积的2倍”，因此确定$a²$和$b²$后，中间项应为$2ab$或$-2ab$。
3. 结合完全平方公式的逆用：若三项式为$a²+2ab+b²$，对应中间项是$+2ab$，因式分解结果为$(a+b)^2$；若三项式为$a²-2ab+b²$，对应中间项是$-2ab$，因式分解结果为$(a-b)^2$。
【答案】
1. $2ab$；$-2ab$
3. $(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
完全平方式的判定；用完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是掌握完全平方公式的正反应用，牢记完全平方式“首平方、尾平方，积的二倍在中央”的结构特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
