例1 分解因式:$9x^{2}+30xy+25y^{2}=$.
分析:原式$=(3x)^{2}+30xy+(5y)^{2}=(3x+5y)^{2}$.
答案:$(3x+5y)^{2}$
方法点拨 1. 第一项$9x^{2}$是$3x$的平方,第三项$25y^{2}$是$5y$的平方.
2. 判断中间项$30xy$是否等于$2×3x×5y$,计算得$30xy$,符合.
3. 可以写成完全平方形式:$(3x)^{2}+30xy+(5y)^{2}=(3x+5y)^{2}$.

$(3x+5y)^{2}$

【分析】
拿到这道三项式因式分解题，首先回忆因式分解的常用公式，完全平方公式的结构特征为“首平方、尾平方，首尾两倍在中央”。我们先识别式子中的平方项：第一项$9x^2$可变形为$(3x)^2$，第三项$25y^2$可变形为$(5y)^2$。接下来验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍，计算得$2×3x×5y=30xy$，和原式中间项完全一致，说明该式符合完全平方和的公式结构，可直接套用公式分解。
【解析】
解：先将原式的平方项改写为底数乘方的形式：
$9x^2+30xy+25y^2=(3x)^2 + 2×3x×5y + (5y)^2$
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，令$a=3x$，$b=5y$，代入公式得：
$=(3x+5y)^2$
【答案】
$(3x+5y)^{2}$
【知识点】
1. 公式法因式分解 2. 完全平方公式
【点评】
本题是完全平方公式分解因式的基础应用类题目，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征，先确定两个平方项的底数，再验证中间项是否符合两倍乘积的要求，就能快速完成分解。
【难度系数】
0.9

例2 分解因式: $16(m-n)^2 -40(m-n)n +25n^2 =$ .
分析: 原式 $=[4(m-n)]^2 -40(m-n)n +(5n)^2 = [4(m-n)-5n]^2 = (4m-9n)^2$.
答案: $(4m-9n)^2$
方法点拨 1. 第一项 $16(m-n)^2$ 是 $4(m-n)$ 的平方,第三项 $25n^2$ 是 $5n$ 的平方.
2. 判断中间项 $-40(m-n)n$ 是否等于 $-2×4(m-n)×5n$,计算得 $-40(m-n)n$,符合.
3. 可以写成完全平方形式:
$16(m-n)^2 -40(m-n)n +25n^2 = (4m-9n)^2$.

$(4m-9n)^2$

【分析】
这是一道三项式因式分解的题目，解题思路如下：首先观察式子结构，判断是否符合完全平方公式的形式。第一步先找首尾两个平方项：首项$16(m-n)^2$可变形为$[4(m-n)]^2$，末项$25n^2$可变形为$(5n)^2$；第二步验证中间项是否为两个平方项底数乘积的2倍的相反数，计算得$2×4(m-n)×5n=40(m-n)n$，与原式中间项$-40(m-n)n$完全匹配，因此可套用完全平方差公式分解，最后化简括号内的整式即可得到结果。
【解析】
解：对原式进行变形，匹配完全平方公式结构：
$\begin{split}&16(m-n)^2 -40(m-n)n +25n^2\\=&[4(m-n)]^2 - 2×4(m-n)×5n + (5n)^2\end{split}$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=4(m-n)$，$b=5n$，代入得：
$=[4(m-n)-5n]^2$
化简括号内的整式：
$\begin{split}=&(4m-4n-5n)^2\\=&(4m-9n)^2\end{split}$
【答案】
$(4m-9n)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解 2. 整式加减运算
【点评】
本题重点考查完全平方公式分解因式的应用，解题关键是将$(m-n)$看作整体识别完全平方的结构特征，分解后要注意将括号内的同类项合并彻底，保证结果为最简形式。
【难度系数】
0.7

阅读材料:根据多项式乘多项式法则,我们很容易计算:$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6;(x-1)(x+3)=x^2+2x-3$. 而因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得:$x^2+5x+6=(x+2)·(x+3);x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. 通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 如将式子$x^2+2x-3$分解因式. 这个式子的二次项系数是$1=1×1$,常数项$-3=(-1)×3$,一次项系数$2=(-1)+3$,可以用下图十字相乘的形式表示为:

先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交叉相乘,求和,使其等于一次项系数;最后横向书写.
这样,我们就可以得到:$x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$.
利用这种方法,将下列多项式分解因式:
(1)$x^2+7x+10=$;
(2)$x^2-2x-3=$;
(3)$y^2-7y+12=$;
(4)$x^2+7x-18=$.

(1)$(x+5)(x+2)$
(2)$(x-3)(x+1)$
(3)$(y-3)(y-4)$
(4)$(x-2)(x+9)$

【分析】
本题考查二次项系数为1的二次三项式的因式分解，使用题目给出的十字相乘法求解即可，解题思路如下：1. 明确目标式子是$x^2+px+q$（或$y^2+py+q$）的形式，二次项系数均为1，可拆分为$1×1$；2. 拆分常数项$q$为两个数$a$、$b$的乘积，即$a×b=q$；3. 验证$a$与$b$的和是否等于一次项系数$p$，若$a+b=p$，则该二次三项式可分解为$(x+a)(x+b)$（或$(y+a)(y+b)$）。
【解析】
(1) 对$x^2+7x+10$：常数项10可拆分为$2×5$，且$2+5=7$，刚好等于一次项系数，因此$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$；
(2) 对$x^2-2x-3$：常数项-3可拆分为$(-3)×1$，且$(-3)+1=-2$，刚好等于一次项系数，因此$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$；
(3) 对$y^2-7y+12$：常数项12可拆分为$(-3)×(-4)$，且$(-3)+(-4)=-7$，刚好等于一次项系数，因此$y^2-7y+12=(y-3)(y-4)$；
(4) 对$x^2+7x-18$：常数项-18可拆分为$9×(-2)$，且$9+(-2)=7$，刚好等于一次项系数，因此$x^2+7x-18=(x-2)(x+9)$。
【答案】
(1)$(x+5)(x+2)$
(2)$(x-3)(x+1)$
(3)$(y-3)(y-4)$
(4)$(x-2)(x+9)$
【知识点】
十字相乘法分解因式；因式分解；整式乘法
【点评】
本题是十字相乘法分解因式的基础应用题，核心是找准满足“乘积为常数项、和为一次项系数”的两个数，熟练掌握该方法可大幅提升二次三项式因式分解的效率，是因式分解的常用技巧之一。
【难度系数】
0.8