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7. 对于任意整数$n$,多项式$(4n+5)^2 -9$都能
（
A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被12整除
（
C
）A.被6整除
B.被7整除
C.被8整除
D.被12整除
答案
7. C
解析
【分析】
观察多项式的结构，可知其符合“平方减平方”的特征，9可写作$3^2$，因此首先考虑用平方差公式对多项式因式分解，再对分解后的因式化简整理，提取公因子，结合n为整数的条件，判断原式是哪个选项的整数倍，即可得到结论。
【解析】
先利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 -3^2\\&=(4n+5+3)(4n+5-3)\\&=(4n+8)(4n+2)\end{aligned}$
再对两个因式分别提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=4(n+2)·2(2n+1)\\&=8(n+2)(2n+1)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$(n+2)$和$(2n+1)$均为整数，因此$8(n+2)(2n+1)$是8的整数倍，即原多项式能被8整除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、整除的判定
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，解题的关键是识别出原式符合平方差公式的结构，通过分解因式将原式转化为整式乘积的形式，即可快速判断整除性，解题时注意因式分解要彻底。
【难度系数】
0.8
观察多项式的结构，可知其符合“平方减平方”的特征，9可写作$3^2$，因此首先考虑用平方差公式对多项式因式分解，再对分解后的因式化简整理，提取公因子，结合n为整数的条件，判断原式是哪个选项的整数倍，即可得到结论。
【解析】
先利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(4n+5)^2 -9&=(4n+5)^2 -3^2\\&=(4n+5+3)(4n+5-3)\\&=(4n+8)(4n+2)\end{aligned}$
再对两个因式分别提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=4(n+2)·2(2n+1)\\&=8(n+2)(2n+1)\end{aligned}$
因为n是整数，所以$(n+2)$和$(2n+1)$均为整数，因此$8(n+2)(2n+1)$是8的整数倍，即原多项式能被8整除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、整除的判定
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，解题的关键是识别出原式符合平方差公式的结构，通过分解因式将原式转化为整式乘积的形式，即可快速判断整除性，解题时注意因式分解要彻底。
【难度系数】
0.8
8. 下面是多项式 $ x^3 + y^3 $ 因式分解的部分过程.
解:原式 $ = x^3 + x^2y - x^2y + y^3 $ （第一步）
$ = (x^3 + x^2y) - (x^2y - y^3) $ （第二步）
$ = x^2(x + y) - y(x^2 - y^2) $ （第三步）
$ = x^2(x + y) - y(x + y)(x - y) $ （第四步）
$ = \underline{\hspace{5cm}} $.
阅读以上解题过程,解答下列问题:
(1)在上述因式分解的过程中,用到因式分解的方法有 $\underline{\hspace{5cm}}$;(至少写出两种方法)
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解;
(3)请你尝试用以上方法对多项式 $ 8x^3 - 1 $ 进行因式分解.
解:原式 $ = x^3 + x^2y - x^2y + y^3 $ （第一步）
$ = (x^3 + x^2y) - (x^2y - y^3) $ （第二步）
$ = x^2(x + y) - y(x^2 - y^2) $ （第三步）
$ = x^2(x + y) - y(x + y)(x - y) $ （第四步）
$ = \underline{\hspace{5cm}} $.
阅读以上解题过程,解答下列问题:
(1)在上述因式分解的过程中,用到因式分解的方法有 $\underline{\hspace{5cm}}$;(至少写出两种方法)
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解;
(3)请你尝试用以上方法对多项式 $ 8x^3 - 1 $ 进行因式分解.
答案
8. (1)提公因式法、公式法
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)$
(3)$8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)$
(3)$8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1)$
解析
【分析】
(1) 判断用到的因式分解方法时，逐步骤对照常用因式分解方法验证：第三步对分组后的式子分别提取公因式$x^2$、$y$，对应提公因式法；第四步将$x^2-y^2$用平方差公式分解，对应公式法，即可得出答案。
(2) 完成后续分解时，观察第四步的式子，发现两项都含有公因式$(x+y)$，先提取公因式，再化简括号内的整式即可得到结果。
(3) 分解$8x^3-1$时，模仿题干中立方和的拆项思路，先添加并减去相同的项$4x^2$，再分组、提公因式，结合平方差公式即可完成分解。
【解析】
(1) 观察解题过程：第二步到第三步对分组后的多项式分别提取公因式$x^2$、$y$，使用了提公因式法；第三步到第四步将$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，使用了公式法（平方差公式），因此用到的因式分解方法为提公因式法、公式法。
(2) 对第四步的式子继续分解：
$\begin{aligned}&\quad x^2(x + y) - y(x + y)(x - y)\\&=(x+y)[x^2 - y(x-y)]\\&=(x+y)(x^2 -xy + y^2)\end{aligned}$
(3) 模仿题干方法分解$8x^3-1$：
$\begin{aligned}8x^3 -1 &= 8x^3 -4x^2 +4x^2 -1\\&=(8x^3 -4x^2)+(4x^2 -1)\\&=4x^2(2x-1)+(2x-1)(2x+1)\\&=(2x-1)(4x^2 +2x +1)\end{aligned}$
【答案】
(1)提公因式法、公式法
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)$
(3)$(2x-1)(4x^2+2x+1)$
【知识点】
提公因式法，公式法，拆项分组分解
【点评】
本题围绕因式分解的核心方法展开，通过拆解立方和、立方差的推导过程，考查学生对提公因式、公式法的综合运用能力，引导学生掌握拆项分组的拓展技巧，有助于学生灵活运用多种方法完成复杂多项式的因式分解。
【难度系数】
0.7
(1) 判断用到的因式分解方法时，逐步骤对照常用因式分解方法验证：第三步对分组后的式子分别提取公因式$x^2$、$y$，对应提公因式法；第四步将$x^2-y^2$用平方差公式分解，对应公式法，即可得出答案。
(2) 完成后续分解时，观察第四步的式子，发现两项都含有公因式$(x+y)$，先提取公因式，再化简括号内的整式即可得到结果。
(3) 分解$8x^3-1$时，模仿题干中立方和的拆项思路，先添加并减去相同的项$4x^2$，再分组、提公因式，结合平方差公式即可完成分解。
【解析】
(1) 观察解题过程：第二步到第三步对分组后的多项式分别提取公因式$x^2$、$y$，使用了提公因式法；第三步到第四步将$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，使用了公式法（平方差公式），因此用到的因式分解方法为提公因式法、公式法。
(2) 对第四步的式子继续分解：
$\begin{aligned}&\quad x^2(x + y) - y(x + y)(x - y)\\&=(x+y)[x^2 - y(x-y)]\\&=(x+y)(x^2 -xy + y^2)\end{aligned}$
(3) 模仿题干方法分解$8x^3-1$：
$\begin{aligned}8x^3 -1 &= 8x^3 -4x^2 +4x^2 -1\\&=(8x^3 -4x^2)+(4x^2 -1)\\&=4x^2(2x-1)+(2x-1)(2x+1)\\&=(2x-1)(4x^2 +2x +1)\end{aligned}$
【答案】
(1)提公因式法、公式法
(2)$(x+y)(x^2-xy+y^2)$
(3)$(2x-1)(4x^2+2x+1)$
【知识点】
提公因式法，公式法，拆项分组分解
【点评】
本题围绕因式分解的核心方法展开，通过拆解立方和、立方差的推导过程，考查学生对提公因式、公式法的综合运用能力，引导学生掌握拆项分组的拓展技巧，有助于学生灵活运用多种方法完成复杂多项式的因式分解。
【难度系数】
0.7
