登录
6. 如图，下列条件中不能推出△ABC 是等腰三角形的是(
A.∠B = ∠C
B.AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD
C.AD⊥BC，∠BAD = ∠ACD
D.AD⊥BC，BD = CD
C
)A.∠B = ∠C
B.AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD
C.AD⊥BC，∠BAD = ∠ACD
D.AD⊥BC，BD = CD
答案
6. C
7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD = DE，∠BAD = $18^{\circ}$，∠EDC = $12^{\circ}$，则∠DAE 的度数为(
A.$58^{\circ}$
B.$56^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
C
)A.$58^{\circ}$
B.$56^{\circ}$
C.$62^{\circ}$
D.$60^{\circ}$
答案
7. C
解析
证明：设∠DAE = x，∠B = ∠C = y。
∵AD = DE，
∴∠DEA = ∠DAE = x。
∠AED = ∠C + ∠EDC，即x = y + 12°，得y = x - 12°。
∠BAC = ∠BAD + ∠DAE = 18° + x。
在△ABC中，∠BAC + 2∠B = 180°，即18° + x + 2y = 180°。
将y = x - 12°代入上式：18° + x + 2(x - 12°) = 180°，
解得x = 62°。
∠DAE = 62°。
答案：C
∵AD = DE，
∴∠DEA = ∠DAE = x。
∠AED = ∠C + ∠EDC，即x = y + 12°，得y = x - 12°。
∠BAC = ∠BAD + ∠DAE = 18° + x。
在△ABC中，∠BAC + 2∠B = 180°，即18° + x + 2y = 180°。
将y = x - 12°代入上式：18° + x + 2(x - 12°) = 180°，
解得x = 62°。
∠DAE = 62°。
答案：C
8. 如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，DF 交 AC 于点 E，DE = EF，AE = EC。已知下列说法：①∠ADE = ∠EFC；②∠ADE + ∠ECF + ∠FEC = $180^{\circ}$；③∠B + ∠BCF = $180^{\circ}$；④$S_{△ABC} = S_{四边形DBCF}$。其中正确的说法有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
A
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
8. A
解析
证明：在△ADE和△CFE中，
∵DE=EF，∠AED=∠CEF，AE=EC，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠EFC，①正确；
∠DAE=∠ECF，AD=CF，
∵∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，∠AED=∠FEC，
∴∠ADE+∠ECF+∠FEC=180°，②正确；
∵∠DAE=∠ECF，
∴AD//CF，
∵AD=CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF//BC，
∴∠B+∠BCF=180°，③正确；
∵S△ADE=S△CFE，
∴S△ABC=S△ADE+S四边形DECB=S△CFE+S四边形DECB=S四边形DBCF，④正确。
综上，正确的说法有4个。
答案：A
∵DE=EF，∠AED=∠CEF，AE=EC，
∴△ADE≌△CFE(SAS)，
∴∠ADE=∠EFC，①正确；
∠DAE=∠ECF，AD=CF，
∵∠ADE+∠DAE+∠AED=180°，∠AED=∠FEC，
∴∠ADE+∠ECF+∠FEC=180°，②正确；
∵∠DAE=∠ECF，
∴AD//CF，
∵AD=CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴AF//BC，
∴∠B+∠BCF=180°，③正确；
∵S△ADE=S△CFE，
∴S△ABC=S△ADE+S四边形DECB=S△CFE+S四边形DECB=S四边形DBCF，④正确。
综上，正确的说法有4个。
答案：A
9. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D。若要根据“HL”判定△ABD≌△ACD，则还需要添加条件：
$AB = AC$
。答案
9. $AB = AC$
10. 如图，在△ABC 中，AB = 5 cm，AC = 3 cm，BC 的垂直平分线分别交 AB，BC 于 D，E，则△ACD 的周长为
8
cm。答案
10. 8
解析
解：
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵AB=5 cm，AC=3 cm，
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+AD+DB=AC+AB=3+5=8 cm。
故答案为8。
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∵AB=5 cm，AC=3 cm，
∴△ACD的周长=AC+AD+DC=AC+AD+DB=AC+AB=3+5=8 cm。
故答案为8。
11. 如图，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，BD = CD，BE = CF。已知下列结论：①DE = DF；②AD 平分∠BAC；③AE = AD；④AC - AB = 2BE。其中正确的是
①②④
(填写序号)。答案
11. ①②④
解析
证明：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ BE=CF\end{array} $，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，①正确。
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，②正确。
∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE=AF。
∵AC=AF+FC=AE+BE，AB=AE-BE，
∴AC-AB=（AE+BE）-（AE-BE）=2BE，④正确。
③AE=AD无法由已知条件推出。
综上，正确的是①②④。
①②④
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\{\begin{array}{l} BD=CD\\ BE=CF\end{array} $，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE=DF，①正确。
∵DE=DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，②正确。
∵Rt△DEB≌Rt△DFC，
∴BE=CF。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE=AF。
∵AC=AF+FC=AE+BE，AB=AE-BE，
∴AC-AB=（AE+BE）-（AE-BE）=2BE，④正确。
③AE=AD无法由已知条件推出。
综上，正确的是①②④。
①②④
12. 如图，在△ABA₁ 中，∠B = $20^{\circ}$，AB = A₁B。在 A₁B 上取一点 C，延长 AA₁ 到 A₂，使得 A₁A₂ = A₁C；在 A₂C 上取一点 D，延长 A₁A₂ 到 A₃，使得 A₂A₃ = A₂D……按此作法进行下去，则以 AₙAₙ₊₁ 为腰的等腰三角形的底角度数为
$ \frac{80^{\circ}}{2^{n}} $
。答案
12. $ \frac{80^{\circ}}{2^{n}} $
解析
在△ABA₁中，AB = A₁B，∠B = 20°，则∠BA₁A = (180° - 20°)/2 = 80°。
在A₁B上取点C，延长AA₁到A₂，使A₁A₂ = A₁C，此时△A₁A₂C为等腰三角形，∠A₁A₂C = ∠A₁CA₂。∠BA₁A是△A₁A₂C的外角，故∠BA₁A = ∠A₁A₂C + ∠A₁CA₂ = 2∠A₁A₂C，所以∠A₁A₂C = 80°/2 = 40°。
同理，在A₂C上取点D，延长A₁A₂到A₃，使A₂A₃ = A₂D，△A₂A₃D为等腰三角形，底角∠A₂A₃D = 40°/2 = 20°。
依此类推，以AₙAₙ₊₁为腰的等腰三角形的底角度数为80°/2ⁿ。
$\frac{80^{\circ}}{2^{n}}$
在A₁B上取点C，延长AA₁到A₂，使A₁A₂ = A₁C，此时△A₁A₂C为等腰三角形，∠A₁A₂C = ∠A₁CA₂。∠BA₁A是△A₁A₂C的外角，故∠BA₁A = ∠A₁A₂C + ∠A₁CA₂ = 2∠A₁A₂C，所以∠A₁A₂C = 80°/2 = 40°。
同理，在A₂C上取点D，延长A₁A₂到A₃，使A₂A₃ = A₂D，△A₂A₃D为等腰三角形，底角∠A₂A₃D = 40°/2 = 20°。
依此类推，以AₙAₙ₊₁为腰的等腰三角形的底角度数为80°/2ⁿ。
$\frac{80^{\circ}}{2^{n}}$
三、解答题（共 48 分）
13.（12 分）如图，点 D 在△ABC 的边 BA 的延长线上，点 E 在边 BC 上，连接 DE 交 AC 于点 F，∠C = ∠D。
（1）求证：∠DAC = ∠CED；
（2）若∠AFD = $60^{\circ}$，∠DFC = 3∠B，求∠BED 的度数。
13.（12 分）如图，点 D 在△ABC 的边 BA 的延长线上，点 E 在边 BC 上，连接 DE 交 AC 于点 F，∠C = ∠D。
（1）求证：∠DAC = ∠CED；
（2）若∠AFD = $60^{\circ}$，∠DFC = 3∠B，求∠BED 的度数。
答案
13. (1)证明：$\because ∠ DAC$ 是 $△ ABC$ 的一个外角，
$\therefore ∠ DAC = ∠ B + ∠ C$。
$\because ∠ CED$ 是 $△ BDE$ 的一个外角，
$\therefore ∠ CED = ∠ B + ∠ D$。
又 $\because ∠ C = ∠ D$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ CED$。
(2)解：$\because ∠ AFD = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠ DFC = 120^{\circ}$。
又 $\because ∠ DFC = 3∠ B$，
$\therefore ∠ B = \frac{1}{3}∠ DFC = \frac{1}{3}×120^{\circ} = 40^{\circ}$。
$\because ∠ DAC = ∠ B + ∠ C$，$∠ C = ∠ D$，
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ C + ∠ AFD = 180^{\circ}$，
即 $40^{\circ} + ∠ C + ∠ C + 60^{\circ} = 180^{\circ}$。
$\therefore ∠ C = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ}) = 40^{\circ}$。
$\therefore ∠ D = 40^{\circ}$。
$\therefore ∠ BED = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ D = 100^{\circ}$。
$\therefore ∠ DAC = ∠ B + ∠ C$。
$\because ∠ CED$ 是 $△ BDE$ 的一个外角，
$\therefore ∠ CED = ∠ B + ∠ D$。
又 $\because ∠ C = ∠ D$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ CED$。
(2)解：$\because ∠ AFD = 60^{\circ}$，
$\therefore ∠ DFC = 120^{\circ}$。
又 $\because ∠ DFC = 3∠ B$，
$\therefore ∠ B = \frac{1}{3}∠ DFC = \frac{1}{3}×120^{\circ} = 40^{\circ}$。
$\because ∠ DAC = ∠ B + ∠ C$，$∠ C = ∠ D$，
$\therefore ∠ B + ∠ C + ∠ C + ∠ AFD = 180^{\circ}$，
即 $40^{\circ} + ∠ C + ∠ C + 60^{\circ} = 180^{\circ}$。
$\therefore ∠ C = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ}) = 40^{\circ}$。
$\therefore ∠ D = 40^{\circ}$。
$\therefore ∠ BED = 180^{\circ} - ∠ B - ∠ D = 100^{\circ}$。
