14.（12 分）如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC，DE//BC。
（1）求证：△BDE 是等腰三角形；
（2）若∠A = $35^{\circ}$，∠C = $70^{\circ}$，求∠BDE 的度数。

14. (1)证明：$\because BE$ 平分 $∠ ABC$，
$\therefore ∠ DBE = ∠ CBE$。
又 $\because DE // BC$，
$\therefore ∠ DEB = ∠ CBE$，
$\therefore ∠ DBE = ∠ DEB$，
$\therefore △ BDE$ 是等腰三角形。
(2)解：$\because ∠ A = 35^{\circ}$，$∠ C = 70^{\circ}$，
$\therefore ∠ ABC = 180^{\circ} - ∠ A - ∠ C$
$= 180^{\circ} - 35^{\circ} - 70^{\circ} = 75^{\circ}$。
$\because DE // BC$，
$\therefore ∠ BDE + ∠ DBC = 180^{\circ}$。
$\therefore ∠ BDE = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$。

15.（10 分）如图，△BCE，△ACD 分别是以 BE，AD 为斜边的直角三角形，且 BE = AD，△CDE 是等边三角形。求证：△ABC 是等边三角形。

15. 证明：$\because △ CDE$ 是等边三角形，

$\therefore EC = CD$，$∠ 1 = 60^{\circ}$。
$\because BE$，$AD$ 都是斜边，
$\therefore ∠ BCE = ∠ ACD = 90^{\circ}$。
在 $Rt△ BCE$ 和 $Rt△ ACD$ 中，
$\because EC = CD$，$BE = AD$，
$\therefore Rt△ BCE ≌ Rt△ ACD(HL)$。
$\therefore BC = AC$。
又 $\because ∠ 1 + ∠ 2 = 90^{\circ}$，$∠ 3 + ∠ 2 = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ 3 = ∠ 1 = 60^{\circ}$。
$\therefore △ ABC$ 是等边三角形。

16.（14 分）如图，在△ABC 中，点 O 是 BC 的中点，点 D 是∠BAC 的平分线上一点，且 DO⊥BC。过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N。求证：BM = CN。

16. 证明：如图，连接 $BD$，$CD$。

$\because$ 点 $O$ 是 $BC$ 的中点，
$DO ⊥ BC$，
$\therefore OD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。
$\therefore BD = CD$。
$\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线，$DM ⊥ AB$，$DN ⊥ AC$，
$\therefore DM = DN$。
在 $Rt△ BMD$ 和 $Rt△ CND$ 中，
$\because BD = CD$，$DM = DN$，
$\therefore Rt△ BMD ≌ Rt△ CND(HL)$。
$\therefore BM = CN$。