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7. 如图，某会展中心准备将高$5 m$，长$13 m$，宽$2 m$的楼道铺上地毯，若地毯每平方米$30$元，则铺完这个楼道至少需要
1 020
元.答案
7. 1 020
8. ($2024$·巴中)“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺. 引葭赴岸，适与岸齐. 问水深葭长各几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题. 即$AC = 5$，$DC = 1$，$BD = BA$，则水深$BC$的长度为(
A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$13$
C
)A.$8$
B.$10$
C.$12$
D.$13$
答案
8. C
1.勾股定理:
.
.
答案
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$，那么$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
2.(1)直角三角形的一条直角边的长为
1,斜边长为3,那么另一条直角边的长为
.
(2)等腰三角形的一腰长为4,底边长为
2,那么它底边上的高为.
1,斜边长为3,那么另一条直角边的长为
.
(2)等腰三角形的一腰长为4,底边长为
2,那么它底边上的高为.
答案
(1)
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），设另一条直角边为$x$，则有：
$x = \sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2)
设底边上的高为$h$，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高也是底边的中线，底边长为$2$，则底边一半的长为$1$。
再根据勾股定理可得：
$h=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$。
故答案依次为：(1)$2\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{15}$。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），设另一条直角边为$x$，则有：
$x = \sqrt{3^{2}-1^{2}}=\sqrt{9 - 1}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
(2)
设底边上的高为$h$，根据等腰三角形三线合一性质，底边上的高也是底边的中线，底边长为$2$，则底边一半的长为$1$。
再根据勾股定理可得：
$h=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{16 - 1}=\sqrt{15}$。
故答案依次为：(1)$2\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{15}$。
3.若一个直角三角形的两条边长是3和2,那么第三条边长是多少？
答案
设第三条边长为$x$。
当$3$和$2$为直角边时：
根据勾股定理，直角三角形的斜边$c$与两直角边$a$、$b$满足$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$。
将$a = 3$，$b = 2$代入可得：
$x = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
当$3$为斜边，$2$为直角边时：
根据勾股定理，另一条直角边$x$满足$x = \sqrt{c^{2}-b^{2}}$，其中$c = 3$，$b = 2$。
代入可得：
$x=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$。
综上，第三条边长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$。
当$3$和$2$为直角边时：
根据勾股定理，直角三角形的斜边$c$与两直角边$a$、$b$满足$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$。
将$a = 3$，$b = 2$代入可得：
$x = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
当$3$为斜边，$2$为直角边时：
根据勾股定理，另一条直角边$x$满足$x = \sqrt{c^{2}-b^{2}}$，其中$c = 3$，$b = 2$。
代入可得：
$x=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{9 - 4}=\sqrt{5}$。
综上，第三条边长为$\sqrt{13}$或$\sqrt{5}$。
4.如图,在Rt△ABC中，
已知∠C=90°.
(1)若BC=2,AC=3,则
AB=.
(2)若AB=15,BC:AC=3:4',则BC=
.
(3)若AB=13,BC=5,则AB边上的高
是.
(4)若使斜边AB的长为$\sqrt{13}$,两直角边
的长可以是(最好是正整数,方便画
图),用刻度尺画出这个直角三角形.
已知∠C=90°.
(1)若BC=2,AC=3,则
AB=.
(2)若AB=15,BC:AC=3:4',则BC=
.
(3)若AB=13,BC=5,则AB边上的高
是.
(4)若使斜边AB的长为$\sqrt{13}$,两直角边
的长可以是(最好是正整数,方便画
图),用刻度尺画出这个直角三角形.
答案
(1)
根据勾股定理$AB = \sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2^{2} + 3^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
(2)
设$BC = 3x$，$AC = 4x$，由勾股定理$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$(3x)^{2}+(4x)^{2}=15^{2}$，$9x^{2}+16x^{2}=225$，$25x^{2}=225$，$x^{2}=9$，$x = 3$（$x＞0$），所以$BC = 9$。
(3)
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$，设$AB$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}AB· h$，即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× h$，$h=\frac{60}{13}$。
(4)
设两直角边分别为$a$，$b$，当$a = 2$，$b = 3$时，$a^{2}+b^{2}=2^{2}+3^{2}=4 + 9 = 13$，则斜边$AB=\sqrt{13}$，两直角边的长可以是$2$和$3$。
根据勾股定理$AB = \sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2^{2} + 3^{2}}=\sqrt{4 + 9}=\sqrt{13}$。
(2)
设$BC = 3x$，$AC = 4x$，由勾股定理$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$(3x)^{2}+(4x)^{2}=15^{2}$，$9x^{2}+16x^{2}=225$，$25x^{2}=225$，$x^{2}=9$，$x = 3$（$x＞0$），所以$BC = 9$。
(3)
根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$，设$AB$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}BC· AC=\frac{1}{2}AB· h$，即$\frac{1}{2}×5×12=\frac{1}{2}×13× h$，$h=\frac{60}{13}$。
(4)
设两直角边分别为$a$，$b$，当$a = 2$，$b = 3$时，$a^{2}+b^{2}=2^{2}+3^{2}=4 + 9 = 13$，则斜边$AB=\sqrt{13}$，两直角边的长可以是$2$和$3$。
合作学习
如图，在Rt△ABC中,
∠C=90°.
①若BC=1,AC=1,则
AB=.
②若BC=$\sqrt{2}$,AC=1,则AB=.
③若BC=$\sqrt{3}$,AC=1,则AB=.
④若BC=$\sqrt{4}$,AC=1,则AB=.
5若BC=√5,AC=1,则AB=.
⑥若BC=$\sqrt{6}$,AC=1,则AB=.
……
(1)从中你发现了什么规律？
(2)若使斜边AB的长为√ī3,两直角边的长还可以是.
(3)利用勾股定理,试着作出长分别为√2,$\sqrt{3}$$\sqrt{5}$$\sqrt{6}$,...的线段.
如图，在Rt△ABC中,
∠C=90°.
①若BC=1,AC=1,则
AB=.
②若BC=$\sqrt{2}$,AC=1,则AB=.
③若BC=$\sqrt{3}$,AC=1,则AB=.
④若BC=$\sqrt{4}$,AC=1,则AB=.
5若BC=√5,AC=1,则AB=.
⑥若BC=$\sqrt{6}$,AC=1,则AB=.
……
(1)从中你发现了什么规律？
(2)若使斜边AB的长为√ī3,两直角边的长还可以是.
(3)利用勾股定理,试着作出长分别为√2,$\sqrt{3}$$\sqrt{5}$$\sqrt{6}$,...的线段.
答案
①
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=1，由勾股定理得：
AB² = AC² + BC² = 1² + 1² = 2，
∴ AB = √2。
②
BC=√2，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√2)² = 1 + 2 = 3，
∴ AB = √3。
③
BC=√3，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4，
∴ AB = 2。
④
BC=√4=2，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5，
∴ AB = √5。
⑤
BC=√5，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6，
∴ AB = √6。
⑥
BC=√6，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√6)² = 1 + 6 = 7，
∴ AB = √7。
(1)规律
在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=1，BC=√n（n为正整数），则斜边AB=√(n+1)。
(2)
若AB=√13，则AB²=13。设两直角边为a、b，满足a² + b²=13。
∵ 2² + 3²=4 + 9=13，
∴ 两直角边的长还可以是2和3。
(3)
作长为√2的线段：画直角边为1的等腰直角三角形，斜边即为√2。
作长为√3的线段：以√2和1为直角边画直角三角形，斜边即为√3。
作长为√5的线段：以2和1为直角边画直角三角形，斜边即为√5。
作长为√6的线段：以√5和1为直角边画直角三角形，斜边即为√6。
（后续线段可按此规律，以已作线段和1为直角边依次作出）
答案
① √2 ② √3 ③ 2 ④ √5 ⑤ √6 ⑥ √7
(1)若AC=1，BC=√n（n为正整数），则AB=√(n+1)
(2)2和3
(3)见上述作图方法
在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=1，由勾股定理得：
AB² = AC² + BC² = 1² + 1² = 2，
∴ AB = √2。
②
BC=√2，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√2)² = 1 + 2 = 3，
∴ AB = √3。
③
BC=√3，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√3)² = 1 + 3 = 4，
∴ AB = 2。
④
BC=√4=2，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5，
∴ AB = √5。
⑤
BC=√5，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√5)² = 1 + 5 = 6，
∴ AB = √6。
⑥
BC=√6，AC=1，由勾股定理得：
AB² = 1² + (√6)² = 1 + 6 = 7，
∴ AB = √7。
(1)规律
在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=1，BC=√n（n为正整数），则斜边AB=√(n+1)。
(2)
若AB=√13，则AB²=13。设两直角边为a、b，满足a² + b²=13。
∵ 2² + 3²=4 + 9=13，
∴ 两直角边的长还可以是2和3。
(3)
作长为√2的线段：画直角边为1的等腰直角三角形，斜边即为√2。
作长为√3的线段：以√2和1为直角边画直角三角形，斜边即为√3。
作长为√5的线段：以2和1为直角边画直角三角形，斜边即为√5。
作长为√6的线段：以√5和1为直角边画直角三角形，斜边即为√6。
（后续线段可按此规律，以已作线段和1为直角边依次作出）
答案
① √2 ② √3 ③ 2 ④ √5 ⑤ √6 ⑥ √7
(1)若AC=1，BC=√n（n为正整数），则AB=√(n+1)
(2)2和3
(3)见上述作图方法
