1. 图 1 是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图 2 所示,此时液面 $ AB $等于 ()

A.$ 1 \mathrm{ cm} $
B.$ 2 \mathrm{ cm} $
C.$ 3 \mathrm{ cm} $
D.$ 4 \mathrm{ cm} $

1. C

2. 如果两个相似三角形的面积比是 $ 1:4 $,那么它们的对应角平分线之比是.

2. $ 1:2 $

3. 如图,点 $ D,E $分别在$ △ ABC $的边 $ AC,AB $上,$ △ ADE ∽ △ ABC $,$ M,N $分别是 $ DE,BC $的中点,若$ \frac{AM}{AN}=\frac{1}{2} $,则$ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}= $.

3. $ \dfrac{1}{4} $

证明：
∵△ADE∽△ABC，M、N分别是DE、BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的对应中线。
∵相似三角形对应中线的比等于相似比，且$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
∴△ADE与△ABC的相似比为$\frac{1}{2}$。
∵相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
$\frac{1}{4}$

4. 如图,$ △ ABD $中,$ EF // BD $交 $ AB $于点 $ E $,交 $ AD $于点 $ F $,$ AC $交 $ EF $于点 $ G $,交 $ BD $于点 $ C $,$ S_{△ AEG}=\frac{1}{8}S_{\mathrm{四边形}EBCG} $,求$ \frac{AF}{AD} $的值.

4. $ \dfrac{1}{3} $

证明：设$S_{△ AEG}=k$，则$S_{\mathrm{四边形}EBCG}=8k$，$S_{△ ABC}=S_{△ AEG}+S_{\mathrm{四边形}EBCG}=9k$。
因为$EF // BD$，所以$△ AEG ∼ △ ABC$，$△ AEF ∼ △ ABD$。
$\frac{S_{△ AEG}}{S_{△ ABC}}=(\frac{AE}{AB})^2=\frac{k}{9k}=\frac{1}{9}$，故$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
又因为$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AB}$，所以$\frac{AF}{AD}=\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$

5. 如图,四边形 $ ABCD $中,$ AC $平分$ ∠ BAD $,$ BC ⊥ AC $,$ CD ⊥ AD $,$ AB = 18 $,$ AC = 12 $.
(1) 求 $ AD $和 $ CD $的长度;
(2) 若 $ DE ⊥ AC $,$ CF ⊥ AB $,垂足分别为点 $ E,F $,求$ \frac{DE}{CF} $.

5. (1) $ AD = 8 $ $ CD = 4\sqrt{5} $ (2) $ \dfrac{DE}{CF} = \dfrac{2}{3} $

(1) 证明：
∵AC平分∠BAD，CD⊥AD，BC⊥AC，
∴CD=CE（角平分线的性质）。
设AD=x，CD=CE=y。
在Rt△ADC中，AD²+CD²=AC²，即x²+y²=12²=144。
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，即12²+BC²=18²，解得BC=6√5。
∵∠DAC=∠CAB，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD/AC=AC/AB，即x/12=12/18，解得x=8。
将x=8代入x²+y²=144，得8²+y²=144，解得y=4√5。
∴AD=8，CD=4√5。
(2)
∵DE⊥AC，CD⊥AD，
∴S△ADC=1/2·AD·CD=1/2·AC·DE，
∴DE=(AD·CD)/AC=(8×4√5)/12=8√5/3。
∵CF⊥AB，BC⊥AC，
∴S△ABC=1/2·AC·BC=1/2·AB·CF，
∴CF=(AC·BC)/AB=(12×6√5)/18=4√5。
∴DE/CF=(8√5/3)/4√5=2/3。