4* 如图4，在$△ ABC$中，$∠ ABC$的平分线和$∠ ACB$的平分线交于点$O$，$OD⊥ BC$于点$D$，若$△ ABC$的周长为10，$OD=2$，则$△ ABC$的面积为()

A.20
B.15
C.10
D.5

4. C

【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，结合已知的△ABC周长和OD的长度，整体代入即可计算出总面积。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵OC平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=2。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}\\&=\frac{1}{2}× AB× OE+\frac{1}{2}× BC× OD+\frac{1}{2}× AC× OF\\&=\frac{1}{2}× AB×2+\frac{1}{2}× BC×2+\frac{1}{2}× AC×2\\&=AB+BC+AC\end{aligned}$
已知△ABC的周长为10，即AB+BC+AC=10，因此$S_{△ ABC}=10$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三角形三边的距离相等，通过拆分大三角形面积为三个小三角形面积和的方式，结合周长条件整体计算，无需单独求解各边长度，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7

5. 如图5,在△ABC中,AB＜BC,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连接PC.若△ABC的面积为4,则△BPC的面积为()

A.1
B.2
C.3
D.4

5. B

【分析】
当题目中出现角平分线以及垂直于角平分线的线段时，常用辅助线是延长垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形。本题我们先延长AP交BC于点D，先通过角平分线和垂直条件证明△ABP≌△DBP，得到AP=PD，再根据等底同高的三角形面积相等，推导△BPC与△ABC的面积关系。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP。
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP，$S_{△ ABP}=S_{△ DBP}$。
∵ △APC和△DPC以AP、DP为底时，高均为点C到直线AD的距离，
∴ $S_{△ APC}=S_{△ DPC}$。
∴ $S_{△ BPC}=S_{△ DBP}+S_{△ DPC}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=4$，
∴ $S_{△ BPC}=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查角平分线相关的辅助线构造技巧，掌握“角平分线+垂线”构造全等三角形的模型，能快速建立所求面积和已知面积的关联，简化计算。
【难度系数】
0.6

1. 如图6，OC平分∠AOB，P是OC上一点，过点P作PM⊥OA于M，PM=4，N是OB上任意一点，连接NP，则NP的最小值为。

1. 4

【分析】
要找到NP的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质可知：当PN垂直于OB时，NP的长度最小，此时NP的长度就是点P到OB的距离。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知P在∠AOB的角平分线OC上，且PM⊥OA、PM=4，即可推出点P到OB的距离等于PM的长度，从而得到NP的最小值。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当NP⊥OB时，NP的长度取得最小值。
∵OC平分∠AOB，P是OC上一点，PM⊥OA，NP⊥OB
∴根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可得NP=PM
∵PM=4
∴NP的最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是先判断出NP取最小值的位置，再结合角平分线的性质快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.8

2. 如图7,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ BAC$,若$CD=3$,$AB=10$,则$△ ABD$的面积为.

2. 15

【分析】
要求△ABD的面积，已知底AB=10，只需要求出AB边上的高即可。结合AD是∠BAC的角平分线、∠C=90°的条件，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作AB的垂线，该垂线段的长度就等于CD的长度，得到高之后代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC，
又
∵ AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = CD = 3，
∴ △ABD的面积 = $\frac{1}{2}×AB×DE$ = $\frac{1}{2}×10×3$ = 15。
【答案】
15
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过作辅助线将已知的CD长度转化为所求三角形对应底边上的高，熟练掌握角平分线的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图8,三条公路两两相交,现计划修建一个油库,如果要求油库到这三条公路的距离都相等,则油库的位置有个.

3. 4

【分析】
解题的核心依据是角平分线的性质与判定：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上。要找油库的位置，就是找同时在三条公路两两形成的所有夹角的角平分线上的点。思考时先考虑三条公路围成的三角形内部的交点，再考虑三角形外部的交点，避免漏解。
【解析】
解：根据角平分线的相关性质：
1. 三条两两相交的公路构成一个三角形，三角形三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路的距离相等，符合油库的选址要求；
2. 除了内角，公路作为直线还会形成外角，三角形任意两个外角的角平分线也会交于一点，这类交点到三条公路（含公路的延长线）的距离也相等，满足要求，这样的外角平分线交点共有3个。
综上，符合要求的位置总共有1+3=4个。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题容易出现的错误是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，漏掉外部的3个外角平分线交点，解题时要注意全面考虑所有夹角的角平分线交点，避免漏解。
【难度系数】
0.6

4. 如图9,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=6$,$AC=8$,$AB=10$,以点$B$为圆心,适当长为半径画弧,分别交$AB$,$BC$于点$M$,$N$,再分别以点$M$和点$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧交于点$E$,画射线$BE$交$AC$于点$D$,则线段$CD$的长为.
图6
图7
图8
图9

4. 3

【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤可判断出射线BE是∠ABC的角平分线，即BD为∠ABC的角平分线。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到BC的距离CD等于点D到AB的距离。接下来可通过等积法求解，即利用△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和列方程计算，计算过程简便且符合八年级知识要求。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，BD平分∠ABC。
过点D作DF⊥AB于点F，
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
根据角平分线的性质可得$CD=DF$。
设$CD=x$，则$DF=x$，$AD=AC-CD=8-x$。
由三角形面积关系可得：$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△BCD}$，
其中$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×8×6=24$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×CD=3x$，
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DF=5x$，
代入得：$3x+5x=24$，
解得$x=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；等积法求线段长
【点评】
本题是角平分线相关的典型基础题，解题核心是先准确识别尺规作图的结果为角平分线，再结合角平分线的性质转化线段关系，通过列方程即可求出线段长度，能较好考查学生对基础作图和性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

三、解答题
1. 如图10，已知点O在∠BAC的平分线上，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E. 求证：OB=OC.

1. 证明:
∵ 点O在∠BAC的平分线上,BD⊥AC,CE⊥AB,
∴ OE=OD,∠BEO=∠CDO=90°.
在△BEO和△CDO中,$\begin{cases} ∠BEO=∠CDO,\\ OE=OD,\\ ∠EOB=∠DOC, \end{cases}$
∴ △BEO≌△CDO(ASA),
∴ OB=OC.

【分析】
要证明OB=OC，可通过证明OB、OC所在的△BEO和△CDO全等来推导。首先根据已知条件，点O在∠BAC的平分线上，且BD⊥AC、CE⊥AB，由角平分线的性质可得O到角两边的距离OE=OD，同时垂直关系可得∠BEO=∠CDO=90°，再结合对顶角∠EOB=∠DOC，即可得到ASA全等的判定条件，最后根据全等三角形对应边相等即可证得结论。
【解析】
证明:
∵ 点O在∠BAC的平分线上，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴ OE=OD，∠BEO=∠CDO=90°.
在△BEO和△CDO中，
$\begin{cases} ∠BEO=∠CDO,\\ OE=OD,\\ ∠EOB=∠DOC, \end{cases}$
∴ △BEO≌△CDO(ASA)，
∴ OB=OC.
【答案】
OB=OC
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，解题关键是熟练运用角平分线的性质得到相等线段，再结合直角、对顶角相等的条件证明三角形全等，属于角平分线和全等三角形模块的典型常规考题。
【难度系数】
0.8