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1. 钢笔5元一支，圆珠笔2元一支，小明买这两种笔（每种笔至少买一支）刚好用完30元，则小明的购买方法有（
A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
C
）。A.4种
B.3种
C.2种
D.1种
答案
1.C
解析
【分析】
本题是实际生活中的购物方案问题，可通过建立二元一次方程求解。首先设两种笔的购买数量为未知数，根据总花费列出方程，再结合“每种笔至少买1支”可知未知数均为正整数，据此筛选出符合条件的解，解的个数就是购买方法的种数。
【解析】
设小明购买钢笔$x$支，圆珠笔$y$支，其中$x$、$y$均为正整数（$x≥1$，$y≥1$）。
根据总花费为30元，可列方程：
$5x + 2y = 30$
将方程变形，用含$x$的式子表示$y$：
$y = \frac{30 - 5x}{2}$
由于$y$是正整数，因此$30-5x$必须是正的偶数：
1. 先确定$x$的取值范围：由$30-5x＞0$解得$x＜6$，结合$x≥1$，得$x$的可能取值为1、2、3、4、5；
2. 再判断奇偶性：30是偶数，因此$5x$必须是偶数，5为奇数，故$x$必须是偶数，即$x$可取2、4。
代入验证：
当$x=2$时，$y=\frac{30-10}{2}=10$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{30-20}{2}=5$，符合要求。
综上共有2种购买方法。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题解题核心是结合实际问题的限制条件（未知数为正整数）求解二元一次方程，易错点是忽略“每种笔至少买一支”的要求，误将$x=6$（对应$y=0$）算入可行解。
【难度系数】
0.7
本题是实际生活中的购物方案问题，可通过建立二元一次方程求解。首先设两种笔的购买数量为未知数，根据总花费列出方程，再结合“每种笔至少买1支”可知未知数均为正整数，据此筛选出符合条件的解，解的个数就是购买方法的种数。
【解析】
设小明购买钢笔$x$支，圆珠笔$y$支，其中$x$、$y$均为正整数（$x≥1$，$y≥1$）。
根据总花费为30元，可列方程：
$5x + 2y = 30$
将方程变形，用含$x$的式子表示$y$：
$y = \frac{30 - 5x}{2}$
由于$y$是正整数，因此$30-5x$必须是正的偶数：
1. 先确定$x$的取值范围：由$30-5x＞0$解得$x＜6$，结合$x≥1$，得$x$的可能取值为1、2、3、4、5；
2. 再判断奇偶性：30是偶数，因此$5x$必须是偶数，5为奇数，故$x$必须是偶数，即$x$可取2、4。
代入验证：
当$x=2$时，$y=\frac{30-10}{2}=10$，符合要求；
当$x=4$时，$y=\frac{30-20}{2}=5$，符合要求。
综上共有2种购买方法。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程的应用
2. 二元一次方程的正整数解
【点评】
本题解题核心是结合实际问题的限制条件（未知数为正整数）求解二元一次方程，易错点是忽略“每种笔至少买一支”的要求，误将$x=6$（对应$y=0$）算入可行解。
【难度系数】
0.7
2. 我国古代著作《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，多少客人在店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房。据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（
甲：设客房有$x$间，则$7x + 7 = 9(x - 1)$；
乙：设客人有$y$人，则$\frac{y - 7}{7} = \frac{y}{9}$；
丙：设客房有$x$间，客人有$y$人，则$\begin{cases}7x = y - 7, \\9x = y + 9。\end{cases}$
A.0
B.1
C.2
D.3
C
）。甲：设客房有$x$间，则$7x + 7 = 9(x - 1)$；
乙：设客人有$y$人，则$\frac{y - 7}{7} = \frac{y}{9}$；
丙：设客房有$x$间，客人有$y$人，则$\begin{cases}7x = y - 7, \\9x = y + 9。\end{cases}$
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
这道题是方程（组）的实际应用问题，解题核心是抓住两个不变量：客房总数、客人总数始终固定。我们只需逐个验证甲、乙、丙三人的列方程思路是否符合题意即可：先判断甲设客房数为未知数时，用两种住法表示的客人数是否相等；再判断乙设客人数为未知数时，用两种住法表示的客房数是否相等；最后判断丙设两个未知数时，所列方程组是否符合两种住法的等量关系。
【解析】
我们逐一判断三人的解题方案：
1. 验证甲的方案：设客房有$x$间。
每间住7人多7人时，客人总数为$7x+7$；每间住9人空1间时，实际入住的房间为$x-1$间，客人总数为$9(x-1)$。客人总数相等，因此$7x+7=9(x-1)$，甲的方案正确。
2. 验证乙的方案：设客人有$y$人。
每间住7人多7人时，客房总数为$\frac{y-7}{7}$；每间住9人空1间时，住满的房间数为$\frac{y}{9}$，总客房数应为$\frac{y}{9}+1$。客房总数相等，正确方程应为$\frac{y-7}{7}=\frac{y}{9}+1$，因此乙所列方程错误。
3. 验证丙的方案：设客房有$x$间，客人有$y$人。
根据每间住7人多7人，可得$7x=y-7$；根据每间住9人空1间，可得$y=9(x-1)$，整理得$9x=y+9$。因此丙所列方程组正确。
综上，甲、丙的方案正确，正确的个数为2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查方程（组）在实际问题中的应用，解题关键是准确理解题意、找准不变量，根据等量关系正确列方程，尤其要注意“空出一间房”的含义是实际入住房间数比总房间数少1，避免列方程时出现漏加、漏减的错误。
【难度系数】
0.7
这道题是方程（组）的实际应用问题，解题核心是抓住两个不变量：客房总数、客人总数始终固定。我们只需逐个验证甲、乙、丙三人的列方程思路是否符合题意即可：先判断甲设客房数为未知数时，用两种住法表示的客人数是否相等；再判断乙设客人数为未知数时，用两种住法表示的客房数是否相等；最后判断丙设两个未知数时，所列方程组是否符合两种住法的等量关系。
【解析】
我们逐一判断三人的解题方案：
1. 验证甲的方案：设客房有$x$间。
每间住7人多7人时，客人总数为$7x+7$；每间住9人空1间时，实际入住的房间为$x-1$间，客人总数为$9(x-1)$。客人总数相等，因此$7x+7=9(x-1)$，甲的方案正确。
2. 验证乙的方案：设客人有$y$人。
每间住7人多7人时，客房总数为$\frac{y-7}{7}$；每间住9人空1间时，住满的房间数为$\frac{y}{9}$，总客房数应为$\frac{y}{9}+1$。客房总数相等，正确方程应为$\frac{y-7}{7}=\frac{y}{9}+1$，因此乙所列方程错误。
3. 验证丙的方案：设客房有$x$间，客人有$y$人。
根据每间住7人多7人，可得$7x=y-7$；根据每间住9人空1间，可得$y=9(x-1)$，整理得$9x=y+9$。因此丙所列方程组正确。
综上，甲、丙的方案正确，正确的个数为2。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用
【点评】
本题考查方程（组）在实际问题中的应用，解题关键是准确理解题意、找准不变量，根据等量关系正确列方程，尤其要注意“空出一间房”的含义是实际入住房间数比总房间数少1，避免列方程时出现漏加、漏减的错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图，周长为4的长方形ABCD被分成3个正方形和2个长方形，若图中3个正方形和2个长方形的周长和为9，则正方形EFGH的边长为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{2}{9}$
B
）。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{5}{4}$
D.$\frac{2}{9}$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先回忆长方形周长公式，已知大长方形周长为4，可先求出长与宽的和，不需要单独计算长和宽的具体值。再思考图形分割后周长的变化规律：把大图形分割为若干小图形时，总周长会增加，增加的部分是2倍所有内部分割线的长度。观察分割后的图形，可将所有小图形的周长和用大长方形的长、宽以及小正方形的边长表示，再整体代入长+宽的数值即可快速求解。
【解析】
设正方形EFGH的边长为$x$。
1. 根据大长方形$ABCD$的周长为4，由长方形周长公式可得：
$2(AB+BC)=4$，化简得$AB+BC=2$。
2. 统计所有小图形的周长和：横向边总长度共包含4个大长方形的长（大长方形上下边各1个长，内部2条横向分割线各1个长），纵向边总长度共包含4个大长方形的宽，另外还多出来4段长度为$x$的小正方形的边。因此总周长可表示为：
$4× BC + 4× AB +4x =9$
3. 将$AB+BC=2$整体代入上式：
$4(AB+BC)+4x=4×2 +4x=8+4x=9$
解得$4x=1$，即$x=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算，图形分割周长变化，一元一次方程应用
【点评】
本题的解题技巧是利用整体思想代入长+宽的和，不需要分别求解大长方形的长和宽，降低了计算难度，解题时需要准确统计分割后周长的组成部分，避免漏算或多算内部边长。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆长方形周长公式，已知大长方形周长为4，可先求出长与宽的和，不需要单独计算长和宽的具体值。再思考图形分割后周长的变化规律：把大图形分割为若干小图形时，总周长会增加，增加的部分是2倍所有内部分割线的长度。观察分割后的图形，可将所有小图形的周长和用大长方形的长、宽以及小正方形的边长表示，再整体代入长+宽的数值即可快速求解。
【解析】
设正方形EFGH的边长为$x$。
1. 根据大长方形$ABCD$的周长为4，由长方形周长公式可得：
$2(AB+BC)=4$，化简得$AB+BC=2$。
2. 统计所有小图形的周长和：横向边总长度共包含4个大长方形的长（大长方形上下边各1个长，内部2条横向分割线各1个长），纵向边总长度共包含4个大长方形的宽，另外还多出来4段长度为$x$的小正方形的边。因此总周长可表示为：
$4× BC + 4× AB +4x =9$
3. 将$AB+BC=2$整体代入上式：
$4(AB+BC)+4x=4×2 +4x=8+4x=9$
解得$4x=1$，即$x=\frac{1}{4}$。
【答案】
B
【知识点】
长方形周长计算，图形分割周长变化，一元一次方程应用
【点评】
本题的解题技巧是利用整体思想代入长+宽的和，不需要分别求解大长方形的长和宽，降低了计算难度，解题时需要准确统计分割后周长的组成部分，避免漏算或多算内部边长。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两地相距480 km，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水航行20 h，逆水航行26 h，若设该轮船在静水中的速度为x km/h，水流的速度为 y km/h，则下列方程组正确的是(
A.$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$
B.$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x+y)=480\end{cases}$
C.$\begin{cases}20(x-y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$
D.$\begin{cases}20(x-y)=480, \\26(x+y)=480\end{cases}$
A
)。A.$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$
B.$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x+y)=480\end{cases}$
C.$\begin{cases}20(x-y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$
D.$\begin{cases}20(x-y)=480, \\26(x+y)=480\end{cases}$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先明确核心等量关系：轮船顺水、逆水行驶的路程均为甲乙两地的距离480km，结合流水行船的速度规律和行程问题公式推导即可。第一步先回忆流水行船速度关系：顺水时水流助力，实际航行速度=静水速度+水流速度；逆水时水流阻碍，实际航行速度=静水速度-水流速度。第二步结合“路程=速度×时间”的公式，分别对顺水、逆水两种情况列等式，联立得到方程组后匹配选项即可。
【解析】
根据流水行船的速度规律：
顺水航行的实际速度为$(x+y)$km/h，已知顺水航行时间为20h，路程为480km，由路程=速度×时间可得：$20(x+y)=480$；
逆水航行的实际速度为$(x-y)$km/h，已知逆水航行时间为26h，路程为480km，同理可得：$26(x-y)=480$。
联立两个等式得到方程组为$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 流水行船速度关系
2. 二元一次方程组应用
3. 行程问题基本公式
【点评】
本题是流水行船类的基础题型，核心考查对顺水、逆水实际速度的理解，以及利用行程问题的等量关系列方程组的能力，掌握流水行船的速度规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确核心等量关系：轮船顺水、逆水行驶的路程均为甲乙两地的距离480km，结合流水行船的速度规律和行程问题公式推导即可。第一步先回忆流水行船速度关系：顺水时水流助力，实际航行速度=静水速度+水流速度；逆水时水流阻碍，实际航行速度=静水速度-水流速度。第二步结合“路程=速度×时间”的公式，分别对顺水、逆水两种情况列等式，联立得到方程组后匹配选项即可。
【解析】
根据流水行船的速度规律：
顺水航行的实际速度为$(x+y)$km/h，已知顺水航行时间为20h，路程为480km，由路程=速度×时间可得：$20(x+y)=480$；
逆水航行的实际速度为$(x-y)$km/h，已知逆水航行时间为26h，路程为480km，同理可得：$26(x-y)=480$。
联立两个等式得到方程组为$\begin{cases}20(x+y)=480, \\26(x-y)=480\end{cases}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 流水行船速度关系
2. 二元一次方程组应用
3. 行程问题基本公式
【点评】
本题是流水行船类的基础题型，核心考查对顺水、逆水实际速度的理解，以及利用行程问题的等量关系列方程组的能力，掌握流水行船的速度规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 某地有$x$间仓库及$y$件货物，若每间仓库存放40件货物，则还有10件货物不能入库；若每间仓库存放43件货物，则还有1件货物不能入库。以下等式：
①$40x - 10 = 43x - 1$；②$40x + 10 = 43x + 1$；
③$\frac{y - 10}{40} = \frac{y - 1}{43}$；④$\frac{y + 10}{40} = \frac{y + 1}{43}$，其中符合题意的有（
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
①$40x - 10 = 43x - 1$；②$40x + 10 = 43x + 1$；
③$\frac{y - 10}{40} = \frac{y - 1}{43}$；④$\frac{y + 10}{40} = \frac{y + 1}{43}$，其中符合题意的有（
C
）。A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
答案
5.C
解析
【分析】
解题可从两个不变量切入推导等式：一是总货物数量不变，二是仓库数量不变。①若以总货物为等量：总货物数=每间仓库存放量×仓库数+无法入库的货物数，据此用x分别表示两种存放方式的总货物，即可列等式；②若以仓库数为等量：仓库数=（总货物数-无法入库的货物数）÷每间仓库存放量，据此用y分别表示两种存放方式的仓库数，即可列等式。
【解析】
我们分两种角度列等式验证：
1. 以总货物数为等量：
第一种存放方式：x间仓库可存放40x件，加上未入库的10件，总货物数为$40x+10$；
第二种存放方式：x间仓库可存放43x件，加上未入库的1件，总货物数为$43x+1$；
总货物数相等，因此$40x+10=43x+1$，故等式②正确，①错误。
2. 以仓库数量为等量：
第一种存放方式：能入库的货物为$(y-10)$件，每间存40件，因此仓库数为$\frac{y-10}{40}$；
第二种存放方式：能入库的货物为$(y-1)$件，每间存43件，因此仓库数为$\frac{y-1}{43}$；
仓库数量相等，因此$\frac{y-10}{40}=\frac{y-1}{43}$，故等式③正确，④错误。
综上，符合题意的是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程、找等量关系、代数式表示实际量
【点评】
本题是典型的盈不足类应用题，解题的关键是找准题目中不变的量，结合剩余货物的条件正确列出代数式，要注意避免将未入库的货物错用减法计算的失误。
【难度系数】
0.7
解题可从两个不变量切入推导等式：一是总货物数量不变，二是仓库数量不变。①若以总货物为等量：总货物数=每间仓库存放量×仓库数+无法入库的货物数，据此用x分别表示两种存放方式的总货物，即可列等式；②若以仓库数为等量：仓库数=（总货物数-无法入库的货物数）÷每间仓库存放量，据此用y分别表示两种存放方式的仓库数，即可列等式。
【解析】
我们分两种角度列等式验证：
1. 以总货物数为等量：
第一种存放方式：x间仓库可存放40x件，加上未入库的10件，总货物数为$40x+10$；
第二种存放方式：x间仓库可存放43x件，加上未入库的1件，总货物数为$43x+1$；
总货物数相等，因此$40x+10=43x+1$，故等式②正确，①错误。
2. 以仓库数量为等量：
第一种存放方式：能入库的货物为$(y-10)$件，每间存40件，因此仓库数为$\frac{y-10}{40}$；
第二种存放方式：能入库的货物为$(y-1)$件，每间存43件，因此仓库数为$\frac{y-1}{43}$；
仓库数量相等，因此$\frac{y-10}{40}=\frac{y-1}{43}$，故等式③正确，④错误。
综上，符合题意的是②③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列一元一次方程、找等量关系、代数式表示实际量
【点评】
本题是典型的盈不足类应用题，解题的关键是找准题目中不变的量，结合剩余货物的条件正确列出代数式，要注意避免将未入库的货物错用减法计算的失误。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙两人分别在A,B两地以不同的速度同时出发。两人若相向而行，则0.5 h后相遇；若同向而行，则2 h后相遇。甲从A地到B地需要(
A.$\frac{4}{5}$ h或$\frac{3}{4}$ h
B.$\frac{4}{3}$ h或$\frac{5}{4}$ h
C.$\frac{4}{5}$ h或$\frac{4}{3}$ h
D.$\frac{5}{4}$ h或$\frac{3}{4}$ h
C
)。A.$\frac{4}{5}$ h或$\frac{3}{4}$ h
B.$\frac{4}{3}$ h或$\frac{5}{4}$ h
C.$\frac{4}{5}$ h或$\frac{4}{3}$ h
D.$\frac{5}{4}$ h或$\frac{3}{4}$ h
答案
6.C
解析
【分析】
这是行程类实际应用题，用到相遇和追及的基本公式，我们可以通过设未知数表示总路程、甲乙的速度，根据相向相遇、同向追及的等量关系列方程。注意题目没有说明甲乙谁的速度更快，因此同向追及时要分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，最终用总路程除以甲的速度就能求出甲走完全程的时间。
【解析】
设A、B两地的总路程为$s$，甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$。
1. 根据相向而行0.5h相遇，路程和等于总路程，可得：
$0.5(v_1 + v_2) = s$，整理得：$v_1 + v_2 = 2s$ ---①
2. 分两种情况讨论同向追及：
情况一：甲的速度大于乙的速度，甲追上乙，路程差等于总路程，2h追上可得：
$2(v_1 - v_2) = s$，整理得：$v_1 - v_2 = \frac{1}{2}s$ ---②
联立①②，①+②得：$2v_1 = \frac{5}{2}s$，解得$v_1 = \frac{5}{4}s$
则甲走完全程的时间$t = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{\frac{5}{4}s} = \frac{4}{5}\ \mathrm{h}$
情况二：乙的速度大于甲的速度，乙追上甲，路程差等于总路程，2h追上可得：
$2(v_2 - v_1) = s$，整理得：$v_2 - v_1 = \frac{1}{2}s$ ---③
联立①③，①-③得：$2v_1 = \frac{3}{2}s$，解得$v_1 = \frac{3}{4}s$
则甲走完全程的时间$t = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{\frac{3}{4}s} = \frac{4}{3}\ \mathrm{h}$
综上，甲从A地到B地需要$\frac{4}{5}\ \mathrm{h}$或$\frac{4}{3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇追及，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握行程问题中相遇、追及的等量关系，易错点是容易忽略同向追及时甲乙速度大小不确定，漏了其中一种情况，计算时总路程$s$为中间量，会被约去，无需计算具体数值。
【难度系数】
0.6
这是行程类实际应用题，用到相遇和追及的基本公式，我们可以通过设未知数表示总路程、甲乙的速度，根据相向相遇、同向追及的等量关系列方程。注意题目没有说明甲乙谁的速度更快，因此同向追及时要分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，最终用总路程除以甲的速度就能求出甲走完全程的时间。
【解析】
设A、B两地的总路程为$s$，甲的速度为$v_1$，乙的速度为$v_2$。
1. 根据相向而行0.5h相遇，路程和等于总路程，可得：
$0.5(v_1 + v_2) = s$，整理得：$v_1 + v_2 = 2s$ ---①
2. 分两种情况讨论同向追及：
情况一：甲的速度大于乙的速度，甲追上乙，路程差等于总路程，2h追上可得：
$2(v_1 - v_2) = s$，整理得：$v_1 - v_2 = \frac{1}{2}s$ ---②
联立①②，①+②得：$2v_1 = \frac{5}{2}s$，解得$v_1 = \frac{5}{4}s$
则甲走完全程的时间$t = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{\frac{5}{4}s} = \frac{4}{5}\ \mathrm{h}$
情况二：乙的速度大于甲的速度，乙追上甲，路程差等于总路程，2h追上可得：
$2(v_2 - v_1) = s$，整理得：$v_2 - v_1 = \frac{1}{2}s$ ---③
联立①③，①-③得：$2v_1 = \frac{3}{2}s$，解得$v_1 = \frac{3}{4}s$
则甲走完全程的时间$t = \frac{s}{v_1} = \frac{s}{\frac{3}{4}s} = \frac{4}{3}\ \mathrm{h}$
综上，甲从A地到B地需要$\frac{4}{5}\ \mathrm{h}$或$\frac{4}{3}\ \mathrm{h}$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用，行程相遇追及，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是熟练掌握行程问题中相遇、追及的等量关系，易错点是容易忽略同向追及时甲乙速度大小不确定，漏了其中一种情况，计算时总路程$s$为中间量，会被约去，无需计算具体数值。
【难度系数】
0.6
7. 某一商场经销A,B两种商品,每件A商品的进价为40元,利润率为50%;每件B商品的售价为80元。在元旦期间,该商场对A,B两种商品开展如下的优惠促销活动。
按上述优惠条件,若小华一次性购买A,B两种商品(每种商品不少于1件),实际共付款522元,则以下说法正确的个数是(
①可能购买A商品3件,B商品5件;
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件;
③如果在打折前购买相同的商品,要比打折后多付58元或138元。
A.0
B.1
C.2
D.3
按上述优惠条件,若小华一次性购买A,B两种商品(每种商品不少于1件),实际共付款522元,则以下说法正确的个数是(
D
)。①可能购买A商品3件,B商品5件;
②购买A商品与B商品的总件数可能为8件、9件、10件;
③如果在打折前购买相同的商品,要比打折后多付58元或138元。
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
7.D
解析
【分析】
首先先计算A商品的售价，再根据实际付款金额分情况算出打折前总金额的两种可能，最后分别对三个说法逐一验证判断是否正确。第一步：根据利润率公式求出A商品的售价；第二步：结合优惠规则，按原价所在的两个优惠区间分类计算，得到原价的两种可能值；第三步：分别验证三个结论是否成立，注意二元一次方程正整数解的求解。
【解析】
1. 计算A商品售价：
已知A商品进价40元，利润率50%，则售价为 $40×(1+50\%)=60$ 元，B商品售价为80元。
2. 分类计算打折前总金额：
实际付款522元，分两种情况讨论：
情况1：打折前总金额在$450＜x≤600$区间，享受九折优惠
原价 $x=522÷0.9=580$ 元
情况2：打折前总金额$x＞600$，600元部分打八折，付款$600×0.8=480$元，超出600元部分付款$522-480=42$元，超出部分原价$=42÷0.7=60$元，总原价$x=600+60=660$元
3. 验证三个说法：
①3件A和5件B原价总和：$3×60+5×80=580$元，符合情况1，优惠后付款$580×0.9=522$元，①正确。
②设购买A商品$x$件、B商品$y$件（$x≥1,y≥1$，均为正整数）：
若原价为580元：$60x+80y=580$，化简得$3x+4y=29$，正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=2\end{cases}$（总件数9）、$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$（总件数8）
若原价为660元：$60x+80y=660$，化简得$3x+4y=33$，正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$（总件数10）、$\begin{cases}x=3\\y=6\end{cases}$（总件数9）
因此总件数可能为8、9、10件，②正确。
③若原价为580元，打折前比打折后多付$580-522=58$元；若原价为660元，多付$660-522=138$元，③正确。
综上三个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程整数解，利润率计算
【点评】
本题属于优惠促销类的实际应用题，解题核心是先根据付款金额分类讨论得到原价的两种可能，再结合二元一次方程的正整数解逐一验证结论，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先先计算A商品的售价，再根据实际付款金额分情况算出打折前总金额的两种可能，最后分别对三个说法逐一验证判断是否正确。第一步：根据利润率公式求出A商品的售价；第二步：结合优惠规则，按原价所在的两个优惠区间分类计算，得到原价的两种可能值；第三步：分别验证三个结论是否成立，注意二元一次方程正整数解的求解。
【解析】
1. 计算A商品售价：
已知A商品进价40元，利润率50%，则售价为 $40×(1+50\%)=60$ 元，B商品售价为80元。
2. 分类计算打折前总金额：
实际付款522元，分两种情况讨论：
情况1：打折前总金额在$450＜x≤600$区间，享受九折优惠
原价 $x=522÷0.9=580$ 元
情况2：打折前总金额$x＞600$，600元部分打八折，付款$600×0.8=480$元，超出600元部分付款$522-480=42$元，超出部分原价$=42÷0.7=60$元，总原价$x=600+60=660$元
3. 验证三个说法：
①3件A和5件B原价总和：$3×60+5×80=580$元，符合情况1，优惠后付款$580×0.9=522$元，①正确。
②设购买A商品$x$件、B商品$y$件（$x≥1,y≥1$，均为正整数）：
若原价为580元：$60x+80y=580$，化简得$3x+4y=29$，正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=2\end{cases}$（总件数9）、$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$（总件数8）
若原价为660元：$60x+80y=660$，化简得$3x+4y=33$，正整数解为$\begin{cases}x=7\\y=3\end{cases}$（总件数10）、$\begin{cases}x=3\\y=6\end{cases}$（总件数9）
因此总件数可能为8、9、10件，②正确。
③若原价为580元，打折前比打折后多付$580-522=58$元；若原价为660元，多付$660-522=138$元，③正确。
综上三个说法均正确。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用，二元一次方程整数解，利润率计算
【点评】
本题属于优惠促销类的实际应用题，解题核心是先根据付款金额分类讨论得到原价的两种可能，再结合二元一次方程的正整数解逐一验证结论，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
