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1. 二次函数的三种表示方式：
①
③
①
$y=ax^2+bx+c$
；②$y=a(x-h)^2+k$
；③
$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
。答案
1. ①一般式:$y=ax^2+bx+c$
②顶点式:$y=a(x-h)^2+k$
③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
②顶点式:$y=a(x-h)^2+k$
③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
解析
【分析】
本题考查二次函数三种表达形式的识记，解题时只需回忆课堂所学的二次函数三类常用表达式即可：首先是最基础的、按x的降幂排列的一般式；其次是能直接体现顶点坐标的顶点式，由一般式配方得到；最后是已知函数与x轴两个交点坐标时使用的交点式，共三类。
【解析】
根据初中数学二次函数相关概念，三种表示方式分别为：
①一般式：所有二次函数都可以整理为$y=ax^2+bx+c$的形式（其中$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）；
②顶点式：可直接读出二次函数顶点坐标，形式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数，顶点坐标为$(h,k)$）；
③交点式：已知二次函数图像与x轴的两个交点横坐标$x_1$、$x_2$时可使用，形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$a≠0$，$a$、$x_1$、$x_2$为常数）。
【答案】
①一般式:$y=ax^2+bx+c$；②顶点式:$y=a(x-h)^2+k$；③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
【知识点】
二次函数的表示形式；二次函数的一般式；二次函数的顶点式
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要考察对二次函数基本表达形式的记忆，熟练掌握三种形式的特点与适用场景，能够大幅提升后续二次函数相关题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数三种表达形式的识记，解题时只需回忆课堂所学的二次函数三类常用表达式即可：首先是最基础的、按x的降幂排列的一般式；其次是能直接体现顶点坐标的顶点式，由一般式配方得到；最后是已知函数与x轴两个交点坐标时使用的交点式，共三类。
【解析】
根据初中数学二次函数相关概念，三种表示方式分别为：
①一般式：所有二次函数都可以整理为$y=ax^2+bx+c$的形式（其中$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数）；
②顶点式：可直接读出二次函数顶点坐标，形式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$a≠0$，$a$、$h$、$k$为常数，顶点坐标为$(h,k)$）；
③交点式：已知二次函数图像与x轴的两个交点横坐标$x_1$、$x_2$时可使用，形式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（其中$a≠0$，$a$、$x_1$、$x_2$为常数）。
【答案】
①一般式:$y=ax^2+bx+c$；②顶点式:$y=a(x-h)^2+k$；③交点式:$y=a(x-x_1)(x-x_2)$
【知识点】
二次函数的表示形式；二次函数的一般式；二次函数的顶点式
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要考察对二次函数基本表达形式的记忆，熟练掌握三种形式的特点与适用场景，能够大幅提升后续二次函数相关题型的解题效率。
【难度系数】
0.9
2.求二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的表达式，由于表达式中含有
待定系数法是求二次函数表达式常用的方法，其关键是根据已知条件设出适当的表达式，当条件中已知顶点坐标或对称轴时，设为顶点式，即设函数表达式为
三
个待定系数，它们分别是 $a,b,c$
，所以一般需要 三
个点的坐标，列出一个 三
元 一
次方程组，并求出 $a,b,c$
的值，就可以写出二次函数的表达式。待定系数法是求二次函数表达式常用的方法，其关键是根据已知条件设出适当的表达式，当条件中已知顶点坐标或对称轴时，设为顶点式，即设函数表达式为
$y=a(x-h)^2+k$
；当条件是已知的三点时，设为一般式，即设函数表达式为 $y=ax^2+bx+c$
。答案
2. 三 $a,b,c$ 三 三 一 $a,b,c$
$y=a(x-h)^2+k$ $y=ax^2+bx+c$
$y=a(x-h)^2+k$ $y=ax^2+bx+c$
解析
【分析】
解题时首先回忆待定系数法求函数解析式的基本逻辑：未知系数的数量和所需独立条件的数量相等。先看二次函数一般式的结构，明确里面的待定系数个数，对应得到需要的点的数量、方程组的类型；再回忆两种常见二次函数解析式的适用场景，分别对应顶点式和一般式的表达式即可。
【解析】
1. 二次函数的一般式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\ne0$），其中含有3个未知的待定系数，分别是$a、b、c$；
2. 确定3个未知量需要3个独立条件，即3个点的坐标，将点的坐标代入一般式后，可得到3个关于$a、b、c$的方程，构成三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，即可确定二次函数的表达式；
3. 当已知顶点坐标或对称轴等和顶点相关的条件时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$(h,k)$为顶点坐标）计算更简便；当已知3个普通点的坐标时，直接设一般式$y = ax^2 + bx + c$（$a\ne0$）求解即可。
按照上述推导依次填空即可。
【答案】
三；$a,b,c$；三；三；一；$a,b,c$；$y=a(x-h)^2+k$；$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数一般式
3. 二次函数顶点式
【点评】
本题是对二次函数表达式求解基础知识点的考查，属于识记类基础题型，熟练掌握待定系数法的应用逻辑，以及两种二次函数表达式的适用条件，是求解这类问题的核心，也为后续解决复杂的二次函数应用问题打基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆待定系数法求函数解析式的基本逻辑：未知系数的数量和所需独立条件的数量相等。先看二次函数一般式的结构，明确里面的待定系数个数，对应得到需要的点的数量、方程组的类型；再回忆两种常见二次函数解析式的适用场景，分别对应顶点式和一般式的表达式即可。
【解析】
1. 二次函数的一般式为$y = ax^2 + bx + c$（$a\ne0$），其中含有3个未知的待定系数，分别是$a、b、c$；
2. 确定3个未知量需要3个独立条件，即3个点的坐标，将点的坐标代入一般式后，可得到3个关于$a、b、c$的方程，构成三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，即可确定二次函数的表达式；
3. 当已知顶点坐标或对称轴等和顶点相关的条件时，设顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$(h,k)$为顶点坐标）计算更简便；当已知3个普通点的坐标时，直接设一般式$y = ax^2 + bx + c$（$a\ne0$）求解即可。
按照上述推导依次填空即可。
【答案】
三；$a,b,c$；三；三；一；$a,b,c$；$y=a(x-h)^2+k$；$y=ax^2+bx+c$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数一般式
3. 二次函数顶点式
【点评】
本题是对二次函数表达式求解基础知识点的考查，属于识记类基础题型，熟练掌握待定系数法的应用逻辑，以及两种二次函数表达式的适用条件，是求解这类问题的核心，也为后续解决复杂的二次函数应用问题打基础。
【难度系数】
0.9
1. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$ 相同，顶点为$(-2,1)$，则此抛物线的表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
C
）。A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -1$
答案
1.C
解析
【分析】
要确定抛物线的表达式，可结合二次函数的性质逐步推导：首先，抛物线的形状、开口方向由二次项系数$a$决定，若两条抛物线形状、开口方向相同，则二者的$a$值相等；其次，已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标，$a≠0$）求解最简便。因此本题先根据已知抛物线确定$a$的值，再代入顶点坐标即可求出表达式。
【解析】
第一步：确定二次项系数$a$的值
已知所求抛物线形状、开口方向与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$相同，因此二者二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$。
第二步：代入顶点式求解
抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，本题顶点为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2+1=\frac{1}{2}(x+2)^2+1$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的性质 2.二次函数顶点式 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的核心是明确二次项系数对抛物线开口方向、形状的决定作用，熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要确定抛物线的表达式，可结合二次函数的性质逐步推导：首先，抛物线的形状、开口方向由二次项系数$a$决定，若两条抛物线形状、开口方向相同，则二者的$a$值相等；其次，已知抛物线顶点坐标时，选用顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标，$a≠0$）求解最简便。因此本题先根据已知抛物线确定$a$的值，再代入顶点坐标即可求出表达式。
【解析】
第一步：确定二次项系数$a$的值
已知所求抛物线形状、开口方向与抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 -2x +3$相同，因此二者二次项系数相等，即$a=\frac{1}{2}$。
第二步：代入顶点式求解
抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，本题顶点为$(-2,1)$，即$h=-2$，$k=1$，将$a=\frac{1}{2}$、$h=-2$、$k=1$代入顶点式得：
$y=\frac{1}{2}[x-(-2)]^2+1=\frac{1}{2}(x+2)^2+1$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的性质 2.二次函数顶点式 3.待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题的核心是明确二次项系数对抛物线开口方向、形状的决定作用，熟练掌握顶点式中参数与顶点坐标的对应关系，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
2. 关于$x$的二次函数$y=(a-3)x^2+bx+a^2-9$的图象过原点，则$a$的值为(
A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$0$
A
)。A.$-3$
B.$3$
C.$\pm3$
D.$0$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先要抓住两个核心条件：①该函数是二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，由此可得到a的取值限制；②函数图象过原点，原点坐标为(0,0)，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将(0,0)代入解析式可得到关于a的方程，求出a的可能值后，再结合前面的取值限制排除不符合的选项，即可得到正确结果。
【解析】
1. 由二次函数的定义可知，二次项系数不为0，即：
$a-3 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$。
2. 因为二次函数图象过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=(a-3)x^2+bx+a^2-9$得：
$0=(a-3)×0 + b×0 + a^2 -9$
化简得$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$。
3. 结合$a ≠ 3$的限制，最终得$a=-3$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，解题的关键是不要忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免直接求解$a^2-9=0$后误选C选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住两个核心条件：①该函数是二次函数，根据二次函数的定义，二次项系数不能为0，由此可得到a的取值限制；②函数图象过原点，原点坐标为(0,0)，函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将(0,0)代入解析式可得到关于a的方程，求出a的可能值后，再结合前面的取值限制排除不符合的选项，即可得到正确结果。
【解析】
1. 由二次函数的定义可知，二次项系数不为0，即：
$a-3 ≠ 0$，解得$a ≠ 3$。
2. 因为二次函数图象过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入$y=(a-3)x^2+bx+a^2-9$得：
$0=(a-3)×0 + b×0 + a^2 -9$
化简得$a^2=9$，解得$a=3$或$a=-3$。
3. 结合$a ≠ 3$的限制，最终得$a=-3$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础易错题，解题的关键是不要忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，避免直接求解$a^2-9=0$后误选C选项。
【难度系数】
0.7
3.已知关于$x$的二次函数$y=ax^2+bx+2$，函数值$y$和自变量$x$的部分对应取值如下表所示，则该二次函数的表达式为（
A.$y=2x^2 - x + 2$
B.$y=x^2 - 2x + 2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
B
）。A.$y=2x^2 - x + 2$
B.$y=x^2 - 2x + 2$
C.$y=-2x^2 -5x +2$
D.$y=-x^2 +2x +2$
答案
3.B
解析
【分析】
已知二次函数表达式为$y=ax^2+bx+2$，仅需要确定系数$a$、$b$的值即可得到完整解析式。我们可以从表格中选取两组明确的$x$、$y$对应值代入表达式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$后即可确定函数解析式，再匹配对应选项。
【解析】
选取表格中$x=-1,y=5$和$x=2,y=2$两组值代入$y=ax^2+bx+2$：
1. 代入$x=-1,y=5$：
$a×(-1)^2 + b×(-1) +2=5$，化简得：$a - b = 3$ ①
2. 代入$x=2,y=2$：
$a×2^2 + b×2 +2=2$，化简得：$4a+2b=0$，即$2a + b = 0$ ②
联立①②求解：
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入①得$1 - b=3$，解得$b=-2$，
因此二次函数表达式为$y=x^2 - 2x + 2$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式、二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是熟练运用待定系数法，从表格中选取合适的已知点代入列方程组，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
已知二次函数表达式为$y=ax^2+bx+2$，仅需要确定系数$a$、$b$的值即可得到完整解析式。我们可以从表格中选取两组明确的$x$、$y$对应值代入表达式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$后即可确定函数解析式，再匹配对应选项。
【解析】
选取表格中$x=-1,y=5$和$x=2,y=2$两组值代入$y=ax^2+bx+2$：
1. 代入$x=-1,y=5$：
$a×(-1)^2 + b×(-1) +2=5$，化简得：$a - b = 3$ ①
2. 代入$x=2,y=2$：
$a×2^2 + b×2 +2=2$，化简得：$4a+2b=0$，即$2a + b = 0$ ②
联立①②求解：
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，
将$a=1$代入①得$1 - b=3$，解得$b=-2$，
因此二次函数表达式为$y=x^2 - 2x + 2$。
【答案】
B
【知识点】
待定系数法求解析式、二元一次方程组求解
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是熟练运用待定系数法，从表格中选取合适的已知点代入列方程组，掌握方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
4.请写出一个二次函数表达式，使其图象开口向上，且与y轴交于负半轴：
$y=2x^2+4x-3$(答案不唯一)
。答案
4.$y=2x^2+4x-3$(答案不唯一)
解析
【分析】
要构造符合要求的二次函数，需结合二次函数系数与图象的对应关系逐步确定参数：首先回忆二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：1. 图象开口方向由二次项系数$a$决定，开口向上则$a＞0$，可任意选取一个正数作为$a$的值；2. 函数与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，要交于负半轴则$c＜0$，可任意选取一个负数作为$c$的值；3. 一次项系数$b$无额外限制，可任意取值，将选取的参数代入一般式即可得到符合要求的表达式。
【解析】
设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 根据图象开口向上的要求，取二次项系数$a=2＞0$，满足开口条件；
2. 根据与$y$轴交于负半轴的要求，取常数项$c=-3＜0$，满足交点条件；
3. 一次项系数无限制，取$b=4$，代入一般式可得$y=2x^2+4x-3$。
注：只要满足$a＞0$、$c＜0$的二次函数均符合题意，答案不唯一。
【答案】
$y=2x^2+4x-3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数系数和图象特征的对应规律，解题时只需紧扣两个限定条件选取合适的参数即可，灵活度较高但难度较低。
【难度系数】
0.9
要构造符合要求的二次函数，需结合二次函数系数与图象的对应关系逐步确定参数：首先回忆二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：1. 图象开口方向由二次项系数$a$决定，开口向上则$a＞0$，可任意选取一个正数作为$a$的值；2. 函数与$y$轴的交点坐标为$(0,c)$，要交于负半轴则$c＜0$，可任意选取一个负数作为$c$的值；3. 一次项系数$b$无额外限制，可任意取值，将选取的参数代入一般式即可得到符合要求的表达式。
【解析】
设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 根据图象开口向上的要求，取二次项系数$a=2＞0$，满足开口条件；
2. 根据与$y$轴交于负半轴的要求，取常数项$c=-3＜0$，满足交点条件；
3. 一次项系数无限制，取$b=4$，代入一般式可得$y=2x^2+4x-3$。
注：只要满足$a＞0$、$c＜0$的二次函数均符合题意，答案不唯一。
【答案】
$y=2x^2+4x-3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数系数与图象的对应关系
【点评】
本题为开放性基础题，核心考查二次函数系数和图象特征的对应规律，解题时只需紧扣两个限定条件选取合适的参数即可，灵活度较高但难度较低。
【难度系数】
0.9
5.若关于$x$的二次函数$y=ax^2 - bx -1$的图象经过点$(2,1)$，则$23 - 2a + b =$
22
。答案
5.22
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将已知点$(2,1)$代入二次函数表达式，得到关于$a$、$b$的等式，再将所求代数式变形为能整体代入的形式，即可快速算出结果，无需分别求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - bx -1$的图象经过点$(2,1)$
∴ 将$x=2$，$y=1$代入函数解析式，得：
$1 = a× 2^2 - b× 2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，可得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形：$23 - 2a + b = 23 - (2a - b)$
将$2a - b = 1$代入上式，得：
$23 - 1 = 22$
【答案】
22
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数图象性质的理解，解题时运用整体代入的思想可有效简化计算，避免因无法求出单个参数值而无法解题的问题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将已知点$(2,1)$代入二次函数表达式，得到关于$a$、$b$的等式，再将所求代数式变形为能整体代入的形式，即可快速算出结果，无需分别求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - bx -1$的图象经过点$(2,1)$
∴ 将$x=2$，$y=1$代入函数解析式，得：
$1 = a× 2^2 - b× 2 - 1$
整理得：$4a - 2b = 2$
等式两边同时除以2，可得：$2a - b = 1$
对所求代数式变形：$23 - 2a + b = 23 - (2a - b)$
将$2a - b = 1$代入上式，得：
$23 - 1 = 22$
【答案】
22
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 代数式整体代入求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数图象性质的理解，解题时运用整体代入的思想可有效简化计算，避免因无法求出单个参数值而无法解题的问题。
【难度系数】
0.8
6.如图，抛物线$y=ax^2+bx-3$与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，$OB=OC=3OA$，则该抛物线的表达式是
$y=x^2-2x-3$
。答案
6.$y=x^2-2x-3$
解析
【分析】
首先根据抛物线与y轴交点的特征求出点C的坐标，得到OC的长度；再结合已知OB=OC=3OA的线段关系，求出OA、OB的长度，结合坐标轴上点的坐标特征得到A、B两点的坐标；最后将A、B两点坐标代入抛物线的一般式，用待定系数法求解系数a、b，即可得到抛物线表达式。
【解析】
1. 求点C坐标：
当$x=0$时，代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得$y=-3$，因此$C(0,-3)$，则$OC=3$。
2. 求A、B点坐标：
由$OB=OC=3OA$，可得$OB=3$，$3OA=3$即$OA=1$。
因为点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
3. 用待定系数法求解析式：
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad \mathrm{①} \\3a + b = 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入①，得$1 - b=3$，解得$b=-2$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的核心是先根据线段关系确定抛物线上已知点的坐标，再通过待定系数法求解系数，需要熟练掌握二次函数图像与坐标轴交点的性质。
【难度系数】
0.7
首先根据抛物线与y轴交点的特征求出点C的坐标，得到OC的长度；再结合已知OB=OC=3OA的线段关系，求出OA、OB的长度，结合坐标轴上点的坐标特征得到A、B两点的坐标；最后将A、B两点坐标代入抛物线的一般式，用待定系数法求解系数a、b，即可得到抛物线表达式。
【解析】
1. 求点C坐标：
当$x=0$时，代入抛物线解析式$y=ax^2+bx-3$，得$y=-3$，因此$C(0,-3)$，则$OC=3$。
2. 求A、B点坐标：
由$OB=OC=3OA$，可得$OB=3$，$3OA=3$即$OA=1$。
因为点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，所以$A(-1,0)$，$B(3,0)$。
3. 用待定系数法求解析式：
将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=ax^2+bx-3$，得方程组：
$\begin{cases}a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\a×3^2 + b×3 -3 = 0\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}a - b = 3 \quad \mathrm{①} \\3a + b = 1 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入①，得$1 - b=3$，解得$b=-2$。
因此抛物线的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
$y=x^2-2x-3$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，坐标与线段长度转化
【点评】
本题是二次函数的基础应用题型，解题的核心是先根据线段关系确定抛物线上已知点的坐标，再通过待定系数法求解系数，需要熟练掌握二次函数图像与坐标轴交点的性质。
【难度系数】
0.7
7.某建筑物的屋顶是横截面为抛物线形的薄壳屋顶,已知该屋顶的宽AB为4 m,屋顶的高(不包括屋顶以下的部分)CO为0.8 m。现建立如图所示的平面直角坐标系求抛物线的表达式,其中以AB所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,则该抛物线的表达式为(
A.$y=-0.2x^2 + 0.8$
B.$y=-0.2x^2 - 0.8$
C.$y=0.2x^2 + 0.8$
D.$y=-0.2x + 0.4$
A
)。A.$y=-0.2x^2 + 0.8$
B.$y=-0.2x^2 - 0.8$
C.$y=0.2x^2 + 0.8$
D.$y=-0.2x + 0.4$
答案
7.A
解析
【分析】
首先观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为C(0, 0.8)，优先选择顶点式设抛物线解析式可简化计算。先根据AB的长度求出点B的坐标，再将点B坐标代入所设解析式求出未知系数a，即可得到抛物线表达式，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：已知AB=4m，OC=0.8m，结合所建立的平面直角坐标系可得：
OB=AB÷2=2m，即点B坐标为$(2, 0)$，抛物线顶点C的坐标为$(0, 0.8)$。
∵抛物线对称轴为y轴，顶点为$(0,0.8)$，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+0.8$（$a≠0$）。
将点$B(2, 0)$代入解析式得：
$0=a×2^2 + 0.8$
$4a=-0.8$
解得$a=-0.2$
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 + 0.8$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是结合坐标系确定抛物线上关键点的坐标，选择合适的解析式形式降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
首先观察坐标系可知抛物线对称轴为y轴，顶点坐标为C(0, 0.8)，优先选择顶点式设抛物线解析式可简化计算。先根据AB的长度求出点B的坐标，再将点B坐标代入所设解析式求出未知系数a，即可得到抛物线表达式，最后对应选项判断即可。
【解析】
解：已知AB=4m，OC=0.8m，结合所建立的平面直角坐标系可得：
OB=AB÷2=2m，即点B坐标为$(2, 0)$，抛物线顶点C的坐标为$(0, 0.8)$。
∵抛物线对称轴为y轴，顶点为$(0,0.8)$，
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+0.8$（$a≠0$）。
将点$B(2, 0)$代入解析式得：
$0=a×2^2 + 0.8$
$4a=-0.8$
解得$a=-0.2$
因此抛物线的表达式为$y=-0.2x^2 + 0.8$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是结合坐标系确定抛物线上关键点的坐标，选择合适的解析式形式降低计算量，熟练掌握待定系数法是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
