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三、解答题
9.已知函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数。
(1)求$m$的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
9.已知函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数。
(1)求$m$的值；
(2)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标。
答案
9.解:(1)
∵函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数，
∴$\begin{cases} m-2≠0,\\ |m|=2, \end{cases}$
解得 $m=-2$。
(2)由(1)得 $y=-4x^2+8x-5$，
∴ $-\frac{b}{2a}= -\frac{8}{2×(-4)} = 1$，$\frac{4ac-b^2}{4a} =\frac{4×(-4)×(-5)-8^2}{4×(-4)}=-1$，
∴对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
∵函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数，
∴$\begin{cases} m-2≠0,\\ |m|=2, \end{cases}$
解得 $m=-2$。
(2)由(1)得 $y=-4x^2+8x-5$，
∴ $-\frac{b}{2a}= -\frac{8}{2×(-4)} = 1$，$\frac{4ac-b^2}{4a} =\frac{4×(-4)×(-5)-8^2}{4×(-4)}=-1$，
∴对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
解析
【分析】
(1) 求解m的值需结合二次函数的定义推导：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到m的取值。
(2) 求出m后代入原函数得到二次函数的一般式，求对称轴和顶点坐标可直接用一般式对应的公式计算：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入对应系数计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数，
∴$\begin{cases} m-2≠0,\\ |m|=2, \end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，解得 $m=-2$。
(2) 由(1)得 $y=-4x^2+8x-5$，其中$a=-4$，$b=8$，$c=-5$，
∴ $-\frac{b}{2a}= -\frac{8}{2×(-4)} = 1$，$\frac{4ac-b^2}{4a} =\frac{4×(-4)×(-5)-8^2}{4×(-4)}=-1$，
∴对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题关键是牢记二次函数的定义要求，熟练掌握对称轴、顶点坐标的计算方法，整体解题逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.8
(1) 求解m的值需结合二次函数的定义推导：二次函数需要满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此列出关于m的方程和不等式，联立求解即可得到m的取值。
(2) 求出m后代入原函数得到二次函数的一般式，求对称轴和顶点坐标可直接用一般式对应的公式计算：对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入对应系数计算即可得到结果。
【解析】
(1)
∵函数$y=(m-2)x^{|m|}+8x-5$是二次函数，
∴$\begin{cases} m-2≠0,\\ |m|=2, \end{cases}$
由$|m|=2$得$m=2$或$m=-2$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，解得 $m=-2$。
(2) 由(1)得 $y=-4x^2+8x-5$，其中$a=-4$，$b=8$，$c=-5$，
∴ $-\frac{b}{2a}= -\frac{8}{2×(-4)} = 1$，$\frac{4ac-b^2}{4a} =\frac{4×(-4)×(-5)-8^2}{4×(-4)}=-1$，
∴对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
【答案】
(1) $m=-2$；
(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，解题关键是牢记二次函数的定义要求，熟练掌握对称轴、顶点坐标的计算方法，整体解题逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.8
10.如图,点$A(-1,0),B(2,-3)$都在二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象上。
(1)求$a,b$的值；
(2)若二次函数的图象经过点$(-2,y_1)$,$(0,y_2)$,$(\dfrac{5}{2},y_3)$,比较$y_1,y_2,y_3$的大小,并简述理由。
(1)求$a,b$的值；
(2)若二次函数的图象经过点$(-2,y_1)$,$(0,y_2)$,$(\dfrac{5}{2},y_3)$,比较$y_1,y_2,y_3$的大小,并简述理由。
答案
10.解:(1)
∵点$A(-1,0),B(2,-3)$都在二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象上，
∴$\begin{cases} a-b-3=0,\\4a+2b-3=-3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2。 \end{cases}$
(2)$y_2＜y_3＜y_1$。理由：
∵$a=1,b=-2$，
∴$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$。
∴其图象的对称轴为直线 $x=1$。
∵$a=1＞0$，
∴当$x＞1$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大。
∵$(-2,y_1)$关于对称轴对称的点为$(4,y_1)$，$(0,y_2)$关于对称轴对称的点为$(2,y_2)$，$2＜\frac{5}{2}＜4$，
∴$y_2＜y_3＜y_1$。
∵点$A(-1,0),B(2,-3)$都在二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象上，
∴$\begin{cases} a-b-3=0,\\4a+2b-3=-3, \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=1,\\ b=-2。 \end{cases}$
(2)$y_2＜y_3＜y_1$。理由：
∵$a=1,b=-2$，
∴$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4$。
∴其图象的对称轴为直线 $x=1$。
∵$a=1＞0$，
∴当$x＞1$时，$y$的值随着$x$值的增大而增大。
∵$(-2,y_1)$关于对称轴对称的点为$(4,y_1)$，$(0,y_2)$关于对称轴对称的点为$(2,y_2)$，$2＜\frac{5}{2}＜4$，
∴$y_2＜y_3＜y_1$。
解析
【分析】
(1) 要求a、b的值，已知二次函数图象经过A、B两点，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A、B两点的坐标分别代入$y=ax^2+bx-3$，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
(2) 要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，首先根据(1)的结果得到二次函数的完整解析式，将其化为顶点式可直接得到对称轴，由$a＞0$可知抛物线开口向上，此时可将三个点转化到对称轴的同侧，利用开口向上时对称轴右侧y随x的增大而增大的性质，比较对应横坐标的大小即可判断函数值的大小。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,0),B(2,-3)$都在二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象上，
∴将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\ a×2^2 + b×2 -3 = -3 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} a-b-3=0\\4a+2b-3=-3 \end{cases}$
将第一个方程变形为$a=b+3$，代入第二个方程得：
$4(b+3)+2b=0$，解得$b=-2$，
再代入$a=b+3$得$a=1$，
即$\begin{cases} a=1\\ b=-2 \end{cases}$。
(2) $y_2＜y_3＜y_1$，理由如下：
由(1)得二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$，
化为顶点式得$y=(x-1)^2-4$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＞1$时，y的值随着x值的增大而增大。
点$(-2,y_1)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(4,y_1)$，点$(0,y_2)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,y_2)$，
∵$2＜\frac{5}{2}＜4$，
∴对应函数值满足$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=-2$；
(2) $y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数参数
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查待定系数法的应用，核心是利用函数图象上点的坐标满足解析式建立方程；第二问考查二次函数对称性和增减性的结合应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要求a、b的值，已知二次函数图象经过A、B两点，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A、B两点的坐标分别代入$y=ax^2+bx-3$，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组就能求出a、b的值。
(2) 要比较$y_1,y_2,y_3$的大小，首先根据(1)的结果得到二次函数的完整解析式，将其化为顶点式可直接得到对称轴，由$a＞0$可知抛物线开口向上，此时可将三个点转化到对称轴的同侧，利用开口向上时对称轴右侧y随x的增大而增大的性质，比较对应横坐标的大小即可判断函数值的大小。
【解析】
(1)
∵点$A(-1,0),B(2,-3)$都在二次函数$y=ax^2+bx-3$的图象上，
∴将两点坐标代入解析式可得：
$\begin{cases} a×(-1)^2 + b×(-1) -3 = 0 \\ a×2^2 + b×2 -3 = -3 \end{cases}$
整理得$\begin{cases} a-b-3=0\\4a+2b-3=-3 \end{cases}$
将第一个方程变形为$a=b+3$，代入第二个方程得：
$4(b+3)+2b=0$，解得$b=-2$，
再代入$a=b+3$得$a=1$，
即$\begin{cases} a=1\\ b=-2 \end{cases}$。
(2) $y_2＜y_3＜y_1$，理由如下：
由(1)得二次函数解析式为$y=x^2-2x-3$，
化为顶点式得$y=(x-1)^2-4$，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，当$x＞1$时，y的值随着x值的增大而增大。
点$(-2,y_1)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(4,y_1)$，点$(0,y_2)$关于对称轴$x=1$的对称点为$(2,y_2)$，
∵$2＜\frac{5}{2}＜4$，
∴对应函数值满足$y_2＜y_3＜y_1$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=-2$；
(2) $y_2＜y_3＜y_1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数参数
2. 二次函数的对称性
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，第一问考查待定系数法的应用，核心是利用函数图象上点的坐标满足解析式建立方程；第二问考查二次函数对称性和增减性的结合应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解决本题的关键。
【难度系数】
0.7
11.设二次函数$y_1,y_2$的图象的顶点坐标分别为$(a,b),(c,d)$,若$a=-2c,b=-2d$,且开口方向相同,则称$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”。
(1)请写出二次函数$y_2=x^2 - x + 1$的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于$x$的二次函数$y_1=x^2 + nx$和二次函数$y_2=2x^2 - nx + 1$,若函数$y_1$恰是$y_2$的“反倍顶二次函数”,求$n$的值。
(1)请写出二次函数$y_2=x^2 - x + 1$的“反倍顶二次函数”；
(2)已知关于$x$的二次函数$y_1=x^2 + nx$和二次函数$y_2=2x^2 - nx + 1$,若函数$y_1$恰是$y_2$的“反倍顶二次函数”,求$n$的值。
答案
11.解:(1)
∵$y_2=x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，
∴$y_2$的顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
∴$y_2$的“反倍顶二次函数”$y_1$的顶点坐标为$(-1,-\frac{3}{2})$。
∴$y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$。
(2)
∵$y_1=x^2+nx=(x+\frac{n}{2})^2-\frac{n^2}{4}$，$y_2=2x^2-nx+1=2(x-\frac{n}{4})^2-\frac{n^2-8}{8}$，且$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”，
∴$-\frac{n^2}{4}=2×\frac{n^2-8}{8}$，解得 $n=\pm2$。
∵$y_2=x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，
∴$y_2$的顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
∴$y_2$的“反倍顶二次函数”$y_1$的顶点坐标为$(-1,-\frac{3}{2})$。
∴$y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$。
(2)
∵$y_1=x^2+nx=(x+\frac{n}{2})^2-\frac{n^2}{4}$，$y_2=2x^2-nx+1=2(x-\frac{n}{4})^2-\frac{n^2-8}{8}$，且$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”，
∴$-\frac{n^2}{4}=2×\frac{n^2-8}{8}$，解得 $n=\pm2$。
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解“反倍顶二次函数”的定义：两个二次函数开口方向相同，且其中一个的顶点横、纵坐标分别是另一个顶点横、纵坐标的-2倍。
(1) 第一问先将$y_2$的一般式通过配方法转化为顶点式，求出它的顶点坐标，再根据定义计算出$y_1$的顶点坐标，结合开口方向相同（二次项系数与$y_2$一致），即可写出$y_1$的表达式。
(2) 第二问先分别将$y_1$和$y_2$的一般式配方为顶点式，得到两个函数的顶点坐标，再根据“反倍顶二次函数”的顶点坐标关系列方程，求解即可得到$n$的值。
【解析】
(1) 对$y_2$配方得：
$y_2=x^2 - x + 1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，
因此$y_2$的顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
根据“反倍顶二次函数”的定义，$y_1$的顶点坐标为$(-2×\frac{1}{2},-2×\frac{3}{4})$，即$(-1,-\frac{3}{2})$。
由于两个函数开口方向相同，$y_1$的二次项系数与$y_2$一致为1，因此$y_1$的表达式为：
$y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$。
(2) 分别对$y_1$、$y_2$配方求顶点：
$y_1=x^2 + nx=(x+\frac{n}{2})^2-\frac{n^2}{4}$，顶点坐标为$(-\frac{n}{2}, -\frac{n^2}{4})$；
$y_2=2x^2 - nx + 1=2(x-\frac{n}{4})^2-\frac{n^2-8}{8}$，顶点坐标为$(\frac{n}{4}, -\frac{n^2-8}{8})$。
因为$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”，横坐标满足$-\frac{n}{2}=-2×\frac{n}{4}$恒成立，只需满足纵坐标的关系$b=-2d$，列方程得：
$-\frac{n^2}{4}=2×\frac{n^2-8}{8}$，
化简得$-n^2=n^2-8$，解得$n^2=4$，即$n=\pm2$。
【答案】
(1) $y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$
(2) $n=\pm2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 配方法
3. 新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的图象与性质，解题核心是准确理解新定义的内涵，熟练掌握用配方法将二次函数一般式转化为顶点式的方法，再根据定义建立等量关系求解，侧重对基础知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解“反倍顶二次函数”的定义：两个二次函数开口方向相同，且其中一个的顶点横、纵坐标分别是另一个顶点横、纵坐标的-2倍。
(1) 第一问先将$y_2$的一般式通过配方法转化为顶点式，求出它的顶点坐标，再根据定义计算出$y_1$的顶点坐标，结合开口方向相同（二次项系数与$y_2$一致），即可写出$y_1$的表达式。
(2) 第二问先分别将$y_1$和$y_2$的一般式配方为顶点式，得到两个函数的顶点坐标，再根据“反倍顶二次函数”的顶点坐标关系列方程，求解即可得到$n$的值。
【解析】
(1) 对$y_2$配方得：
$y_2=x^2 - x + 1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$，
因此$y_2$的顶点坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{4})$。
根据“反倍顶二次函数”的定义，$y_1$的顶点坐标为$(-2×\frac{1}{2},-2×\frac{3}{4})$，即$(-1,-\frac{3}{2})$。
由于两个函数开口方向相同，$y_1$的二次项系数与$y_2$一致为1，因此$y_1$的表达式为：
$y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$。
(2) 分别对$y_1$、$y_2$配方求顶点：
$y_1=x^2 + nx=(x+\frac{n}{2})^2-\frac{n^2}{4}$，顶点坐标为$(-\frac{n}{2}, -\frac{n^2}{4})$；
$y_2=2x^2 - nx + 1=2(x-\frac{n}{4})^2-\frac{n^2-8}{8}$，顶点坐标为$(\frac{n}{4}, -\frac{n^2-8}{8})$。
因为$y_1$是$y_2$的“反倍顶二次函数”，横坐标满足$-\frac{n}{2}=-2×\frac{n}{4}$恒成立，只需满足纵坐标的关系$b=-2d$，列方程得：
$-\frac{n^2}{4}=2×\frac{n^2-8}{8}$，
化简得$-n^2=n^2-8$，解得$n^2=4$，即$n=\pm2$。
【答案】
(1) $y_1=(x+1)^2-\frac{3}{2}$
(2) $n=\pm2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 配方法
3. 新定义运算
【点评】
本题结合新定义考查二次函数的图象与性质，解题核心是准确理解新定义的内涵，熟练掌握用配方法将二次函数一般式转化为顶点式的方法，再根据定义建立等量关系求解，侧重对基础知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
12.如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。
答案
12.解:建立平面直角坐标系如图所示，
则抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015)$，
$A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+0.0015$，
将$A(0.85,0.18)$的坐标代入$y=ax^2+0.0015$，得$0.18=0.85^2a+0.0015$。
解得$a=\frac{21}{85}$。
∴该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用抛物线轴对称的特点建立合适的平面直角坐标系简化计算：选择主缆的对称轴为y轴，桥面所在直线为x轴，两轴交点为原点建立坐标系，此时抛物线顶点在y轴上，可直接设顶点式解析式。接下来确定抛物线顶点坐标：主缆最低处距离桥面0.0015km，可得顶点坐标为$(0,0.0015)$；再确定抛物线上另一个已知点：主跨长1.7km，因此主塔顶部的横坐标为1.7的一半即0.85，主塔顶部距离桥面的高度为总塔高减去桥面到海平面的高度，即$0.27-0.09=0.18$km，得到点$A(0.85,0.18)$。最后将点A代入顶点式求解参数a，即可得到抛物线表达式。
【解析】
建立平面直角坐标系如图所示，
由题意得，抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015)$，
主塔顶部点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为顶点式$y=ax^2+0.0015$，
将$A(0.85,0.18)$的坐标代入表达式，得：
$0.18=0.85^2a+0.0015$
解得$a=\frac{21}{85}$。
因此该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$。
【答案】
建立平面直角坐标系如图所示，
则抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015)$，
$A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+0.0015$，
将$A(0.85,0.18)$的坐标代入$y=ax^2+0.0015$，得$0.18=0.85^2a+0.0015$。
解得$a=\frac{21}{85}$。
∴该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$。
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；抛物线的性质
【点评】
本题结合实际生活中的悬索桥场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是选择合适的平面直角坐标系降低计算难度，解题过程中需要准确结合实际长度对应关系确定点的坐标，再用待定系数法求解即可，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用抛物线轴对称的特点建立合适的平面直角坐标系简化计算：选择主缆的对称轴为y轴，桥面所在直线为x轴，两轴交点为原点建立坐标系，此时抛物线顶点在y轴上，可直接设顶点式解析式。接下来确定抛物线顶点坐标：主缆最低处距离桥面0.0015km，可得顶点坐标为$(0,0.0015)$；再确定抛物线上另一个已知点：主跨长1.7km，因此主塔顶部的横坐标为1.7的一半即0.85，主塔顶部距离桥面的高度为总塔高减去桥面到海平面的高度，即$0.27-0.09=0.18$km，得到点$A(0.85,0.18)$。最后将点A代入顶点式求解参数a，即可得到抛物线表达式。
【解析】
建立平面直角坐标系如图所示，
由题意得，抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015)$，
主塔顶部点A的横坐标为$\frac{1.7}{2}=0.85$，纵坐标为$0.27-0.09=0.18$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为顶点式$y=ax^2+0.0015$，
将$A(0.85,0.18)$的坐标代入表达式，得：
$0.18=0.85^2a+0.0015$
解得$a=\frac{21}{85}$。
因此该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$。
【答案】
建立平面直角坐标系如图所示，
则抛物线的顶点坐标为$(0,0.0015)$，
$A(\frac{1.7}{2},0.27-0.09)$，即$A(0.85,0.18)$。
设该抛物线的表达式为$y=ax^2+0.0015$，
将$A(0.85,0.18)$的坐标代入$y=ax^2+0.0015$，得$0.18=0.85^2a+0.0015$。
解得$a=\frac{21}{85}$。
∴该抛物线的表达式为$y=\frac{21}{85}x^2+0.0015$。
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求解析式；抛物线的性质
【点评】
本题结合实际生活中的悬索桥场景考查二次函数的实际应用，解题的核心是选择合适的平面直角坐标系降低计算难度，解题过程中需要准确结合实际长度对应关系确定点的坐标，再用待定系数法求解即可，属于二次函数应用的基础题型。
【难度系数】
0.7
