登录
角的内部到角两边距离相等的点在上。
答案
角的平分线
解析
【分析】
本题考查角平分线的判定定理，解题时可先回忆角平分线的性质与判定的关联：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，本题是性质的逆应用，也就是角平分线的判定。也可以通过全等三角形的推导验证结论：在角内部取满足条件的点，将该点与角顶点连接，通过HL证明两个直角三角形全等，即可推出连线是角的平分线，进而得到该点的位置。
【解析】
我们可以通过全等推理验证结论：
设∠AOB内部有一点P，过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，连接OP。
在Rt△OPD和Rt△OPE中：
$\{\begin{array}{l}PD=PE\\ OP=OP\end{array} $
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB
∴点P在∠AOB的平分线上
因此角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【答案】
角的平分线
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应角平分线判定定理的内容，只要准确识记定理、能区分角平分线的性质和判定即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的判定定理，解题时可先回忆角平分线的性质与判定的关联：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边的距离相等”，本题是性质的逆应用，也就是角平分线的判定。也可以通过全等三角形的推导验证结论：在角内部取满足条件的点，将该点与角顶点连接，通过HL证明两个直角三角形全等，即可推出连线是角的平分线，进而得到该点的位置。
【解析】
我们可以通过全等推理验证结论：
设∠AOB内部有一点P，过P作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，连接OP。
在Rt△OPD和Rt△OPE中：
$\{\begin{array}{l}PD=PE\\ OP=OP\end{array} $
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB
∴点P在∠AOB的平分线上
因此角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【答案】
角的平分线
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接对应角平分线判定定理的内容，只要准确识记定理、能区分角平分线的性质和判定即可快速作答。
【难度系数】
0.9
例1 如图，为了促进当地旅游业发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修建在（
A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三条高线的交点处
D.以上均不正确
B
）。A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三条高线的交点处
D.以上均不正确
答案
B
解析
【分析】首先明确题目的核心要求：度假村到三条公路（也就是△ABC的三条边）的距离相等。解题时先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，若要同时到三角形三边的距离都相等，那么这个点需要同时在三个内角的角平分线上，也就是三角形三条角平分线的交点，再逐一排除不符合性质的选项即可。
【解析】我们依次分析每个选项对应的交点性质：
1. 选项A：△ABC三条中线的交点是三角形的重心，重心的特征是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不具备到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线交于同一点，该点到三角形的三边距离都相等，完全符合题干要求；
3. 选项C：△ABC三条高线的交点是三角形的垂心，仅和三边的垂直关系相关，不满足到三边距离相等的要求，不符合。
综上，应该选择B选项。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】本题属于几何性质的实际应用类基础题，解题关键是准确区分三角形中线、角平分线、高线对应的交点的不同性质，结合题干要求匹配对应的性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】我们依次分析每个选项对应的交点性质：
1. 选项A：△ABC三条中线的交点是三角形的重心，重心的特征是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不具备到三边距离相等的性质，不符合要求；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，三角形三条角平分线交于同一点，该点到三角形的三边距离都相等，完全符合题干要求；
3. 选项C：△ABC三条高线的交点是三角形的垂心，仅和三边的垂直关系相关，不满足到三边距离相等的要求，不符合。
综上，应该选择B选项。
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；三角形特殊交点的性质
【点评】本题属于几何性质的实际应用类基础题，解题关键是准确区分三角形中线、角平分线、高线对应的交点的不同性质，结合题干要求匹配对应的性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
例2 如图，$BF ⊥ AC$于点$F$，$CE ⊥ AB$于点$E$，$BF$，$CE$相交于点$D$，且$BD = CD$。求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线。
答案
证明：$\because BF ⊥ AC, CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°$. 在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ EDB=∠ FDC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS}). \therefore DE = DF. \because DE⊥ AB, DF⊥ AC, \therefore AD$ 是$∠ BAC$的平分线.
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ EDB=∠ FDC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS}). \therefore DE = DF. \because DE⊥ AB, DF⊥ AC, \therefore AD$ 是$∠ BAC$的平分线.
解析
【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察图形，DE、DF分别在△BDE和△CDF中，已知BD=CD，由BF⊥AC、CE⊥AB可得两个直角相等，再结合对顶角相等，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：$\because BF ⊥ AC, CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°$.
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ EDB=∠ FDC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE = DF$.
又$\because DE⊥ AB, DF⊥ AC$，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线.
【答案】
AD是$∠ BAC$的平分线
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题，解题核心是先通过全等三角形得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线判定定理完成证明，是几何证明的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，只需证明点D到AB、AC的距离DE=DF即可。观察图形，DE、DF分别在△BDE和△CDF中，已知BD=CD，由BF⊥AC、CE⊥AB可得两个直角相等，再结合对顶角相等，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，最终推导出结论。
【解析】
证明：$\because BF ⊥ AC, CE ⊥ AB$，$\therefore ∠ DEB = ∠ DFC = 90°$.
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ DEB=∠ DFC,\\∠ EDB=∠ FDC,\\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF (\mathrm{AAS})$.
$\therefore DE = DF$.
又$\because DE⊥ AB, DF⊥ AC$，
$\therefore AD$是$∠ BAC$的平分线.
【答案】
AD是$∠ BAC$的平分线
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题，解题核心是先通过全等三角形得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线判定定理完成证明，是几何证明的常规基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点 P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=
60
°。答案
60
解析
【分析】
解题时先抓住“点P到∠AOB两边的距离相等”这一关键条件，回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，由此可判断OP是∠AOB的角平分线，再结合已知的∠POB的度数，利用角平分线的定义即可求出∠AOB的总度数。
【解析】
∵ 点P到∠AOB两边的距离相等，
∴ 根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，
∴ ∠AOP = ∠POB = 30°，
∴ ∠AOB = ∠AOP + ∠POB = 30° + 30° = 60°。
【答案】
60
【知识点】
角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是通过角平分线的判定确定OP的性质，熟练掌握角平分线的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先抓住“点P到∠AOB两边的距离相等”这一关键条件，回忆角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，由此可判断OP是∠AOB的角平分线，再结合已知的∠POB的度数，利用角平分线的定义即可求出∠AOB的总度数。
【解析】
∵ 点P到∠AOB两边的距离相等，
∴ 根据角平分线的判定定理，可得OP平分∠AOB，
∴ ∠AOP = ∠POB = 30°，
∴ ∠AOB = ∠AOP + ∠POB = 30° + 30° = 60°。
【答案】
60
【知识点】
角平分线的判定；角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是通过角平分线的判定确定OP的性质，熟练掌握角平分线的判定定理就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ B=100°$，点D在$△ ABC$的内部，且到三边的距离相等，则$∠ ADC$的度数是
140
°。答案
140
解析
【分析】
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断出点D是△ABC三个内角的角平分线的交点，即AD平分∠BAC、CD平分∠BCA；再利用三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC与∠BCA的和，进而求出△ADC中∠DAC与∠DCA的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数。
【解析】
∵点D在△ABC内部，且到三边的距离相等
∴AD平分∠BAC，CD平分∠BCA（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
在△ABC中，∠B=100°，根据三角形内角和为180°得：
∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠B = 180° - 100° = 80°
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCA = $\frac{1}{2}$∠BCA
∴∠DAC + ∠DCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA) = $\frac{1}{2}$×80° = 40°
在△ADC中，根据三角形内角和为180°得：
∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 40° = 140°
【答案】
140
【知识点】
角平分线的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识与三角形内角和的综合应用题，解题的突破口是根据点到三边距离相等判断出点是角平分线的交点，整体计算难度不大，属于基础巩固类题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断出点D是△ABC三个内角的角平分线的交点，即AD平分∠BAC、CD平分∠BCA；再利用三角形内角和定理先求出△ABC中∠BAC与∠BCA的和，进而求出△ADC中∠DAC与∠DCA的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠ADC的度数。
【解析】
∵点D在△ABC内部，且到三边的距离相等
∴AD平分∠BAC，CD平分∠BCA（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）
在△ABC中，∠B=100°，根据三角形内角和为180°得：
∠BAC + ∠BCA = 180° - ∠B = 180° - 100° = 80°
∴∠DAC = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCA = $\frac{1}{2}$∠BCA
∴∠DAC + ∠DCA = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠BCA) = $\frac{1}{2}$×80° = 40°
在△ADC中，根据三角形内角和为180°得：
∠ADC = 180° - (∠DAC + ∠DCA) = 180° - 40° = 140°
【答案】
140
【知识点】
角平分线的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关知识与三角形内角和的综合应用题，解题的突破口是根据点到三边距离相等判断出点是角平分线的交点，整体计算难度不大，属于基础巩固类题型，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
1. 在$△ AOB$的内部，两个完全一样的三角尺按如图所示的方式放置，连接$OP$.若$∠ POB=60°$，则$∠ AOB$的度数为(
A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
D
).A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$
答案
D
解析
【分析】
解题思路：首先观察两个完全相同的三角尺的摆放位置，可知点P到OA、OB的距离为三角尺的直角边，长度相等；再结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线，即∠AOB等于2倍的∠POB，最后代入已知∠POB的度数即可求出∠AOB的大小。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此点P到OA、OB的距离（三角尺的直角边长）相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB，即：
$∠ AOB = 2∠ POB$
已知$∠ POB=60°$，代入得：
$∠ AOB=2×60°=120°$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定、角的运算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题的核心是从三角尺的摆放特征提取出“点P到角两边距离相等”的隐含条件，进而结合角平分线的性质计算角度，是角平分线判定的典型考查题型。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先观察两个完全相同的三角尺的摆放位置，可知点P到OA、OB的距离为三角尺的直角边，长度相等；再结合角平分线的判定定理，可推出OP是∠AOB的角平分线，即∠AOB等于2倍的∠POB，最后代入已知∠POB的度数即可求出∠AOB的大小。
【解析】
由题意得，两个三角尺完全相同，因此点P到OA、OB的距离（三角尺的直角边长）相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得OP平分∠AOB，即：
$∠ AOB = 2∠ POB$
已知$∠ POB=60°$，代入得：
$∠ AOB=2×60°=120°$
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定、角的运算
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题，解题的核心是从三角尺的摆放特征提取出“点P到角两边距离相等”的隐含条件，进而结合角平分线的性质计算角度，是角平分线判定的典型考查题型。
【难度系数】
0.8
