7. 已知 P 是三角形的两条角平分线的交点，关于这个点，下列说法正确的是().

A.到三角形的三个顶点的距离相等
B.到三角形三边的距离相等
C.不一定在三角形的内部
D.与顶点的连线垂直于该顶点的对边

B

【分析】
解题时首先抓住题干核心：点P是三角形两条角平分线的交点，我们可以结合角平分线的性质逐一判断选项：第一步先回忆角平分线的基本性质，推导该交点的特征；第二步再将其余选项对应的知识点和该交点的性质做对比，排除错误选项，最终得到正确答案。
【解析】
设该三角形为△ABC，AP平分∠BAC，BP平分∠ABC，点P是两条角平分线的交点。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等：
1. 因为点P在∠BAC的角平分线上，所以点P到AB、AC两边的距离相等；
2. 因为点P在∠ABC的角平分线上，所以点P到AB、BC两边的距离相等；
由此可推出点P到AB、BC、AC三边的距离都相等，故B选项正确。
对其余选项逐一分析：
A选项：到三角形三个顶点距离相等的是三角形三边垂直平分线的交点，不是角平分线交点，说法错误；
C选项：三角形的三条角平分线都在三角形内部，因此它们的交点一定在三角形内部，说法错误；
D选项：仅等边三角形的角平分线与对边垂直，普通三角形的角平分线不垂直于该顶点的对边，说法错误。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形角平分线交点的特征
【点评】
本题主要考查角平分线性质的应用，解题时要注意区分三角形角平分线交点和三边垂直平分线交点的不同性质，熟记基础概念和性质即可快速解题，属于概念辨析类基础题。
【难度系数】
0.8

8. 如图，已知D是$△ ABC$的三条角平分线的交点，若$△ ABC$的面积为$54\ \mathrm{cm}^2$，点D到边AC的距离为$3\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的周长为().

A.$36\ \mathrm{cm}$
B.$18\ \mathrm{cm}$
C.$72\ \mathrm{cm}$
D.$60\ \mathrm{cm}$

A

【分析】
解题时先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知D是△ABC三条角平分线的交点，因此D到△ABC三边的距离都相等，都等于题目给出的D到AC的距离3cm。接下来我们可以把△ABC的面积拆分为△ABD、△BCD、△ACD三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高都是D到对应边的距离（均为3cm），底分别是△ABC的三边，代入面积公式整理后就能求出△ABC的周长。
【解析】
解：
∵D是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质，点D到AB、BC、AC三边的距离相等。
已知点D到AC的距离为3cm，
∴点D到AB、BC的距离也为3cm。
∵$S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} + S_{△ ACD}$
设△ABC的周长为$C$，即$C=AB+BC+AC$，代入面积公式得：
$\begin{aligned}S_{△ ABC}&=\frac{1}{2}× AB×3 + \frac{1}{2}× BC×3 + \frac{1}{2}× AC×3\\&=\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC)\\&=\frac{3}{2}C\end{aligned}$
已知$S_{△ ABC}=54\ \mathrm{cm}^2$，代入得：
$\frac{3}{2}C=54$
解得$C=54×\frac{2}{3}=36\ \mathrm{cm}$
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；整体代入思想
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题核心是利用角平分线交点到三边距离相等的特点，通过面积拆分将大三角形面积和三角形周长建立关联，进而求解周长，需要熟练掌握角平分线的性质并学会灵活拆分图形面积。
【难度系数】
0.7

9. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点E，点F在边AC上，$BD=FD$。
(1)求证：$BE=FC$；
(2)当$AE=4$，$AF=3$时，求BE的长。

(1)证明：$\because AD$平分$∠BAC$，$∠C=90°$，$DE⊥AB$，$\therefore DC=DE$，$∠DEB=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ EBD$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，$\begin{cases}BD=FD,\\DE=DC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt} △ EBD ≌ \mathrm{Rt} △ CFD (\mathrm{HL}).$
$\therefore BE=FC.$
(2)解：由(1)知，$∠C=∠DEA=90°$，$DC=DE$，$BE=FC$. 在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$\begin{cases}DC=DE,\\AD=AD,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL}). \therefore AC=AE.$
$\therefore BE=FC=AC-AF=AE-AF=4-3=1.$

【分析】
(1)要证明$BE=FC$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等来推导。首先根据角平分线的性质，由AD平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，可得$DC=DE$，此时$BE$、$FC$分别在$\mathrm{Rt}△ EBD$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，结合已知$BD=FD$，即可用HL判定两个直角三角形全等，进而得到$BE=FC$。
(2)要求$BE$的长，由(1)可知$BE=FC$，因此只需计算$FC$的长度即可。首先证明$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$全等，得到$AC=AE$，再结合$FC=AC-AF$，代入已知数值即可求出$BE$的长度。
【解析】
(1)证明：
$\because AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
$\therefore DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等），$∠ DEB=∠ C=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ EBD$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases}BD=FD\\DE=DC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EBD ≌ \mathrm{Rt}△ CFD (\mathrm{HL})$，
$\therefore BE=FC$。
(2)解：
在$\mathrm{Rt}△ ADC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases}DC=DE\\AD=AD\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$，
$\therefore AC=AE=4$。
由(1)知$BE=FC$，
$\therefore BE=FC=AC-AF=4-3=1$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$BE=1$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线章节的典型基础题，侧重考查角平分线性质与全等三角形判定、性质的综合应用，解题的关键是利用角平分线性质得到相等的垂线段，再通过全等三角形实现线段的等量转化，这类线段相等的证明思路需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

10. 已知$AM// BN$，$∠ BAM$和$∠ ABN$的平分线交于点$P$，过点$P$作直线$CD$分别交$BN$，$AM$于$C$，$D$两点.
（1）如图①，若$CD⊥ BN$，求证：$PC=PD$；
（2）如图②，当$CD$与$BN$不垂直，其他条件不变时，$PC=PD$还成立吗？请判断并说明理由.

(1)证明：过点$P$作$PE⊥AB$于点$E$. $\because AM// BN$，$CD⊥BN$，$\therefore ∠ADC=∠DCB=90°$. $\therefore CD⊥AM.$
$\because AP$，$BP$分别为$∠BAM$和$∠ABN$的平分线，$\therefore PD=PE$，$PC=PE$. $\therefore PC=PD.$
(2)解：成立.
理由如下：在$BA$上取一点$F$，使$BF=BC$，连接$PF$. $\because BP$平分$∠ABN$，$\therefore ∠ABP=∠CBP$. 在$△ PBF$和$△ PBC$中，$\begin{cases}BF=BC,\\∠ABP=∠CBP,\\BP=BP,\end{cases}$$\therefore △ PBF≌△ PBC(\mathrm{SAS}). \therefore PF=PC$，$∠BFP=∠BCP$. $\because AM// BN$，$\therefore ∠BCP + ∠ADP = 180°$. $\because ∠AFP + ∠BFP = 180°$，$\therefore ∠AFP = ∠ADP$. $\because AP$平分$∠BAM$，$\therefore ∠FAP = ∠DAP$. 在$△ AFP$和$△ ADP$中，$\begin{cases}∠AFP=∠ADP,\\∠FAP=∠DAP,\\AP=AP,\end{cases}$$\therefore △ AFP≌△ ADP (\mathrm{AAS}).$
$\therefore PF=PD. \therefore PC=PD.$

【分析】
（1）要证明$PC=PD$，已知$AP$、$BP$分别是两个角的平分线，且$CD$同时垂直于$AM$和$BN$，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过$P$作$PE⊥AB$于$E$，将$PD$、$PC$分别与$PE$建立等量关系，即可推导出结论。
（2）当$CD$不垂直$BN$时，无法直接使用角平分线的距离性质，可构造全等三角形证明线段相等：采用截长法，在$AB$上截取$BF=BC$，先利用SAS证明$△ PBF≌△ PBC$，得到$PC=PF$，再结合平行线的性质和角平分线的定义，用AAS证明$△ AFP≌△ ADP$，得到$PD=PF$，通过等量代换即可得$PC=PD$。
【解析】
(1)证明：过点$P$作$PE⊥AB$于点$E$.
$\because AM// BN$，$CD⊥BN$，$\therefore ∠ADC=∠DCB=90°$，即$CD⊥AM$.
$\because AP$是$∠BAM$的平分线，$PD⊥AM$，$PE⊥AB$，根据角平分线的性质可得$PD=PE$.
同理，$BP$是$∠ABN$的平分线，$PC⊥BN$，$PE⊥AB$，可得$PC=PE$.
$\therefore PC=PD$.
(2)解：$PC=PD$仍然成立，理由如下：
在$BA$上取一点$F$，使$BF=BC$，连接$PF$.
$\because BP$平分$∠ABN$，$\therefore ∠ABP=∠CBP$.
在$△ PBF$和$△ PBC$中，
$\begin{cases}BF=BC,\\∠ABP=∠CBP,\\BP=BP,\end{cases}$
$\therefore △ PBF≌△ PBC(\mathrm{SAS})$.
$\therefore PF=PC$，$∠BFP=∠BCP$.
$\because AM// BN$，$\therefore ∠BCP + ∠ADP = 180°$.
又$\because ∠AFP + ∠BFP = 180°$，
$\therefore ∠AFP = ∠ADP$.
$\because AP$平分$∠BAM$，$\therefore ∠FAP = ∠DAP$.
在$△ AFP$和$△ ADP$中，
$\begin{cases}∠AFP=∠ADP,\\∠FAP=∠DAP,\\AP=AP,\end{cases}$
$\therefore △ AFP≌△ ADP (\mathrm{AAS}).$
$\therefore PF=PD$.
$\therefore PC=PD$.
【答案】
(1) 可证得$PC=PD$；
(2) $PC=PD$仍然成立，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题围绕角平分线相关性质与全等三角形的应用展开，第一小问直接运用角平分线的距离性质即可快速求解，第二小问的核心是通过截长补短法构造全等三角形，建立所求线段的中间等量关系，考查了辅助线的构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7