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1. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$，垂足为$E$。若$BD=3$，$DE=1$，则$BC$的长为(
A.4
B.5
C.6
D.7
A
).A.4
B.5
C.6
D.7
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先提取已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，DE垂直AB，要求BC的长度。我们知道BC由BD和DC两部分组成，BD长度已知，只需求出DC的长度即可。结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC和DE长度相等，DE已知，因此可以求出DC，进而算出BC的总长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE
∵DE=1
∴DC=1
又
∵BD=3，且BC=BD+DC
∴BC=3+1=4
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是利用角平分线的性质得到相等线段，侧重对基础定理的理解和运用。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先提取已知条件：AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°即DC垂直AC，DE垂直AB，要求BC的长度。我们知道BC由BD和DC两部分组成，BD长度已知，只需求出DC的长度即可。结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC和DE长度相等，DE已知，因此可以求出DC，进而算出BC的总长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），DE⊥AB
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DC=DE
∵DE=1
∴DC=1
又
∵BD=3，且BC=BD+DC
∴BC=3+1=4
故选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质，线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是利用角平分线的性质得到相等线段，侧重对基础定理的理解和运用。
【难度系数】
0.9
2. 如图，$∠ ACB=90°$. 以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点D. 若$S_{△ ABD}=12$，$CD=2$，则AB的长为(
A.8
B.12
C.14
D.16
B
).A.8
B.12
C.14
D.16
答案
B
解析
【分析】
首先由题中的尺规作图步骤可判断AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于CD的长度2。已知△ABD的面积，结合三角形面积公式，将已知的面积、高代入，即可求出AB的长度。
【解析】
根据尺规作图的特征可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，即DC⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = 12$，
将DE=2代入得：$\frac{1}{2} × AB × 2 = 12$，
解得AB=12。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线的尺规作图识别与性质应用，解题的关键是先判断AD为角平分线，再利用角平分线的性质得到△ABD的高，结合面积公式计算即可，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
首先由题中的尺规作图步骤可判断AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点D到AB的距离等于CD的长度2。已知△ABD的面积，结合三角形面积公式，将已知的面积、高代入，即可求出AB的长度。
【解析】
根据尺规作图的特征可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，即DC⊥AC，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=2（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = 12$，
将DE=2代入得：$\frac{1}{2} × AB × 2 = 12$，
解得AB=12。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；尺规作图；三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线的尺规作图识别与性质应用，解题的关键是先判断AD为角平分线，再利用角平分线的性质得到△ABD的高，结合面积公式计算即可，侧重对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=2$，$BC=5$，$BD$平分$∠ ABC$，交$AC$于点$D$。设$△ ABD$和$△ BDC$的面积分别是$S_1$，$S_2$，则$S_1:S_2$等于（
A.$5:2$
B.$2:5$
C.$1:2$
D.$1:5$
B
）。A.$5:2$
B.$2:5$
C.$1:2$
D.$1:5$
答案
B
解析
【分析】
要求$S_1:S_2$的比值，首先观察两个三角形的位置特征：二者分别以$AB$、$BC$为底时，高分别是点$D$到$AB$、$BC$的距离。已知$BD$是$∠ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知这两个高相等，因此两个三角形的面积比就等于对应底$AB$与$BC$的长度比，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ BC$于点$F$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_2=\frac{1}{2} · BC · DF$，
$\because DE=DF$，
$\therefore S_1:S_2=AB:BC$。
又$\because AB=2$，$BC=5$，
$\therefore S_1:S_2=2:5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算过程，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要求$S_1:S_2$的比值，首先观察两个三角形的位置特征：二者分别以$AB$、$BC$为底时，高分别是点$D$到$AB$、$BC$的距离。已知$BD$是$∠ ABC$的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可知这两个高相等，因此两个三角形的面积比就等于对应底$AB$与$BC$的长度比，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ BC$于点$F$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ BC$，
$\therefore$根据角平分线的性质，得$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2} · AB · DE$，$S_2=\frac{1}{2} · BC · DF$，
$\because DE=DF$，
$\therefore S_1:S_2=AB:BC$。
又$\because AB=2$，$BC=5$，
$\therefore S_1:S_2=2:5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质，将面积比转化为对应底边长的比，简化了计算过程，是角平分线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上.若OD＝6，△POD的面积为9，则PC的长为
3
.答案
3
解析
【分析】
解题思路：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此PC的长度等于点P到OB的距离。而点P到OB的距离是△POD中OD边上的高，我们已知△POD的面积和底OD的长度，可先通过三角形面积公式求出该高，即可得到PC的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
根据三角形面积公式：$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE$，
已知$S_{△ POD}=9$，$OD=6$，代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × PE = 9$，
解得$PE=3$。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PC=PE=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线找到P到OB的距离，结合三角形面积公式即可快速求解，解题时要注意角平分线性质的使用条件。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此PC的长度等于点P到OB的距离。而点P到OB的距离是△POD中OD边上的高，我们已知△POD的面积和底OD的长度，可先通过三角形面积公式求出该高，即可得到PC的长度。
【解析】
过点P作PE⊥OB于点E。
根据三角形面积公式：$S_{△ POD}=\frac{1}{2} × OD × PE$，
已知$S_{△ POD}=9$，$OD=6$，代入得：
$\frac{1}{2} × 6 × PE = 9$，
解得$PE=3$。
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PC=PE=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线找到P到OB的距离，结合三角形面积公式即可快速求解，解题时要注意角平分线性质的使用条件。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AC平分∠BAD，CF⊥AD于点F，CE⊥AB于点E，DC=BC. 求证：△CFD≌△CEB. 
答案
证明：$\because AC$平分$∠BAD$，$CF⊥AD$，$CE⊥AB$，$\therefore CE=CF$，$∠CEB=∠CFD=90°$. 在$\mathrm{Rt}△ CFD$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$\begin{cases}CF=CE,\\DC=BC,\end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).$
解析
【分析】
要证明△CFD≌△CEB，首先观察可得△CFD和△CEB都是直角三角形，对于直角三角形的全等判定可优先考虑HL定理，只需找到一组对应相等的直角边和一组对应相等的斜边即可。已知AC平分∠BAD，且CF⊥AD、CE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出CF=CE，得到一组相等的直角边；题目给出DC=BC，恰好是两个直角三角形的斜边，满足HL定理的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AC$平分$∠BAD$，$CF⊥AD$，$CE⊥AB$，
$\therefore CE=CF$，$∠CEB=∠CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ CFD$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}CF=CE,\\DC=BC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).$
【答案】
$△ CFD ≌ △ CEB$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角平分线性质的应用和直角三角形全等的判定方法，解题的关键是结合角平分线的性质得到相等的直角边，再结合已知的斜边相等条件，选用HL定理完成全等证明，需要熟练掌握相关定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
要证明△CFD≌△CEB，首先观察可得△CFD和△CEB都是直角三角形，对于直角三角形的全等判定可优先考虑HL定理，只需找到一组对应相等的直角边和一组对应相等的斜边即可。已知AC平分∠BAD，且CF⊥AD、CE⊥AB，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出CF=CE，得到一组相等的直角边；题目给出DC=BC，恰好是两个直角三角形的斜边，满足HL定理的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：$\because AC$平分$∠BAD$，$CF⊥AD$，$CE⊥AB$，
$\therefore CE=CF$，$∠CEB=∠CFD=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ CFD$和$\mathrm{Rt}△ CEB$中，
$\begin{cases}CF=CE,\\DC=BC,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CFD≌\mathrm{Rt}△ CEB(\mathrm{HL}).$
【答案】
$△ CFD ≌ △ CEB$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查角平分线性质的应用和直角三角形全等的判定方法，解题的关键是结合角平分线的性质得到相等的直角边，再结合已知的斜边相等条件，选用HL定理完成全等证明，需要熟练掌握相关定理的适用场景。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若$CD=3$，$AB+BC=16$，求$△ ABC$的面积.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)若$CD=3$，$AB+BC=16$，求$△ ABC$的面积.
答案
(1)略
(2)解：作$DH⊥AB$于点H. $\because BD$平分$∠ABC$，$∠C=90°$，$DH⊥AB$，$\therefore DH=CD=3$.
$\therefore △ ABC$的面积$=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· DH+\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}×3AB+\frac{1}{2}×3BC=\frac{1}{2}×3(AB+BC)=\frac{1}{2}×3×16=24.$
(2)解：作$DH⊥AB$于点H. $\because BD$平分$∠ABC$，$∠C=90°$，$DH⊥AB$，$\therefore DH=CD=3$.
$\therefore △ ABC$的面积$=S_{△ ABD}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}AB· DH+\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}×3AB+\frac{1}{2}×3BC=\frac{1}{2}×3(AB+BC)=\frac{1}{2}×3×16=24.$
解析
【分析】
(1) 第一问是尺规作角的平分线，按照角平分线的尺规作图步骤操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求解△ABC的面积，已知AB+BC的和，无需分别求出AB、BC的长度。首先结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AB的垂线DH，可得DH=CD=3；再将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个三角形的高分别为DH和CD，均为3，底分别为AB和BC，代入面积公式后提取公因式，将AB+BC=16整体代入即可算出结果。
【解析】
(1) 作图略，按尺规作角平分线的方法作出BD，保留作图痕迹即可。
(2) 过点D作$DH⊥AB$于点H。
$\because BD$平分$∠ABC$，$∠C=90°$，$DH⊥AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质可得$DH=CD=3$。
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{△ABD}+S_{△BCD}\\&=\frac{1}{2}AB·DH+\frac{1}{2}BC·CD\\&=\frac{1}{2}×3×AB+\frac{1}{2}×3×BC\\&=\frac{1}{2}×3×(AB+BC)\end{aligned}$
将$AB+BC=16$代入上式，得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×16=24$
【答案】
(1) 略；(2) $\boxed{24}$
【知识点】
角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线相关知识的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到相等的高，再通过拆分三角形面积，将已知条件整体代入计算，省去了单独求解边长的步骤，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是尺规作角的平分线，按照角平分线的尺规作图步骤操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问求解△ABC的面积，已知AB+BC的和，无需分别求出AB、BC的长度。首先结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过D作AB的垂线DH，可得DH=CD=3；再将△ABC的面积拆分为△ABD和△BCD的面积之和，两个三角形的高分别为DH和CD，均为3，底分别为AB和BC，代入面积公式后提取公因式，将AB+BC=16整体代入即可算出结果。
【解析】
(1) 作图略，按尺规作角平分线的方法作出BD，保留作图痕迹即可。
(2) 过点D作$DH⊥AB$于点H。
$\because BD$平分$∠ABC$，$∠C=90°$，$DH⊥AB$，
$\therefore$ 根据角平分线的性质可得$DH=CD=3$。
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{△ABD}+S_{△BCD}\\&=\frac{1}{2}AB·DH+\frac{1}{2}BC·CD\\&=\frac{1}{2}×3×AB+\frac{1}{2}×3×BC\\&=\frac{1}{2}×3×(AB+BC)\end{aligned}$
将$AB+BC=16$代入上式，得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×16=24$
【答案】
(1) 略；(2) $\boxed{24}$
【知识点】
角平分线作图，角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题考查角平分线相关知识的应用，解题的关键是利用角平分线的性质得到相等的高，再通过拆分三角形面积，将已知条件整体代入计算，省去了单独求解边长的步骤，简化了运算过程。
【难度系数】
0.7
