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1. 在△ABC中,若AB= 2,AC= 4,且BC的长为整数,则△ABC的周长可能是 ( )
A.8
B.11
C.12
D.15
A.8
B.11
C.12
D.15
答案
B
解析
在△ABC中，AB=2，AC=4。
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB，即 4 - 2 ＜ BC ＜ 4 + 2，2 ＜ BC ＜ 6。
因为BC的长为整数，所以BC可能为3、4、5。
当BC=3时，周长为2 + 4 + 3=9；
当BC=4时，周长为2 + 4 + 4=10；
当BC=5时，周长为2 + 4 + 5=11。
所以△ABC的周长可能是9、10、11。
选项中符合的是11。
B
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
AC - AB ＜ BC ＜ AC + AB，即 4 - 2 ＜ BC ＜ 4 + 2，2 ＜ BC ＜ 6。
因为BC的长为整数，所以BC可能为3、4、5。
当BC=3时，周长为2 + 4 + 3=9；
当BC=4时，周长为2 + 4 + 4=10；
当BC=5时，周长为2 + 4 + 5=11。
所以△ABC的周长可能是9、10、11。
选项中符合的是11。
B
2. 如图,点D,E分别在△ABC的边上,连接AD,CE,DE,且AD,CE交于点F. 若∠ACE= ∠ACB,BC= 2BD,则下列说法错误的是 ( )
A.AD是△ABC的中线
B.S△BDE= S△CDE
C.CE是△ADC的角平分线
D.∠ACB= 2∠DCF
A.AD是△ABC的中线
B.S△BDE= S△CDE
C.CE是△ADC的角平分线
D.∠ACB= 2∠DCF
答案
C
解析
∵BC=2BD，
∴BD=DC，AD是△ABC的中线，A正确；
∵BD=DC，△BDE与△CDE同高，
∴S△BDE=S△CDE，B正确；
∵∠ACE=∠ACB，∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠ACE=∠ACD+∠DCF，
∴∠DCB=∠DCF，无法得出∠ACE=∠DCE，CE不是△ADC的角平分线，C错误；
∵∠ACE=∠ACB，∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠ACE=∠ACD+∠DCF，且∠DCB=∠DCF，
∴∠ACB=2∠DCF，D正确。
答案：C
3. 如图,△ABC≌△DEF. 若∠A= 40°,∠CED= 35°,则∠FEC的度数为 ( )
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
A.25°
B.30°
C.35°
D.40°
答案
B
4. (教材P43例1变式)如图,在△ABC中,AB= AC,D为BC上一点,且DA= DC,BD= BA,则∠B的度数为 ( )
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
答案
B
解析
设∠B的度数为$x$。
∵$AB = AC$，
∴∠C = ∠B = $x$。
∵$DA = DC$，
∴∠DAC = ∠C = $x$，∠ADB = ∠DAC + ∠C = $2x$。
∵$BD = BA$，
∴∠BAD = ∠ADB = $2x$。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = $180^\circ$，
即∠BAD + ∠DAC + ∠B + ∠C = $2x + x + x + x = 5x = 180^\circ$，
解得$x = 36^\circ$。
B
∵$AB = AC$，
∴∠C = ∠B = $x$。
∵$DA = DC$，
∴∠DAC = ∠C = $x$，∠ADB = ∠DAC + ∠C = $2x$。
∵$BD = BA$，
∴∠BAD = ∠ADB = $2x$。
在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = $180^\circ$，
即∠BAD + ∠DAC + ∠B + ∠C = $2x + x + x + x = 5x = 180^\circ$，
解得$x = 36^\circ$。
B
5. 如图,在锐角三角形ABC中,AB= AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC. 若∠EBC= 45°,BC= 6,则△EBC的面积为 ( )
A.6
B.9
C.12
D.18
A.6
B.9
C.12
D.18
答案
B
解析
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=3。
设DE=h，
∵∠EBC=45°，∠EDB=90°，
∴△EDB是等腰直角三角形，
∴DE=BD=3，即h=3。
△EBC的面积为$\frac{1}{2}$×BC×DE=$\frac{1}{2}$×6×3=9。
B
6. (教材P50习题第6题变式)如图,点A,B,C在同一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM. 有下列结论：① △ABE≌△DBC；② ∠DMA= 60°；③ △BPQ为等边三角形；④ MB平分∠AMC. 其中,正确的有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
D
解析
①
∵△ABD,△BCE为等边三角形，
∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°，∠ABE=∠DBC，△ABE≌△DBC(SAS)；
②由①得∠BAE=∠BDC，∠DMA=∠BAE+∠ADC=∠BDC+∠ADC=∠ADB=60°；
③∠ABD=∠CBE=60°，∠PBE=∠QBC=60°，由①得∠BAP=∠BDQ，AB=DB，△ABP≌△DBQ(ASA)，BP=BQ，△BPQ为等边三角形；
④过B作BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，△ABE≌△DBC，AE=CD，S△ABE=S△DBC，BF=BG，MB平分∠AMC；
正确的有①②③④，共4个。
D
∵△ABD,△BCE为等边三角形，
∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°，∠ABE=∠DBC，△ABE≌△DBC(SAS)；
②由①得∠BAE=∠BDC，∠DMA=∠BAE+∠ADC=∠BDC+∠ADC=∠ADB=60°；
③∠ABD=∠CBE=60°，∠PBE=∠QBC=60°，由①得∠BAP=∠BDQ，AB=DB，△ABP≌△DBQ(ASA)，BP=BQ，△BPQ为等边三角形；
④过B作BF⊥AE于F，BG⊥CD于G，△ABE≌△DBC，AE=CD，S△ABE=S△DBC，BF=BG，MB平分∠AMC；
正确的有①②③④，共4个。
D
7. (新考法·条件开放题)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,AB//ED,AC//FD,要使△ABC≌△DEF,只需添加一个条件,则这个条件可以是______.
答案
答案不唯一，如AB=DE
8. (2023·威海)如图,在正方形ABCD中,分别以点A,B为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接DE,则∠CDE的度数为______.
答案
15°
解析
连接AE，BE。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠ADC=∠BCD=90°，∠DAB=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AE=AB=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=CD，∠ADC=∠BCD=90°，∠DAB=90°。
∵分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，
∴AE=AB，BE=AB，
∴AE=BE=AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB=60°。
∵∠DAB=90°，
∴∠DAE=∠DAB - ∠EAB=90° - 60°=30°。
∵AE=AB=AD，
∴△ADE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=(180° - ∠DAE)/2=(180° - 30°)/2=75°。
∵∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADC - ∠ADE=90° - 75°=15°。
15°
9. (整体思想)在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F. 若∠BAC= 115°,则∠EAF的度数为______.
答案
50°
解析
∵在△ABC中，∠BAC=115°，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-115°=65°.
∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，
∴∠EAB+∠FAC=∠B+∠C=65°，
∴∠EAF=∠BAC-(∠EAB+∠FAC)=115°-65°=50°.
50°
