10. 如图,在△ABC中,∠A= 40°,∠B= ∠C,BP= CE,BD= CP,则∠DPE的度数为______.

70°

在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C，
∴∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°.
在△DBP和△PCE中，
BP=CE，∠B=∠C，BD=CP，
∴△DBP≌△PCE(SAS).
∴∠BDP=∠CPE.
∵∠DPC=∠B+∠BDP=∠DPE+∠CPE，
∴∠DPE=∠B=70°.
70°

11. (分类讨论思想)(2024·宿城段考)如图,CA⊥AB,垂足为A,AB= 12 cm,AC= 6 cm,射线BM⊥AB,垂足为B,一动点E从点A出发以2 cm/s的速度沿射线AN运动,D为射线BM上一动点,随着点E的运动而运动,且始终保持ED= CB,当点E经过______s时,△DEB与△BCA全等.

0或3或9或12

∵CA⊥AB，BM⊥AB，
∴∠CAB=∠EBD=90°，
∵AB=12cm，AC=6cm，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$cm，
设点E运动的时间为t s，则AE=2t cm，
当点E在点A左侧时，BE=AB+AE=12+2t cm，
当点E在A、B之间时，BE=AB-AE=12-2t cm，
当点E在点B右侧时，BE=AE-AB=2t-12 cm，
情况一：当△DEB≌△BCA时，
则BE=AC=6cm，BD=AB=12cm，
当点E在A、B之间时，12-2t=6，解得t=3，
当点E在点B右侧时，2t-12=6，解得t=9；
情况二：当△DEB≌△CBA时，
则BE=AB=12cm，BD=AC=6cm，
当点E与点A重合时，BE=AB=12cm，此时t=0，
当点E在点B右侧时，2t-12=12，解得t=12；
综上，t=0或3或9或12.

12. 如图,在四边形ABCD中,∠A= 90°,AD= 4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB= ∠C. 若P是边BC上一动点,则DP长的最小值为______.

4

在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=4，BD⊥CD，∠ADB=∠C。
因为∠A=90°，BD⊥CD，所以∠A=∠BDC=90°。
又因为∠ADB=∠C，所以△ABD∽△DBC。
所以∠ABD=∠DBC，即BD平分∠ABC。
因为P是边BC上一动点，根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP长最小。
又因为BD平分∠ABC，∠A=90°，DP⊥BC，所以DP=AD=4。
故DP长的最小值为4。

13. 如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= BC,AD是△ABC的角平分线,过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E. 若BE= 5,则AD的长为______.

10 解析:延长BE,AC交于点F.
∵ AD是△ABC的角平分线,
∴ ∠BAE=∠FAE.
∵ BE⊥AD,
∴ ∠AEB=∠AEF=90°.在△ABE和△AFE中,∠BAE=∠FAE,AE=AE,∠AEB=∠AEF,
∴ △ABE≌△AFE(ASA),
∴ BE=FE=5.
∵ ∠AEF=90°,
∴ ∠CAD+∠F=90°.
∵ ∠ACD=90°,
∴ ∠CBF+∠F=90°,
∴ ∠CAD=∠CBF.在△ACD和△BCF中,∠ACD=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAD=∠CBF,
∴ △ACD≌△BCF（ASA）,
∴ AD=BF=BE+FE=10.

14. 如图,点B,C在∠SAF的两边上,且AB= AC.
(1)请按要求用直尺和圆规作图：作AN⊥BC,垂足为N,∠SBC的平分线交AN的延长线于点M,连接CM(不写作法,保留作图痕迹)；
(2)作图后,该图中有______对全等三角形.

（1）作法不唯一,如图所示（2）3 解析:全等三角形为△ABN≌△ACN,△ABM≌△ACM,△BMN≌△CMN.

（1）如图所示（保留作图痕迹）：
（2）3

15. (2024·宜宾改编)如图,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE= AF,CE,BF交于点P.
(1)求证：CE= BF.
(2)求∠BPC的度数.
(3)过点B作BH⊥CE,垂足为H. 若PF= 1,PH= 4,则CE的长为______.

（1）
∵ △ABC是等边三角形,
∴ BC=AB,∠A=∠EBC=60°.在△BCE和△ABF中,BC=AB,∠EBC=∠A,BE=AF,
∴ △BCE≌△ABF(SAS),
∴ CE=BF （2）
∵ △BCE≌△ABF,
∴ ∠BCE=∠ABF,
∴ ∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°,
∴ 在△PBC中,∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120° （3）9