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例1 (1)圆的周长$l$与半径$r$之间的关系是：$l=$；
(2)铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铁的质量$m$(单位：g)与它的体积$V$(单位：$\mathrm{cm}^3$)之间的关系是：$m=$；
(3)每个练习本的厚度为$0.5\ \mathrm{cm}$，一些练习本摞在一起的总厚度$h$(单位：cm)与本数$n$之间的关系是：$h=$；
在(1),(2),(3)三个关系式中,哪几个成正比例关系?
【思路导析】用成正比例关系的概念识别.
【请你解答】
(2)铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铁的质量$m$(单位：g)与它的体积$V$(单位：$\mathrm{cm}^3$)之间的关系是：$m=$；
(3)每个练习本的厚度为$0.5\ \mathrm{cm}$，一些练习本摞在一起的总厚度$h$(单位：cm)与本数$n$之间的关系是：$h=$；
在(1),(2),(3)三个关系式中,哪几个成正比例关系?
【思路导析】用成正比例关系的概念识别.
【请你解答】
答案
解：
(1) $2π r$
(2) $7.9V$
(3) $0.5n$
三个关系式都满足两个变量的比值为不等于0的常数，符合正比例关系的定义，因此(1)(2)(3)都成正比例关系。
(1) $2π r$
(2) $7.9V$
(3) $0.5n$
三个关系式都满足两个变量的比值为不等于0的常数，符合正比例关系的定义，因此(1)(2)(3)都成正比例关系。
解析
【分析】
本题分为两个考查模块，第一步需结合对应公式和已知数量关系列出代数式，第二步根据正比例关系的定义判断是否为正比例关系。解题思路如下：1. 回忆对应场景的数量公式：圆周长公式、质量与密度体积的关系、总厚度与单本厚度和数量的关系，代入已知常量即可得到对应关系式；2. 明确正比例关系的判定标准：若两个相关联的变量的比值为非零常数，则两个变量成正比例关系，将三个关系式变形求两个变量的商，判断商是否为固定非零常数即可。
【解析】
(1) 根据圆的周长计算公式，可得周长$l$与半径$r$的关系为$l=2π r$；
(2) 根据“质量=密度×体积”，已知铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，因此质量$m$与体积$V$的关系为$m=7.9V$；
(3) 根据“总厚度=单本厚度×本数”，已知每本练习本厚度为$0.5\ \mathrm{cm}$，因此总厚度$h$与本数$n$的关系为$h=0.5n$。
接下来判断正比例关系：
正比例关系的定义为：两个相关联的量，若它们的比值（商）为非零的固定常数，则这两个量成正比例关系。
对(1)：$\frac{l}{r}=2π$，$2π$是非零固定常数，因此$l$与$r$成正比例关系；
对(2)：$\frac{m}{V}=7.9$，7.9是非零固定常数，因此$m$与$V$成正比例关系；
对(3)：$\frac{h}{n}=0.5$，0.5是非零固定常数，因此$h$与$n$成正比例关系。
【答案】
(1)$2π r$；(2)$7.9V$；(3)$0.5n$；(1)(2)(3)都成正比例关系。
【知识点】
列代数式，正比例关系判定，常见数量关系应用
【点评】
本题侧重基础概念和基础数量关系的考查，只要熟练掌握常用公式和正比例关系的定义，即可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
本题分为两个考查模块，第一步需结合对应公式和已知数量关系列出代数式，第二步根据正比例关系的定义判断是否为正比例关系。解题思路如下：1. 回忆对应场景的数量公式：圆周长公式、质量与密度体积的关系、总厚度与单本厚度和数量的关系，代入已知常量即可得到对应关系式；2. 明确正比例关系的判定标准：若两个相关联的变量的比值为非零常数，则两个变量成正比例关系，将三个关系式变形求两个变量的商，判断商是否为固定非零常数即可。
【解析】
(1) 根据圆的周长计算公式，可得周长$l$与半径$r$的关系为$l=2π r$；
(2) 根据“质量=密度×体积”，已知铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，因此质量$m$与体积$V$的关系为$m=7.9V$；
(3) 根据“总厚度=单本厚度×本数”，已知每本练习本厚度为$0.5\ \mathrm{cm}$，因此总厚度$h$与本数$n$的关系为$h=0.5n$。
接下来判断正比例关系：
正比例关系的定义为：两个相关联的量，若它们的比值（商）为非零的固定常数，则这两个量成正比例关系。
对(1)：$\frac{l}{r}=2π$，$2π$是非零固定常数，因此$l$与$r$成正比例关系；
对(2)：$\frac{m}{V}=7.9$，7.9是非零固定常数，因此$m$与$V$成正比例关系；
对(3)：$\frac{h}{n}=0.5$，0.5是非零固定常数，因此$h$与$n$成正比例关系。
【答案】
(1)$2π r$；(2)$7.9V$；(3)$0.5n$；(1)(2)(3)都成正比例关系。
【知识点】
列代数式，正比例关系判定，常见数量关系应用
【点评】
本题侧重基础概念和基础数量关系的考查，只要熟练掌握常用公式和正比例关系的定义，即可快速完成解答。
【难度系数】
0.9
例2 (1)已知某品牌显示器的寿命大约为$2×10^{4}$ h. 这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间具有怎样的数量关系？
(2)市煤气公司要在地下修建一个容积为$10^{4}$ m³的圆柱形煤气储存室，这种储存室的底面积S(单位:m²)与其深度d(单位:m)具有怎样的数量关系？
在(1)与(2)的关系式中，有几个是成反比例关系的？
【思路导析】用成反比例关系的概念识别.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
(2)市煤气公司要在地下修建一个容积为$10^{4}$ m³的圆柱形煤气储存室，这种储存室的底面积S(单位:m²)与其深度d(单位:m)具有怎样的数量关系？
在(1)与(2)的关系式中，有几个是成反比例关系的？
【思路导析】用成反比例关系的概念识别.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) 由显示器总寿命时长为$2×10^4\ \mathrm{h}$，可得天数$d$与平均每日工作小时数$t$的数量关系为：
$d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)$。
(2) 由圆柱体积公式$V=Sd$，已知储存室容积为$10^4\ \mathrm{m}^3$，可得底面积$S$与深度$d$的数量关系为：
$S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)$。
两个关系式中，两个变量的乘积均为非零的定值，都符合反比例关系的定义，因此成反比例关系的有2个。
(1) 由显示器总寿命时长为$2×10^4\ \mathrm{h}$，可得天数$d$与平均每日工作小时数$t$的数量关系为：
$d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)$。
(2) 由圆柱体积公式$V=Sd$，已知储存室容积为$10^4\ \mathrm{m}^3$，可得底面积$S$与深度$d$的数量关系为：
$S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)$。
两个关系式中，两个变量的乘积均为非零的定值，都符合反比例关系的定义，因此成反比例关系的有2个。
解析
【分析】
解题时先找到题目中的不变量，结合对应数量关系推导变量间的表达式，再依据反比例关系的定义（两个相关联的变量乘积为非零定值，则二者成反比例关系）判断即可。
1. 第一问的不变量是显示器的总寿命时长，数量关系为：总寿命时长=平均每日工作小时数×可工作天数，对公式变形就能得到d与t的关系式；
2. 第二问的不变量是储存室的容积，结合圆柱体积公式“体积=底面积×深度”，变形就能得到S与d的关系式；
3. 最后分别验证两个关系式中两个变量的乘积是否为定值，统计成反比例关系的数量即可。
【解析】
(1) 已知显示器总寿命时长为$2×10^4\ \mathrm{h}$，根据“总时长=平均每日工作小时数×工作天数”可得：$2×10^4 = d×t$，变形得天数$d$与平均每日工作小时数$t$的数量关系为：
$d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)$。
(2) 根据圆柱体积公式$V=Sd$，已知储存室容积为$10^4\ \mathrm{m}^3$，代入可得$10^4 = S×d$，变形得底面积$S$与深度$d$的数量关系为：
$S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)$。
根据反比例关系的定义，两个关系式中两个变量的乘积均为非零的定值，都符合反比例关系的特征，因此成反比例关系的有2个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)}$；(2) $\boldsymbol{S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)}$；成反比例关系的有$\boldsymbol{2}$个。
【知识点】
反比例关系判定，根据实际问题列代数式，圆柱体积公式
【点评】
本题侧重考查实际问题与代数式的转化能力，以及对反比例关系概念的掌握，解题的核心是抓住题目中的定值，结合对应数量关系推导表达式，再依据定义判断即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时先找到题目中的不变量，结合对应数量关系推导变量间的表达式，再依据反比例关系的定义（两个相关联的变量乘积为非零定值，则二者成反比例关系）判断即可。
1. 第一问的不变量是显示器的总寿命时长，数量关系为：总寿命时长=平均每日工作小时数×可工作天数，对公式变形就能得到d与t的关系式；
2. 第二问的不变量是储存室的容积，结合圆柱体积公式“体积=底面积×深度”，变形就能得到S与d的关系式；
3. 最后分别验证两个关系式中两个变量的乘积是否为定值，统计成反比例关系的数量即可。
【解析】
(1) 已知显示器总寿命时长为$2×10^4\ \mathrm{h}$，根据“总时长=平均每日工作小时数×工作天数”可得：$2×10^4 = d×t$，变形得天数$d$与平均每日工作小时数$t$的数量关系为：
$d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)$。
(2) 根据圆柱体积公式$V=Sd$，已知储存室容积为$10^4\ \mathrm{m}^3$，代入可得$10^4 = S×d$，变形得底面积$S$与深度$d$的数量关系为：
$S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)$。
根据反比例关系的定义，两个关系式中两个变量的乘积均为非零的定值，都符合反比例关系的特征，因此成反比例关系的有2个。
【答案】
(1) $\boldsymbol{d=\dfrac{2×10^4}{t}\ (t＞0)}$；(2) $\boldsymbol{S=\dfrac{10^4}{d}\ (d＞0)}$；成反比例关系的有$\boldsymbol{2}$个。
【知识点】
反比例关系判定，根据实际问题列代数式，圆柱体积公式
【点评】
本题侧重考查实际问题与代数式的转化能力，以及对反比例关系概念的掌握，解题的核心是抓住题目中的定值，结合对应数量关系推导表达式，再依据定义判断即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
例3 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间。轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的数量关系式？
【思路导析】根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的数量关系式。
【规范解答】设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
$k=30×8=240$，
所以v关于t的数量关系式为$v=\frac{240}{t}$。
变式探究
动车从武汉驶往北京，若动车的平均速度为300 km/h，用s(单位：km)表示动车距武汉的距离，用t(单位：h)表示动车行驶的时间。
(1)动车距武汉的距离随行驶时间的增加是怎么变化的？
(2)用式子表示s与t之间的关系，并说明s与t之间成什么比例关系？
【思路导析】根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的数量关系式。
【规范解答】设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
$k=30×8=240$，
所以v关于t的数量关系式为$v=\frac{240}{t}$。
变式探究
动车从武汉驶往北京，若动车的平均速度为300 km/h，用s(单位：km)表示动车距武汉的距离，用t(单位：h)表示动车行驶的时间。
(1)动车距武汉的距离随行驶时间的增加是怎么变化的？
(2)用式子表示s与t之间的关系，并说明s与t之间成什么比例关系？
答案
解：
(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大。
(2) 根据“路程=速度×时间”，可得s与t的数量关系式为：
$s=300t$
s与t的比值为固定值300，因此s与t之间成正比例关系。
答：(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大；(2) s与t的关系式为$s=300t$，二者成正比例关系。
(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大。
(2) 根据“路程=速度×时间”，可得s与t的数量关系式为：
$s=300t$
s与t的比值为固定值300，因此s与t之间成正比例关系。
答：(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大；(2) s与t的关系式为$s=300t$，二者成正比例关系。
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：① 解答第(1)问时，明确动车的行驶方向是从武汉出发远离武汉，行驶速度恒定的前提下，行驶时间越长，走过的路程越远，对应距离武汉的距离就越大；② 解答第(2)问时，先回忆行程问题的核心公式“路程=速度×时间”，代入已知的速度数值即可列出s与t的关系式；再根据比例关系的判定规则：若两个相关联的量比值为定值则成正比例，乘积为定值则成反比例，计算s和t的比值即可判断比例类型。
【解析】
(1) 动车从武汉出发向北京行驶，行驶过程中平均速度保持不变，行驶时间越长，行驶的总路程越远，因此动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大。
(2) 根据行程问题“路程=速度×时间”的基本关系，已知动车平均速度为300 km/h，行驶时间为t h，因此动车距武汉的距离$s=300t$；
对关系式变形可得$\frac{s}{t}=300$，即s与t的比值为固定值300，因此s与t之间成正比例关系。
【答案】
(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大；(2) s与t的关系式为$s=300t$，二者成正比例关系。
【知识点】
行程问题基本公式，正比例关系判定，列代数式
【点评】
本题结合实际出行场景命题，侧重考察基础数量关系的应用和比例关系的判断，属于代数应用类基础题型，熟练掌握相关概念和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解决这道题可按以下思路思考：① 解答第(1)问时，明确动车的行驶方向是从武汉出发远离武汉，行驶速度恒定的前提下，行驶时间越长，走过的路程越远，对应距离武汉的距离就越大；② 解答第(2)问时，先回忆行程问题的核心公式“路程=速度×时间”，代入已知的速度数值即可列出s与t的关系式；再根据比例关系的判定规则：若两个相关联的量比值为定值则成正比例，乘积为定值则成反比例，计算s和t的比值即可判断比例类型。
【解析】
(1) 动车从武汉出发向北京行驶，行驶过程中平均速度保持不变，行驶时间越长，行驶的总路程越远，因此动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大。
(2) 根据行程问题“路程=速度×时间”的基本关系，已知动车平均速度为300 km/h，行驶时间为t h，因此动车距武汉的距离$s=300t$；
对关系式变形可得$\frac{s}{t}=300$，即s与t的比值为固定值300，因此s与t之间成正比例关系。
【答案】
(1) 动车距武汉的距离随行驶时间的增加而增大；(2) s与t的关系式为$s=300t$，二者成正比例关系。
【知识点】
行程问题基本公式，正比例关系判定，列代数式
【点评】
本题结合实际出行场景命题，侧重考察基础数量关系的应用和比例关系的判断，属于代数应用类基础题型，熟练掌握相关概念和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
