登录
11.测得一根弹簧的长度$l$(单位:cm)与所挂物体质量$m$(单位:kg)的关系如下表所示(重物不超过20 kg时,去掉重物后,弹簧能恢复原状),请完成下表.
答案
$\boldsymbol{6+0.5a}$
解析
【分析】
我们可以先观察表格中物体质量和弹簧长度的对应关系找规律：首先看不挂物体（m=0）时，弹簧长度是6cm，这是弹簧的原长；再看每增加1kg的物体质量，弹簧长度就增加0.5cm，说明每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm。要求挂a kg物体时的弹簧长度，只需要用弹簧原长加上挂a kg物体时弹簧伸长的总长度即可。
【解析】
第一步：确定弹簧原长：当物体质量m=0时，弹簧长度l=6cm，即弹簧原长为6cm。
第二步：找伸长量规律：观察数据可知，物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，因此挂a kg物体时，弹簧伸长的长度为0.5a cm。
第三步：计算总长度：弹簧总长度=原长+伸长的长度，因此挂a kg物体时弹簧长度为$6+0.5a$（a不超过20，符合弹性形变范围要求）。
【答案】
$\boldsymbol{6+0.5a}$
【知识点】
1. 列代数式 2. 规律探究 3. 用字母表示数
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是从表格数据中提炼出弹簧原长、单位质量下弹簧伸长量这两个关键量，再结合总长度的计算逻辑列出代数式，侧重考查对数量变化关系的归纳能力。
【难度系数】
0.8
我们可以先观察表格中物体质量和弹簧长度的对应关系找规律：首先看不挂物体（m=0）时，弹簧长度是6cm，这是弹簧的原长；再看每增加1kg的物体质量，弹簧长度就增加0.5cm，说明每挂1kg物体弹簧伸长0.5cm。要求挂a kg物体时的弹簧长度，只需要用弹簧原长加上挂a kg物体时弹簧伸长的总长度即可。
【解析】
第一步：确定弹簧原长：当物体质量m=0时，弹簧长度l=6cm，即弹簧原长为6cm。
第二步：找伸长量规律：观察数据可知，物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm，因此挂a kg物体时，弹簧伸长的长度为0.5a cm。
第三步：计算总长度：弹簧总长度=原长+伸长的长度，因此挂a kg物体时弹簧长度为$6+0.5a$（a不超过20，符合弹性形变范围要求）。
【答案】
$\boldsymbol{6+0.5a}$
【知识点】
1. 列代数式 2. 规律探究 3. 用字母表示数
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是从表格数据中提炼出弹簧原长、单位质量下弹簧伸长量这两个关键量，再结合总长度的计算逻辑列出代数式，侧重考查对数量变化关系的归纳能力。
【难度系数】
0.8
12.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.在校园文化艺术节的剪纸展示中，小华在一张长为a、宽为b的长方形纸片上，剪掉一个大圆和两个半径相等的小圆(如图).列出表示剩余纸片(图中阴影部分)面积的代数式.
答案
解：
由图可得，大圆的直径为$b$，则大圆半径为$\frac{b}{2}$；
两个小圆的直径相等，且两个小圆的直径和为$b$，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，小圆半径为$\frac{b}{4}$。
长方形纸片的面积为$ab$，
大圆的面积为$π · (\frac{b}{2})^2 = \frac{π b^2}{4}$，
两个小圆的面积之和为$2 × π · (\frac{b}{4})^2 = \frac{π b^2}{8}$，
剩余阴影部分的面积为：
$ab - \frac{π b^2}{4} - \frac{π b^2}{8} = ab - \frac{3π b^2}{8}$
答：表示剩余纸片面积的代数式为$ab - \frac{3}{8}π b^2$。
由图可得，大圆的直径为$b$，则大圆半径为$\frac{b}{2}$；
两个小圆的直径相等，且两个小圆的直径和为$b$，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，小圆半径为$\frac{b}{4}$。
长方形纸片的面积为$ab$，
大圆的面积为$π · (\frac{b}{2})^2 = \frac{π b^2}{4}$，
两个小圆的面积之和为$2 × π · (\frac{b}{4})^2 = \frac{π b^2}{8}$，
剩余阴影部分的面积为：
$ab - \frac{π b^2}{4} - \frac{π b^2}{8} = ab - \frac{3π b^2}{8}$
答：表示剩余纸片面积的代数式为$ab - \frac{3}{8}π b^2$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。首先明确整体是长为a、宽为b的长方形，空白部分是1个大圆和2个大小相等的小圆。第一步先根据图形特征确定各圆的半径：大圆的直径与长方形的宽相等，两个小圆上下排列的总高度也等于长方形的宽，且两个小圆半径相等，由此可分别推出大圆、小圆的半径。再分别计算长方形、大圆、两个小圆的面积，最后用长方形面积减去所有空白部分的面积，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由图可知，大圆的直径等于长方形的宽b，因此大圆的半径为$\frac{b}{2}$；
两个小圆半径相等，且两个小圆的直径之和等于长方形的宽b，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，小圆的半径为$\frac{b}{4}$。
长方形的面积：$S_{长方形}=ab$
大圆的面积：$S_{大圆}=π×(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{4}$
两个小圆的面积和：$S_{两个小圆}=2×π×(\frac{b}{4})^2=2×\frac{πb^2}{16}=\frac{πb^2}{8}$
阴影部分面积 = 长方形面积 - 大圆面积 - 两个小圆面积和，即：
$S_{阴影}=ab-\frac{πb^2}{4}-\frac{πb^2}{8}=ab-\frac{3πb^2}{8}$
【答案】
$ab-\frac{3}{8}πb^2$
【知识点】
列代数式；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查不规则图形面积的计算，解题关键是从图形中提取各部分边长、半径的数量关系，计算时注意分数运算和同类项的合并，细心即可得分。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，可采用“整体面积减去空白部分面积”的思路求解。首先明确整体是长为a、宽为b的长方形，空白部分是1个大圆和2个大小相等的小圆。第一步先根据图形特征确定各圆的半径：大圆的直径与长方形的宽相等，两个小圆上下排列的总高度也等于长方形的宽，且两个小圆半径相等，由此可分别推出大圆、小圆的半径。再分别计算长方形、大圆、两个小圆的面积，最后用长方形面积减去所有空白部分的面积，合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：由图可知，大圆的直径等于长方形的宽b，因此大圆的半径为$\frac{b}{2}$；
两个小圆半径相等，且两个小圆的直径之和等于长方形的宽b，因此每个小圆的直径为$\frac{b}{2}$，小圆的半径为$\frac{b}{4}$。
长方形的面积：$S_{长方形}=ab$
大圆的面积：$S_{大圆}=π×(\frac{b}{2})^2=\frac{πb^2}{4}$
两个小圆的面积和：$S_{两个小圆}=2×π×(\frac{b}{4})^2=2×\frac{πb^2}{16}=\frac{πb^2}{8}$
阴影部分面积 = 长方形面积 - 大圆面积 - 两个小圆面积和，即：
$S_{阴影}=ab-\frac{πb^2}{4}-\frac{πb^2}{8}=ab-\frac{3πb^2}{8}$
【答案】
$ab-\frac{3}{8}πb^2$
【知识点】
列代数式；长方形面积计算；圆的面积计算
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查不规则图形面积的计算，解题关键是从图形中提取各部分边长、半径的数量关系，计算时注意分数运算和同类项的合并，细心即可得分。
【难度系数】
0.7
13.一条河的水流速度是2 km/h，船在静水中的速度是 $ v $ km/h，船从A港口顺水航行30 km到达B港口.请用代数式表示：
(1)船从A港口到B港口的行驶时间；
(2)船从B港口返回A港口比船从A港口到B港口多用的时间.
(1)船从A港口到B港口的行驶时间；
(2)船从B港口返回A港口比船从A港口到B港口多用的时间.
答案
解：
(1) 船顺水航行的速度为$(v+2)\ \mathrm{km/h}$，
因此从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}\ \mathrm{h}$。
(2) 船逆水航行的速度为$(v-2)\ \mathrm{km/h}$，从B港口返回A港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v-2}\ \mathrm{h}$，
因此返回时比去时多用的时间为$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )\ \mathrm{h}$。
答：(1) 船从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}$小时；(2) 船从B港口返回A港口比船从A港口到B港口多用的时间为$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )$小时。
(1) 船顺水航行的速度为$(v+2)\ \mathrm{km/h}$，
因此从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}\ \mathrm{h}$。
(2) 船逆水航行的速度为$(v-2)\ \mathrm{km/h}$，从B港口返回A港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v-2}\ \mathrm{h}$，
因此返回时比去时多用的时间为$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )\ \mathrm{h}$。
答：(1) 船从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}$小时；(2) 船从B港口返回A港口比船从A港口到B港口多用的时间为$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )$小时。
解析
【分析】
解题需结合行程问题的基本公式和流水行船的速度规律思考：首先明确行程问题的核心等量关系为$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。对于（1），先推导顺水航行的速度：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，再用总路程除以顺水速度即可得到顺水行驶时间；对于（2），先推导逆水航行的速度：逆水速度=船在静水中的速度-水流速度，求出逆水行驶时间后，用逆水时间减去顺水时间，就能得到返回时多用的时间。
【解析】
(1) 船顺水航行的速度为静水速度加水流速度，即$(v+2)\ \mathrm{km/h}$，
根据时间=路程÷速度，总路程为30km，因此从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}\ \mathrm{h}$。
(2) 船逆水航行的速度为静水速度减水流速度，即$(v-2)\ \mathrm{km/h}$，
同理可得从B港口返回A港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v-2}\ \mathrm{h}$，
因此返回时比去时多用的时间为逆水时间减去顺水时间，即$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\dfrac{30}{v+2}$小时；(2) $( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )$小时
【知识点】
列代数式；流水行船速度规律；行程问题基本公式
【点评】
本题是用代数式表示实际数量关系的基础题型，解题关键是准确区分顺水、逆水速度的计算方式，熟练运用行程问题的等量关系，不容易出错。
【难度系数】
0.8
解题需结合行程问题的基本公式和流水行船的速度规律思考：首先明确行程问题的核心等量关系为$\mathrm{时间}=\mathrm{路程}÷\mathrm{速度}$。对于（1），先推导顺水航行的速度：顺水速度=船在静水中的速度+水流速度，再用总路程除以顺水速度即可得到顺水行驶时间；对于（2），先推导逆水航行的速度：逆水速度=船在静水中的速度-水流速度，求出逆水行驶时间后，用逆水时间减去顺水时间，就能得到返回时多用的时间。
【解析】
(1) 船顺水航行的速度为静水速度加水流速度，即$(v+2)\ \mathrm{km/h}$，
根据时间=路程÷速度，总路程为30km，因此从A港口到B港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v+2}\ \mathrm{h}$。
(2) 船逆水航行的速度为静水速度减水流速度，即$(v-2)\ \mathrm{km/h}$，
同理可得从B港口返回A港口的行驶时间为$\dfrac{30}{v-2}\ \mathrm{h}$，
因此返回时比去时多用的时间为逆水时间减去顺水时间，即$( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\dfrac{30}{v+2}$小时；(2) $( \dfrac{30}{v-2} - \dfrac{30}{v+2} )$小时
【知识点】
列代数式；流水行船速度规律；行程问题基本公式
【点评】
本题是用代数式表示实际数量关系的基础题型，解题关键是准确区分顺水、逆水速度的计算方式，熟练运用行程问题的等量关系，不容易出错。
【难度系数】
0.8
