登录
一、选择题
1. 用反证法证明“过直线外一点仅有一条直线与已知直线垂直”，有如下步骤：(
)
(1)故$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和定理相矛盾.
(2)$\therefore$假设不成立，原题成立.
(3)假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B.
(4)$\therefore∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$.
正确的顺序应是()
A. (4)(3)(1)(2)
B. (1)(2)(3)(4)
C. (2)(3)(4)(1)
D. (3)(4)(1)(2)
1. 用反证法证明“过直线外一点仅有一条直线与已知直线垂直”，有如下步骤：(
)(1)故$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和定理相矛盾.
(2)$\therefore$假设不成立，原题成立.
(3)假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B.
(4)$\therefore∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$.
正确的顺序应是()
A. (4)(3)(1)(2)
B. (1)(2)(3)(4)
C. (2)(3)(4)(1)
D. (3)(4)(1)(2)
答案
解：反证法的证明流程为：首先提出反设，再从反设出发推导，得出矛盾，最后判定假设不成立，肯定原命题成立。
本题的正确步骤顺序为：
1. 假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B，对应步骤(3)；
2. 由垂直的定义得$∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$，对应步骤(4)；
3. 推导得$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和定理相矛盾，对应步骤(1)；
4. 得出假设不成立，原题成立，对应步骤(2)。
因此正确的顺序是(3)(4)(1)(2)，答案选D。
本题的正确步骤顺序为：
1. 假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B，对应步骤(3)；
2. 由垂直的定义得$∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$，对应步骤(4)；
3. 推导得$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和定理相矛盾，对应步骤(1)；
4. 得出假设不成立，原题成立，对应步骤(2)。
因此正确的顺序是(3)(4)(1)(2)，答案选D。
解析
【分析】
要确定反证法的步骤顺序，首先回忆反证法的核心流程：第一步先提出与原命题结论相反的假设（反设），第二步从假设出发，结合已知定理、定义推导，第三步推出与已知定理、公理矛盾的结果，第四步判定假设不成立，从而肯定原命题正确。按照这个逻辑对给出的4个步骤排序即可。
【解析】
反证法的证明流程为反设、归谬、得出结论三步，对应本题步骤排序如下：
1. 反设：假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B，对应步骤(3)；
2. 由垂直的定义可得：$∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$，对应步骤(4)；
3. 推导矛盾：在$△ PAB$中，$∠PAB+∠PBA=180°$，因此$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理相矛盾，对应步骤(1)；
4. 得出结论：假设不成立，原题结论成立，对应步骤(2)。
因此正确顺序为(3)(4)(1)(2)。
【答案】
D
【知识点】
反证法的步骤；垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基本应用，属于基础题型，熟练掌握反证法的操作流程是解题的关键，反证法常用来证明“唯一性”“至多/至少”类的命题。
【难度系数】
0.8
要确定反证法的步骤顺序，首先回忆反证法的核心流程：第一步先提出与原命题结论相反的假设（反设），第二步从假设出发，结合已知定理、定义推导，第三步推出与已知定理、公理矛盾的结果，第四步判定假设不成立，从而肯定原命题正确。按照这个逻辑对给出的4个步骤排序即可。
【解析】
反证法的证明流程为反设、归谬、得出结论三步，对应本题步骤排序如下：
1. 反设：假设过P点不止一条直线与已知直线垂直，不妨设$PA⊥ l$于A，$PB⊥ l$于B，对应步骤(3)；
2. 由垂直的定义可得：$∠ PAB=90°,∠ PBA=90°$，对应步骤(4)；
3. 推导矛盾：在$△ PAB$中，$∠PAB+∠PBA=180°$，因此$∠ PAB+∠ PBA+∠ APB＞180°$，这与三角形内角和为$180°$的定理相矛盾，对应步骤(1)；
4. 得出结论：假设不成立，原题结论成立，对应步骤(2)。
因此正确顺序为(3)(4)(1)(2)。
【答案】
D
【知识点】
反证法的步骤；垂直的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题考查反证法的基本应用，属于基础题型，熟练掌握反证法的操作流程是解题的关键，反证法常用来证明“唯一性”“至多/至少”类的命题。
【难度系数】
0.8
2. 用反证法证明“在$△ ABC$中，若$AB=AC$，则$∠ B＜90°$”时，应假设（）
A.$∠ B≠90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ B＞90°$
D.$∠ B≥90°$
A.$∠ B≠90°$
B.$∠ B=90°$
C.$∠ B＞90°$
D.$∠ B≥90°$
答案
D
解析
【分析】
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即需先明确待证命题的结论，再得出结论的反面情况。本题待证结论为“∠B＜90°”，要找该结论的反面：“∠B＜90°”不成立，就是∠B不小于90°，包含∠B=90°和∠B＞90°两种情况，也就是∠B≥90°，据此即可选出正确选项。
【解析】
根据反证法的步骤，首先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的结论是“∠B＜90°”，其反面为“∠B≥90°”，因此应假设∠B≥90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反证法
2. 不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的假设环节，解题核心是准确找出原命题结论的反面，需注意小于的反面是大于等于，不能遗漏等于的情况，否则易误选B或C。
【难度系数】
0.8
反证法的第一步是假设命题的结论不成立，即需先明确待证命题的结论，再得出结论的反面情况。本题待证结论为“∠B＜90°”，要找该结论的反面：“∠B＜90°”不成立，就是∠B不小于90°，包含∠B=90°和∠B＞90°两种情况，也就是∠B≥90°，据此即可选出正确选项。
【解析】
根据反证法的步骤，首先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的结论是“∠B＜90°”，其反面为“∠B≥90°”，因此应假设∠B≥90°。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 反证法
2. 不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的假设环节，解题核心是准确找出原命题结论的反面，需注意小于的反面是大于等于，不能遗漏等于的情况，否则易误选B或C。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明命题时,首先要提出与结论相反(相排斥)的假设,若一个命题的结论是“∠A＞60°”,那么与它相反的假设应是()
A.∠A=60°
B.∠A≠60°
C.∠A＜60°
D.∠A≤60°
A.∠A=60°
B.∠A≠60°
C.∠A＜60°
D.∠A≤60°
答案
D
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法第一步假设的要求：提出的假设必须是原命题结论完全相反的情况，要覆盖所有不满足原结论的情形。原命题的结论是“∠A＞60°”，我们需要找“大于60°”的反面，“大于”的反面不仅包含“小于”，还需要包含“等于”的情况，合起来就是“不大于60°”，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，假设是原命题结论的否定。
原结论为∠A＞60°，它的否定是∠A不大于60°，即∠A≤60°，因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确全面地找出原结论的反面，要注意“＞”的否定是“≤”，避免遗漏等于的情况导致错选。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法第一步假设的要求：提出的假设必须是原命题结论完全相反的情况，要覆盖所有不满足原结论的情形。原命题的结论是“∠A＞60°”，我们需要找“大于60°”的反面，“大于”的反面不仅包含“小于”，还需要包含“等于”的情况，合起来就是“不大于60°”，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据反证法的规则，假设是原命题结论的否定。
原结论为∠A＞60°，它的否定是∠A不大于60°，即∠A≤60°，因此符合要求的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
反证法；不等关系的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设步骤，解题核心是准确全面地找出原结论的反面，要注意“＞”的否定是“≤”，避免遗漏等于的情况导致错选。
【难度系数】
0.8
4. 如图2,在△ABC中,AB=AC,∠APB≠∠APC,求证:PB≠PC. 当用反证法证明时,第一步应假设
()
A.AB≠AC
B.∠B≠∠C
C.∠APB=∠APC
D.PB=PC
()
A.AB≠AC
B.∠B≠∠C
C.∠APB=∠APC
D.PB=PC
答案
D
解析
【分析】
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。首先明确本题要证明的结论是“PB≠PC”，只需找到该结论的反面表述，即可确定反证法的第一步假设内容。
【解析】
反证法的首要步骤为：假设待证命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“PB≠PC”，该结论的反面为“PB=PC”，因此用反证法证明时第一步应假设PB=PC，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基本步骤，解题关键是准确找到待证结论的反面，属于对反证法基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
反证法证明命题的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是结论的反面成立。首先明确本题要证明的结论是“PB≠PC”，只需找到该结论的反面表述，即可确定反证法的第一步假设内容。
【解析】
反证法的首要步骤为：假设待证命题的结论不成立，即结论的反面成立。
本题需要证明的结论是“PB≠PC”，该结论的反面为“PB=PC”，因此用反证法证明时第一步应假设PB=PC，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法
【点评】
本题考查反证法的基本步骤，解题关键是准确找到待证结论的反面，属于对反证法基础概念的考查。
【难度系数】
0.8
5. 用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,第一步应先假设命题不成立,则下列各备选项中,第一步假设正确的是()
A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B.假设四边形中有一个角是钝角或直角
C.假设四边形中每一个角均为钝角
D.假设四边形中每一个角均为直角
A.假设四边形中没有一个角是钝角或直角
B.假设四边形中有一个角是钝角或直角
C.假设四边形中每一个角均为钝角
D.假设四边形中每一个角均为直角
答案
A
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即对结论进行否定。首先找到原命题的结论是“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，接下来要明确量词的否定规则：“至少有一个”表示存在1个及以上，它的反面是1个都不存在，也就是“一个都没有”，据此就能得到正确的假设，再对应选项判断即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立：
1. 原命题的结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角；
2. “至少有一个”的否定为“一个也没有”，因此结论的否定为：四边形中没有一个角是钝角或直角，对应选项A；
3. 排除错误选项：B是原结论的部分表述，不是否定；C仅假设全为钝角、D仅假设全为直角，均未完整否定原结论，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设，解题关键是掌握常见结论的否定形式，比如“至少有n个”的否定是“至多n-1个”、“至少有一个”的否定是“一个都没有”，掌握这类规则就能快速确定反证法的假设内容。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的第一步要求：假设原命题的结论不成立，即对结论进行否定。首先找到原命题的结论是“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，接下来要明确量词的否定规则：“至少有一个”表示存在1个及以上，它的反面是1个都不存在，也就是“一个都没有”，据此就能得到正确的假设，再对应选项判断即可。
【解析】
反证法证明命题的第一步是对原命题的结论进行否定，即假设结论不成立：
1. 原命题的结论为：四边形中至少有一个角是钝角或直角；
2. “至少有一个”的否定为“一个也没有”，因此结论的否定为：四边形中没有一个角是钝角或直角，对应选项A；
3. 排除错误选项：B是原结论的部分表述，不是否定；C仅假设全为钝角、D仅假设全为直角，均未完整否定原结论，不符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的初始假设，解题关键是掌握常见结论的否定形式，比如“至少有n个”的否定是“至多n-1个”、“至少有一个”的否定是“一个都没有”，掌握这类规则就能快速确定反证法的假设内容。
【难度系数】
0.8
二、填空题
1. 用反证法证明“同位角不相等，两直线不平行”，应先提出假设。
1. 用反证法证明“同位角不相等，两直线不平行”，应先提出假设。
答案
解：两直线平行
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的基本逻辑：反证法证明一个命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面是成立的。我们先拆分要证明的命题“同位角不相等，两直线不平行”，明确它的结论是“两直线不平行”，接下来只要找到这个结论的反面，就是我们要提出的假设。
【解析】
根据反证法的步骤，首先明确待证命题的结论为“两直线不平行”，该结论的反面是“两直线平行”，因此应先提出假设：两直线平行。
【答案】
两直线平行
【知识点】
反证法步骤；命题的结构
【点评】
本题考查反证法的初步应用，属于基础概念类考题，解题的核心是准确识别命题的结论，再写出结论的否定形式即可。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆反证法的基本逻辑：反证法证明一个命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，也就是假设结论的反面是成立的。我们先拆分要证明的命题“同位角不相等，两直线不平行”，明确它的结论是“两直线不平行”，接下来只要找到这个结论的反面，就是我们要提出的假设。
【解析】
根据反证法的步骤，首先明确待证命题的结论为“两直线不平行”，该结论的反面是“两直线平行”，因此应先提出假设：两直线平行。
【答案】
两直线平行
【知识点】
反证法步骤；命题的结构
【点评】
本题考查反证法的初步应用，属于基础概念类考题，解题的核心是准确识别命题的结论，再写出结论的否定形式即可。
【难度系数】
0.9
2. 用反证法证明命题“若$a,b$是整数，且$ab$能被5整除，那么$a,b$中至少有一个能被5整除”时，应假设.
答案
解：$a,b$都不能被5整除
解析
【分析】
要确定反证法的假设，首先明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是对原命题的结论做否定。首先提取原命题的结论：“a,b中至少有一个能被5整除”，逻辑里“至少有一个”的反面是“全部都不”，由此就能推出要假设的内容。
【解析】
使用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的结论不成立。
本题中原命题的结论为“a,b中至少有一个能被5整除”，对该结论进行否定：“至少有一个满足”的否定为“全部都不满足”，即可得“a,b都不能被5整除”，这就是反证法需要提出的假设。
【答案】
$a,b$都不能被5整除
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础操作，解题关键是准确掌握常见逻辑表述的否定形式，属于反证法的入门类题型。
【难度系数】
0.8
要确定反证法的假设，首先明确反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是对原命题的结论做否定。首先提取原命题的结论：“a,b中至少有一个能被5整除”，逻辑里“至少有一个”的反面是“全部都不”，由此就能推出要假设的内容。
【解析】
使用反证法证明命题时，首先需要假设原命题的结论不成立。
本题中原命题的结论为“a,b中至少有一个能被5整除”，对该结论进行否定：“至少有一个满足”的否定为“全部都不满足”，即可得“a,b都不能被5整除”，这就是反证法需要提出的假设。
【答案】
$a,b$都不能被5整除
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础操作，解题关键是准确掌握常见逻辑表述的否定形式，属于反证法的入门类题型。
【难度系数】
0.8
3. 用反证法证明命题“三角形的三个外角中，最多有一个锐角”的第一步是假设.
答案
三角形的三个外角中，至少有两个锐角。
解析
【分析】
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。解本题首先要明确原命题的结论是“三角形的三个外角中，最多有一个锐角”，“最多有1个”表示锐角的数量≤1，它的反面就是锐角的数量≥2，即至少有两个锐角，据此就能得到反证法第一步的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形的三个外角中，最多有一个锐角”，该结论的反面是“三角形的三个外角中，至少有两个锐角”，因此反证法的第一步就是假设这个反面成立。
【答案】
三角形的三个外角中，至少有两个锐角。
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，要掌握“最多有n个”这类数量限定表述的否定规则为“至少有n+1个”，熟悉反证法的基本逻辑就能轻松答题。
【难度系数】
0.8
反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，也就是假设结论的反面成立。解本题首先要明确原命题的结论是“三角形的三个外角中，最多有一个锐角”，“最多有1个”表示锐角的数量≤1，它的反面就是锐角的数量≥2，即至少有两个锐角，据此就能得到反证法第一步的假设内容。
【解析】
根据反证法的规则，第一步需假设原命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为“三角形的三个外角中，最多有一个锐角”，该结论的反面是“三角形的三个外角中，至少有两个锐角”，因此反证法的第一步就是假设这个反面成立。
【答案】
三角形的三个外角中，至少有两个锐角。
【知识点】
反证法，命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是正确对原命题的结论进行否定，要掌握“最多有n个”这类数量限定表述的否定规则为“至少有n+1个”，熟悉反证法的基本逻辑就能轻松答题。
【难度系数】
0.8
