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一、选择题
1. 下列计算错误的是()
A.$5x(y-1)=5xy-5x$
B.$-6x(x-6)=36x-6x^2$
C.$(x+1)(x-5)=x^2-5$
D.$(x+\dfrac{1}{3})^2=x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}$
1. 下列计算错误的是()
A.$5x(y-1)=5xy-5x$
B.$-6x(x-6)=36x-6x^2$
C.$(x+1)(x-5)=x^2-5$
D.$(x+\dfrac{1}{3})^2=x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}$
答案
C
解析
【分析】
本题要求找出计算错误的选项，解题思路是逐一验证每个选项的整式乘法运算是否符合对应运算法则：分别依据单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、完全平方公式计算各选项左侧的式子，再和选项给出的右侧结果对比，不一致的即为错误选项。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A. 根据单项式乘多项式法则，$5x(y-1)=5x· y + 5x· (-1)=5xy-5x$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意；
B. 根据单项式乘多项式法则，$-6x(x-6)=-6x· x + (-6x)· (-6)=-6x^2+36x=36x-6x^2$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意；
C. 根据多项式乘多项式法则，$(x+1)(x-5)=x· x + x· (-5) +1· x +1· (-5)=x^2-5x+x-5=x^2-4x-5$，和选项给出的$x^2-5$不一致，计算错误，符合题意；
D. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+\dfrac{1}{3})^2=x^2 + 2· x· \dfrac{1}{3} + (\dfrac{1}{3})^2=x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算，解题的核心是熟练掌握各类整式乘法的运算规则，计算时要注意不要漏乘多项式的项，同时注意正负符号的处理，避免出现类似C选项漏乘中间项的错误。
【难度系数】
0.8
本题要求找出计算错误的选项，解题思路是逐一验证每个选项的整式乘法运算是否符合对应运算法则：分别依据单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则、完全平方公式计算各选项左侧的式子，再和选项给出的右侧结果对比，不一致的即为错误选项。
【解析】
我们逐个计算各选项：
A. 根据单项式乘多项式法则，$5x(y-1)=5x· y + 5x· (-1)=5xy-5x$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意；
B. 根据单项式乘多项式法则，$-6x(x-6)=-6x· x + (-6x)· (-6)=-6x^2+36x=36x-6x^2$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意；
C. 根据多项式乘多项式法则，$(x+1)(x-5)=x· x + x· (-5) +1· x +1· (-5)=x^2-5x+x-5=x^2-4x-5$，和选项给出的$x^2-5$不一致，计算错误，符合题意；
D. 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(x+\dfrac{1}{3})^2=x^2 + 2· x· \dfrac{1}{3} + (\dfrac{1}{3})^2=x^2+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{9}$，和选项结果一致，计算正确，不符合题意。
综上，计算错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算，解题的核心是熟练掌握各类整式乘法的运算规则，计算时要注意不要漏乘多项式的项，同时注意正负符号的处理，避免出现类似C选项漏乘中间项的错误。
【难度系数】
0.8
2. 若$4x^2 - 12xy + 9y^2 = 0$，则$\frac{x - y}{x + y}$的值是（）
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5y}$
A.$-\frac{1}{5}$
B.$-1$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{5y}$
答案
C
解析
【分析】
首先观察已知等式左边的多项式，符合完全平方公式的结构特征，可先对左边因式分解，再结合平方的非负性得到x与y的数量关系，最后将x用含y的式子代入待求分式，约分后即可得到结果，计算时需注意分式分母不为0的隐含条件。
【解析】
1. 对已知等式左边因式分解：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$4x^2 - 12xy + 9y^2=(2x-3y)^2$，因此原等式变形为：
$(2x-3y)^2=0$
2. 由平方的非负性可知，$2x-3y=0$，整理得$x=\frac{3}{2}y$。
3. 验证分母有效性：待求分式$\frac{x-y}{x+y}$的分母为$x+y$，将$x=\frac{3}{2}y$代入得$x+y=\frac{3}{2}y+y=\frac{5}{2}y$，若$y=0$，则$x=y=0$，分式无意义，因此$y≠0$，分母$\frac{5}{2}y≠0$，符合计算要求。
4. 代入化简：将$x=\frac{3}{2}y$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{\frac{3}{2}y - y}{\frac{3}{2}y + y}=\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{5}{2}y}=\frac{1}{5}$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 分式化简求值
3. 平方的非负性
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题核心是通过因式分解将已知方程转化为x与y的线性关系，代入求值时注意不要忽略分式有意义的隐含条件，掌握因式分解的常用公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
首先观察已知等式左边的多项式，符合完全平方公式的结构特征，可先对左边因式分解，再结合平方的非负性得到x与y的数量关系，最后将x用含y的式子代入待求分式，约分后即可得到结果，计算时需注意分式分母不为0的隐含条件。
【解析】
1. 对已知等式左边因式分解：
根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得$4x^2 - 12xy + 9y^2=(2x-3y)^2$，因此原等式变形为：
$(2x-3y)^2=0$
2. 由平方的非负性可知，$2x-3y=0$，整理得$x=\frac{3}{2}y$。
3. 验证分母有效性：待求分式$\frac{x-y}{x+y}$的分母为$x+y$，将$x=\frac{3}{2}y$代入得$x+y=\frac{3}{2}y+y=\frac{5}{2}y$，若$y=0$，则$x=y=0$，分式无意义，因此$y≠0$，分母$\frac{5}{2}y≠0$，符合计算要求。
4. 代入化简：将$x=\frac{3}{2}y$代入$\frac{x-y}{x+y}$得：
$\frac{x-y}{x+y}=\frac{\frac{3}{2}y - y}{\frac{3}{2}y + y}=\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{5}{2}y}=\frac{1}{5}$
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 分式化简求值
3. 平方的非负性
【点评】
本题是代数式求值的常规题型，解题核心是通过因式分解将已知方程转化为x与y的线性关系，代入求值时注意不要忽略分式有意义的隐含条件，掌握因式分解的常用公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
3. 已知 $x$ 为任意实数，则 $x - 1 - \frac{1}{4}x^2$ 的值（）
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或 0
A.一定为负数
B.不可能为正数
C.一定为正数
D.可能为正数、负数或 0
答案
B
解析
【分析】
要判断给定代数式的取值范围，我们可以利用完全平方公式，通过配方法将代数式整理为含平方项的形式，再结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）推导结果。首先将代数式按降幂排列，把二次项系数化为正数，再对照完全平方公式的结构特征进行配方，最后根据非负性判断取值即可。
【解析】
解：对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}x - 1 - \frac{1}{4}x^2&= -\frac{1}{4}x^2 + x - 1\\&= -( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 )\end{aligned}$
观察括号内的式子：$\frac{1}{4}x^2 = ( \frac{1}{2}x )^2$，$1=1^2$，$-x = -2× \frac{1}{2}x × 1$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此：
$\frac{1}{4}x^2 - x +1 = ( \frac{1}{2}x - 1 )^2$
代入原式得：
$x -1 - \frac{1}{4}x^2 = -( \frac{1}{2}x - 1 )^2$
因为$x$为任意实数，根据平方的非负性可得$( \frac{1}{2}x -1 )^2 ≥ 0$，因此：
$-( \frac{1}{2}x - 1 )^2 ≤ 0$
即该代数式的值小于等于0，不可能为正数。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将代数式转化为平方式的相反数，结合平方的非负性即可判断取值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断给定代数式的取值范围，我们可以利用完全平方公式，通过配方法将代数式整理为含平方项的形式，再结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）推导结果。首先将代数式按降幂排列，把二次项系数化为正数，再对照完全平方公式的结构特征进行配方，最后根据非负性判断取值即可。
【解析】
解：对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}x - 1 - \frac{1}{4}x^2&= -\frac{1}{4}x^2 + x - 1\\&= -( \frac{1}{4}x^2 - x + 1 )\end{aligned}$
观察括号内的式子：$\frac{1}{4}x^2 = ( \frac{1}{2}x )^2$，$1=1^2$，$-x = -2× \frac{1}{2}x × 1$，符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此：
$\frac{1}{4}x^2 - x +1 = ( \frac{1}{2}x - 1 )^2$
代入原式得：
$x -1 - \frac{1}{4}x^2 = -( \frac{1}{2}x - 1 )^2$
因为$x$为任意实数，根据平方的非负性可得$( \frac{1}{2}x -1 )^2 ≥ 0$，因此：
$-( \frac{1}{2}x - 1 )^2 ≤ 0$
即该代数式的值小于等于0，不可能为正数。
【答案】
B
【知识点】
配方法；完全平方公式；非负数的性质
【点评】
本题通过配方法将代数式转化为平方式的相反数，结合平方的非负性即可判断取值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
4.若$a+b=3,a^2+b^2=7$,则$ab$的值为()
A.2
B.1
C.$-2$
D.$-1$
A.2
B.1
C.$-2$
D.$-1$
答案
B
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式求解，我们已知两个数的和与两个数的平方和，首先回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式中刚好包含已知的$a+b$、$a^2+b^2$和待求的$ab$三个量，已知其中两个量即可求出第三个量，因此只需将已知数值代入公式变形计算即可得到$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$a+b=3$，$a^2+b^2=7$，将其代入上述公式：
$3^2=7+2ab$
计算得：$9=7+2ab$
移项整理：$2ab=9-7=2$
两边同时除以2得：$ab=1$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能够灵活对公式进行变形求解未知量，解题时注意运算不要出错。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方公式求解，我们已知两个数的和与两个数的平方和，首先回忆完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，公式中刚好包含已知的$a+b$、$a^2+b^2$和待求的$ab$三个量，已知其中两个量即可求出第三个量，因此只需将已知数值代入公式变形计算即可得到$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
已知$a+b=3$，$a^2+b^2=7$，将其代入上述公式：
$3^2=7+2ab$
计算得：$9=7+2ab$
移项整理：$2ab=9-7=2$
两边同时除以2得：$ab=1$
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用类题目，核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能够灵活对公式进行变形求解未知量，解题时注意运算不要出错。
【难度系数】
0.8
5.如图,从边长为$a+1$的正方形纸片中剪去一个边长为$a-1$的正方形($a＞1$,单位:cm),剩余部分沿虚线剪开,拼成一个长方形(不重叠、无缝隙),则该长方形的面积为()
A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$2a\ \mathrm{cm}^2$
C.$4a\ \mathrm{cm}^2$
D.$(a^2 -1)\ \mathrm{cm}^2$
A.$2\ \mathrm{cm}^2$
B.$2a\ \mathrm{cm}^2$
C.$4a\ \mathrm{cm}^2$
D.$(a^2 -1)\ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
【分析】
解决这类图形剪拼问题，核心是抓住剪拼前后图形的总面积不变这一关键点。我们有两种解题思路：一是先计算原图形剩余部分的面积，即边长为$a+1$的大正方形面积减去边长为$a-1$的小正方形面积，利用完全平方公式展开计算即可；二是先确定拼接后长方形的长和宽，再用长乘宽计算长方形面积，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
方法1：利用剪拼前后面积不变计算
剩余部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积
大正方形面积为$(a+1)^2$，小正方形面积为$(a-1)^2$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
方法2：计算拼接后长方形的面积
观察拼接过程可知，长方形的长为$(a+1)+(a-1)=2a\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+1)-(a-1)=2\ \mathrm{cm}$，因此面积为：
$2a×2=4a\ (\mathrm{cm}^2)$
综上，该长方形的面积为$4a\ \mathrm{cm}^2$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等积变换，完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形剪拼考查整式运算的应用，既可以通过面积差直接计算，也可以结合图形求出新图形的长宽后计算面积，能很好地锻炼数形结合的思维能力，解题时注意整式展开的符号问题即可。
【难度系数】
0.7
解决这类图形剪拼问题，核心是抓住剪拼前后图形的总面积不变这一关键点。我们有两种解题思路：一是先计算原图形剩余部分的面积，即边长为$a+1$的大正方形面积减去边长为$a-1$的小正方形面积，利用完全平方公式展开计算即可；二是先确定拼接后长方形的长和宽，再用长乘宽计算长方形面积，两种方法都能得到最终结果。
【解析】
方法1：利用剪拼前后面积不变计算
剩余部分面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积
大正方形面积为$(a+1)^2$，小正方形面积为$(a-1)^2$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{面积}&=(a+1)^2-(a-1)^2\\&=(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)\\&=a^2+2a+1-a^2+2a-1\\&=4a\ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
方法2：计算拼接后长方形的面积
观察拼接过程可知，长方形的长为$(a+1)+(a-1)=2a\ \mathrm{cm}$，宽为$(a+1)-(a-1)=2\ \mathrm{cm}$，因此面积为：
$2a×2=4a\ (\mathrm{cm}^2)$
综上，该长方形的面积为$4a\ \mathrm{cm}^2$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等积变换，完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题结合图形剪拼考查整式运算的应用，既可以通过面积差直接计算，也可以结合图形求出新图形的长宽后计算面积，能很好地锻炼数形结合的思维能力，解题时注意整式展开的符号问题即可。
【难度系数】
0.7
6.在实数范围内，$4x^2 -5$可分解因式为()
A.$(2x+\sqrt{5})^2$
B.$(4x+\sqrt{5})(4x-\sqrt{5})$
C.$(2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})$
D.$(2x-\sqrt{5})^2$
A.$(2x+\sqrt{5})^2$
B.$(4x+\sqrt{5})(4x-\sqrt{5})$
C.$(2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})$
D.$(2x-\sqrt{5})^2$
答案
C
解析
【分析】
本题考查实数范围内的因式分解，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，只有两项符号相反、且两项都能写成平方形式的式子才可以套用平方差公式分解；接下来把原式转化为平方差的结构，将$4x^2$改写为$(2x)^2$，正整数5在实数范围内可改写为$(\sqrt{5})^2$，即可套公式得到结果，也可通过展开各选项反向验证排除错误答案。
【解析】
我们可以通过公式法直接分解，也可反向验证选项：
方法一：公式法
原式$4x^2 -5 = (2x)^2 - (\sqrt{5})^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=2x$，$b=\sqrt{5}$，代入得：
$4x^2 -5=(2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})$。
方法二：反向验证
A选项展开：$(2x+\sqrt{5})^2=4x^2 +4\sqrt{5}x +5$，与原式不符，排除；
B选项展开：$(4x+\sqrt{5})(4x-\sqrt{5})=16x^2 -5$，与原式不符，排除；
D选项展开：$(2x-\sqrt{5})^2=4x^2 -4\sqrt{5}x +5$，与原式不符，排除；
只有C选项展开后与原式一致，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解；二次根式性质
【点评】
本题属于基础类因式分解题，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，注意区分平方差公式和完全平方公式的差异，在实数范围内分解因式时，可将正常数写成其算术平方根的平方形式，再套用对应公式求解即可。
【难度系数】
0.8
本题考查实数范围内的因式分解，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，只有两项符号相反、且两项都能写成平方形式的式子才可以套用平方差公式分解；接下来把原式转化为平方差的结构，将$4x^2$改写为$(2x)^2$，正整数5在实数范围内可改写为$(\sqrt{5})^2$，即可套公式得到结果，也可通过展开各选项反向验证排除错误答案。
【解析】
我们可以通过公式法直接分解，也可反向验证选项：
方法一：公式法
原式$4x^2 -5 = (2x)^2 - (\sqrt{5})^2$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，其中$a=2x$，$b=\sqrt{5}$，代入得：
$4x^2 -5=(2x+\sqrt{5})(2x-\sqrt{5})$。
方法二：反向验证
A选项展开：$(2x+\sqrt{5})^2=4x^2 +4\sqrt{5}x +5$，与原式不符，排除；
B选项展开：$(4x+\sqrt{5})(4x-\sqrt{5})=16x^2 -5$，与原式不符，排除；
D选项展开：$(2x-\sqrt{5})^2=4x^2 -4\sqrt{5}x +5$，与原式不符，排除；
只有C选项展开后与原式一致，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；因式分解；二次根式性质
【点评】
本题属于基础类因式分解题，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，注意区分平方差公式和完全平方公式的差异，在实数范围内分解因式时，可将正常数写成其算术平方根的平方形式，再套用对应公式求解即可。
【难度系数】
0.8
7.如图所示是我国南宋时期杰出的数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”.此图揭示了$(a+b)^n$（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数之间的规律，则$(a+b)^4$的展开式中所缺的项为（）
1 …$(a+b)^0=1$
1 1 …$(a+b)^1=a+b$
1 2 1 …$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
1 3 3 1 …
$)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
1 4 () () 1 …$(a+b)^4=a^4+4a^3b+$$+b^4$
A.$4ab^3$
B.$6a^2b^2$
C.$6a^2b^2+4ab^3$
D.$4a^2b^2$
1 …$(a+b)^0=1$
1 1 …$(a+b)^1=a+b$
1 2 1 …$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
1 3 3 1 …
$)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$1 4 () () 1 …$(a+b)^4=a^4+4a^3b+$$+b^4$
A.$4ab^3$
B.$6a^2b^2$
C.$6a^2b^2+4ab^3$
D.$4a^2b^2$
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察左侧杨辉三角的数字规律，再结合右侧展开式的项的变化规律求解：首先看杨辉三角，除每行首尾的1外，其余每个数都等于它上方相邻两个数的和，可先求出$(a+b)^4$对应行的缺失系数；再观察展开式的项的特征：展开式中每一项的总次数等于乘方的次数，a的次数从高到低递减，b的次数从低到高递增，结合求出的系数就能写出完整展开式，找到缺失的项。
【解析】
1. 推导杨辉三角对应行的系数：
观察已知的杨辉三角，每行首尾数字为1，其余数字等于其上方相邻两个数的和。
对应$(a+b)^4$的行，已知前两个系数为1、4，最后一个系数为1，因此第三个系数为上一行相邻的$3+3=6$，第四个系数为上一行相邻的$3+1=4$，即该行系数依次为1、4、6、4、1。
2. 推导完整展开式：
观察给出的展开式规律：$(a+b)^n$的展开式中，每一项总次数为$n$，$a$的次数从$n$依次减1，$b$的次数从0依次加1，各项系数对应杨辉三角该行的数字。
因此$(a+b)^4$的完整展开式为：$\boldsymbol{(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$，可得所缺的项为$6a^2b^2+4ab^3$。
【答案】
C
【知识点】
杨辉三角规律；整式乘方展开；规律探究
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为载体，考查规律探索与应用能力，解题核心是准确归纳出系数变化规律和展开式的项的次数规律，难度较低，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先观察左侧杨辉三角的数字规律，再结合右侧展开式的项的变化规律求解：首先看杨辉三角，除每行首尾的1外，其余每个数都等于它上方相邻两个数的和，可先求出$(a+b)^4$对应行的缺失系数；再观察展开式的项的特征：展开式中每一项的总次数等于乘方的次数，a的次数从高到低递减，b的次数从低到高递增，结合求出的系数就能写出完整展开式，找到缺失的项。
【解析】
1. 推导杨辉三角对应行的系数：
观察已知的杨辉三角，每行首尾数字为1，其余数字等于其上方相邻两个数的和。
对应$(a+b)^4$的行，已知前两个系数为1、4，最后一个系数为1，因此第三个系数为上一行相邻的$3+3=6$，第四个系数为上一行相邻的$3+1=4$，即该行系数依次为1、4、6、4、1。
2. 推导完整展开式：
观察给出的展开式规律：$(a+b)^n$的展开式中，每一项总次数为$n$，$a$的次数从$n$依次减1，$b$的次数从0依次加1，各项系数对应杨辉三角该行的数字。
因此$(a+b)^4$的完整展开式为：$\boldsymbol{(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}$，可得所缺的项为$6a^2b^2+4ab^3$。
【答案】
C
【知识点】
杨辉三角规律；整式乘方展开；规律探究
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为载体，考查规律探索与应用能力，解题核心是准确归纳出系数变化规律和展开式的项的次数规律，难度较低，侧重对观察归纳能力的考查。
【难度系数】
0.7
8.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.一种用“因式分解法”产生的密码更方便记忆，产生方法是:如对于多项式$x^4 - y^4$，因式分解的结果是$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$，取$x=9$，$y=9$时，各个因式的值是:$(x - y)=0$，$(x + y)=18$，$x^2 + y^2=162$，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式$9x^4 - x^2y^2$，取$x=8$，$y=11$时，用上述方法产生的密码不可能是()
A.643513
B.643153
C.641335
D.356413
A.643513
B.643153
C.641335
D.356413
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，需按照“因式分解法”产生密码的规则分步思考：第一步先对给定的多项式进行因式分解，得到几个因式的乘积形式；第二步将x=8、y=11代入各个因式，算出每个因式的数值；第三步明确密码是这几个数值按任意顺序排列组成的六位数，因此只需判断选项拆分后的三个两位数是否都是我们算出的因式值，不匹配的就是不可能的密码。
【解析】
首先对多项式$9x^4 - x^2y^2$进行因式分解：
1. 先提取公因式$x^2$：
$9x^4 - x^2y^2 = x^2(9x^2 - y^2)$
2. 再利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$9x^2 - y^2$，其中$a=3x$，$b=y$：
$x^2(9x^2 - y^2) = x^2(3x - y)(3x + y)$
接下来代入$x=8$，$y=11$计算每个因式的值：
$x^2 = 8^2 = 64$
$3x - y = 3×8 - 11 = 24 - 11 = 13$
$3x + y = 3×8 + 11 = 24 + 11 = 35$
因此组成密码的三个固定数值是64、13、35，密码为三者任意顺序拼接的六位数：
A选项拆分为64、35、13，符合要求；
B选项拆分为64、31、53，31和53均不是计算得到的因式值，不符合要求；
C选项拆分为64、13、35，符合要求；
D选项拆分为35、64、13，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题核心是正确对多项式因式分解并准确代值计算，需要注意各因式的排列顺序不固定，只要三个数值均出现在密码中即为合理。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照“因式分解法”产生密码的规则分步思考：第一步先对给定的多项式进行因式分解，得到几个因式的乘积形式；第二步将x=8、y=11代入各个因式，算出每个因式的数值；第三步明确密码是这几个数值按任意顺序排列组成的六位数，因此只需判断选项拆分后的三个两位数是否都是我们算出的因式值，不匹配的就是不可能的密码。
【解析】
首先对多项式$9x^4 - x^2y^2$进行因式分解：
1. 先提取公因式$x^2$：
$9x^4 - x^2y^2 = x^2(9x^2 - y^2)$
2. 再利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$分解$9x^2 - y^2$，其中$a=3x$，$b=y$：
$x^2(9x^2 - y^2) = x^2(3x - y)(3x + y)$
接下来代入$x=8$，$y=11$计算每个因式的值：
$x^2 = 8^2 = 64$
$3x - y = 3×8 - 11 = 24 - 11 = 13$
$3x + y = 3×8 + 11 = 24 + 11 = 35$
因此组成密码的三个固定数值是64、13、35，密码为三者任意顺序拼接的六位数：
A选项拆分为64、35、13，符合要求；
B选项拆分为64、31、53，31和53均不是计算得到的因式值，不符合要求；
C选项拆分为64、13、35，符合要求；
D选项拆分为35、64、13，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合生活中的密码设置场景考查因式分解的实际应用，解题核心是正确对多项式因式分解并准确代值计算，需要注意各因式的排列顺序不固定，只要三个数值均出现在密码中即为合理。
【难度系数】
0.7
