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二、填空题
9. 在实数范围内分解因式 $x^2 - 2x - 4$ = .
9. 在实数范围内分解因式 $x^2 - 2x - 4$ = .
答案
$\boldsymbol{(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})}$
解析
【分析】
观察二次三项式$x^2 - 2x - 4$，既没有公因式，也无法直接用十字相乘法分解，因此优先选择配方法解题：先将含$x$的项配成完全平方形式，把原式转化为平方差的结构，再套用平方差公式完成分解，整个过程符合八年级知识要求，不需要超纲方法。
【解析】
对原式先配方再用平方差公式分解，步骤如下：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - 4&=x^2 - 2x + 1 - 1 - 4\\&=(x-1)^2 - 5\\&=(x-1)^2 - (\sqrt{5})^2\end{aligned}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=\sqrt{5}$，代入得：
原式$=(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})$
【答案】
$\boldsymbol{(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})}$
【知识点】
配方法、平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，解题核心是通过配方将原式转化为平方差结构，需要注意实数范围内分解要彻底，正的常数项要写成算术平方根的平方形式。
【难度系数】
0.7
观察二次三项式$x^2 - 2x - 4$，既没有公因式，也无法直接用十字相乘法分解，因此优先选择配方法解题：先将含$x$的项配成完全平方形式，把原式转化为平方差的结构，再套用平方差公式完成分解，整个过程符合八年级知识要求，不需要超纲方法。
【解析】
对原式先配方再用平方差公式分解，步骤如下：
$\begin{aligned}x^2 - 2x - 4&=x^2 - 2x + 1 - 1 - 4\\&=(x-1)^2 - 5\\&=(x-1)^2 - (\sqrt{5})^2\end{aligned}$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=\sqrt{5}$，代入得：
原式$=(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})$
【答案】
$\boldsymbol{(x-1+\sqrt{5})(x-1-\sqrt{5})}$
【知识点】
配方法、平方差公式、因式分解
【点评】
本题考查二次三项式在实数范围内的因式分解，解题核心是通过配方将原式转化为平方差结构，需要注意实数范围内分解要彻底，正的常数项要写成算术平方根的平方形式。
【难度系数】
0.7
10.已知$a+2b=4$，$ab=2$，则$a^2+4b^2=$，$(a-2b)^2=$.
答案
$\boldsymbol{8}$，$\boldsymbol{0}$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：1. 观察所求的$a^2+4b^2$，可联想到完全平方公式$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，将公式变形即可用已知的$a+2b$和$ab$的值求出$a^2+4b^2$；2. 求$(a-2b)^2$时，可利用完全平方公式展开为$a^2-4ab+4b^2$，代入已经求出的$a^2+4b^2$和已知的$ab$的值即可计算，无需单独算出$a$、$b$的具体值，简化计算。
【解析】
1. 计算$a^2+4b^2$：
根据完全平方公式可得$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，变形得$a^2+4b^2=(a+2b)^2-4ab$。
将$a+2b=4$，$ab=2$代入得：
$a^2+4b^2=4^2 - 4×2=16-8=8$。
2. 计算$(a-2b)^2$：
根据完全平方公式可得$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2=(a^2+4b^2)-4ab$。
将$a^2+4b^2=8$，$ab=2$代入得：
$(a-2b)^2=8 - 4×2=8-8=0$。
【答案】
$8$，$0$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式的展开式和常用变形是解题的核心，利用公式变形求解可大幅降低计算量，避免直接求解参数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的变形应用，解题思路如下：1. 观察所求的$a^2+4b^2$，可联想到完全平方公式$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，将公式变形即可用已知的$a+2b$和$ab$的值求出$a^2+4b^2$；2. 求$(a-2b)^2$时，可利用完全平方公式展开为$a^2-4ab+4b^2$，代入已经求出的$a^2+4b^2$和已知的$ab$的值即可计算，无需单独算出$a$、$b$的具体值，简化计算。
【解析】
1. 计算$a^2+4b^2$：
根据完全平方公式可得$(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2$，变形得$a^2+4b^2=(a+2b)^2-4ab$。
将$a+2b=4$，$ab=2$代入得：
$a^2+4b^2=4^2 - 4×2=16-8=8$。
2. 计算$(a-2b)^2$：
根据完全平方公式可得$(a-2b)^2=a^2-4ab+4b^2=(a^2+4b^2)-4ab$。
将$a^2+4b^2=8$，$ab=2$代入得：
$(a-2b)^2=8 - 4×2=8-8=0$。
【答案】
$8$，$0$
【知识点】
完全平方公式；代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活运用，熟练掌握完全平方公式的展开式和常用变形是解题的核心，利用公式变形求解可大幅降低计算量，避免直接求解参数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
11.小玉和小丽做游戏，两人各报一个整式，小玉报的整式作为被除式，小丽报的整式作为除式，要求商式必须是$3ab$.若小玉报的整式是$3a^2b - ab^2$，则小丽报的整式是________；若小丽报的整式是$9a^2b$，则小玉报的整式是________.
答案
解：
小丽报的整式为：
$\begin{aligned}(3a^2b - ab^2) ÷ 3ab &= 3a^2b ÷ 3ab - ab^2 ÷ 3ab \\&= a - \frac{1}{3}b\end{aligned}$
小玉报的整式为：
$9a^2b × 3ab = 27a^3b^2$
答案依次为：$\boldsymbol{a-\dfrac{1}{3}b}$；$\boldsymbol{27a^3b^2}$。
小丽报的整式为：
$\begin{aligned}(3a^2b - ab^2) ÷ 3ab &= 3a^2b ÷ 3ab - ab^2 ÷ 3ab \\&= a - \frac{1}{3}b\end{aligned}$
小玉报的整式为：
$9a^2b × 3ab = 27a^3b^2$
答案依次为：$\boldsymbol{a-\dfrac{1}{3}b}$；$\boldsymbol{27a^3b^2}$。
解析
【分析】
解题前先明确整式除法中三个量的关系：被除式÷除式=商式，由此可推出两个推导公式：①除式=被除式÷商式；②被除式=除式×商式。
第一个空已知被除式和商式，求除式，直接用推导公式①，按照多项式除以单项式的法则计算即可；第二个空已知除式和商式，求被除式，用推导公式②，按照单项式乘单项式的法则计算即可。
【解析】
1. 求小丽报的整式（即除式）：
根据除式=被除式÷商式，可得：
$\begin{aligned}(3a^2b - ab^2) ÷ 3ab &= 3a^2b ÷ 3ab - ab^2 ÷ 3ab \\&= a - \frac{1}{3}b\end{aligned}$
2. 求小玉报的整式（即被除式）：
根据被除式=除式×商式，可得：
$9a^2b × 3ab = (9×3)×(a^2·a)×(b·b) = 27a^3b^2$
【答案】
$a-\dfrac{1}{3}b$；$27a^3b^2$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘单项式；除法各部分关系
【点评】
本题属于整式乘除的基础运算题，解题关键是理清被除式、除式、商式三者的运算关系，计算时注意系数运算和同底数幂的乘除规则，避免出现指数、系数计算错误。
【难度系数】
0.8
解题前先明确整式除法中三个量的关系：被除式÷除式=商式，由此可推出两个推导公式：①除式=被除式÷商式；②被除式=除式×商式。
第一个空已知被除式和商式，求除式，直接用推导公式①，按照多项式除以单项式的法则计算即可；第二个空已知除式和商式，求被除式，用推导公式②，按照单项式乘单项式的法则计算即可。
【解析】
1. 求小丽报的整式（即除式）：
根据除式=被除式÷商式，可得：
$\begin{aligned}(3a^2b - ab^2) ÷ 3ab &= 3a^2b ÷ 3ab - ab^2 ÷ 3ab \\&= a - \frac{1}{3}b\end{aligned}$
2. 求小玉报的整式（即被除式）：
根据被除式=除式×商式，可得：
$9a^2b × 3ab = (9×3)×(a^2·a)×(b·b) = 27a^3b^2$
【答案】
$a-\dfrac{1}{3}b$；$27a^3b^2$
【知识点】
多项式除以单项式；单项式乘单项式；除法各部分关系
【点评】
本题属于整式乘除的基础运算题，解题关键是理清被除式、除式、商式三者的运算关系，计算时注意系数运算和同底数幂的乘除规则，避免出现指数、系数计算错误。
【难度系数】
0.8
12.把一根 20 cm 长的铁丝分成两段,将每一段围成一个正方形.若这两个正方形的面积之差是 5 cm²,则这两段铁丝的长分别为.
答案
解：
设其中一段铁丝的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
两段铁丝围成的正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 - ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 5$
利用平方差公式因式分解得：
$( \frac{x}{4} - \frac{20 - x}{4} )( \frac{x}{4} + \frac{20 - x}{4} ) = 5$
化简得：
$\frac{2x - 20}{4} × 5 = 5$
$\frac{x - 10}{2} = 1$
解得：$ x = 12 $
则另一段铁丝的长为$ 20 - 12 = 8 \, \mathrm{cm} $。
答：这两段铁丝的长分别为12 cm和8 cm。
设其中一段铁丝的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
两段铁丝围成的正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 - ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 5$
利用平方差公式因式分解得：
$( \frac{x}{4} - \frac{20 - x}{4} )( \frac{x}{4} + \frac{20 - x}{4} ) = 5$
化简得：
$\frac{2x - 20}{4} × 5 = 5$
$\frac{x - 10}{2} = 1$
解得：$ x = 12 $
则另一段铁丝的长为$ 20 - 12 = 8 \, \mathrm{cm} $。
答：这两段铁丝的长分别为12 cm和8 cm。
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步设未知数，设其中一段铁丝长为x cm，根据总长度可得另一段长为(20-x)cm；第二步表示两个正方形的边长，根据正方形周长=边长×4，可得两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}$cm和$\frac{20-x}{4}$cm；第三步建立等量关系，根据“两个正方形的面积之差是5cm²”列方程；第四步解方程，利用平方差公式因式分解能简化运算，避免复杂的平方展开计算，求出x后再计算另一段长度，验证结果符合实际即可。
【解析】
设其中一段铁丝的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
两段铁丝围成的正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 - ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 5$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解得：
$( \frac{x}{4} - \frac{20 - x}{4} )( \frac{x}{4} + \frac{20 - x}{4} ) = 5$
化简得：
$\frac{2x - 20}{4} × 5 = 5$
$\frac{x - 10}{2} = 1$
解得：$ x = 12 $
则另一段铁丝的长为$ 20 - 12 = 8 \, \mathrm{cm} $。
经检验，两段长度均为正数，符合实际情况。
【答案】
12 cm和8 cm
【知识点】
正方形周长与面积计算，平方差公式应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心是抓住面积差的等量关系建立方程，巧用平方差公式因式分解可大幅简化计算过程，降低运算出错概率，得出结果后要注意验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步设未知数，设其中一段铁丝长为x cm，根据总长度可得另一段长为(20-x)cm；第二步表示两个正方形的边长，根据正方形周长=边长×4，可得两个正方形边长分别为$\frac{x}{4}$cm和$\frac{20-x}{4}$cm；第三步建立等量关系，根据“两个正方形的面积之差是5cm²”列方程；第四步解方程，利用平方差公式因式分解能简化运算，避免复杂的平方展开计算，求出x后再计算另一段长度，验证结果符合实际即可。
【解析】
设其中一段铁丝的长为$ x \, \mathrm{cm} $，则另一段铁丝的长为$ (20 - x) \, \mathrm{cm} $。
两段铁丝围成的正方形的边长分别为$ \frac{x}{4} \, \mathrm{cm} $和$ \frac{20 - x}{4} \, \mathrm{cm} $。
根据题意列方程：
$( \frac{x}{4} )^2 - ( \frac{20 - x}{4} )^2 = 5$
利用平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$因式分解得：
$( \frac{x}{4} - \frac{20 - x}{4} )( \frac{x}{4} + \frac{20 - x}{4} ) = 5$
化简得：
$\frac{2x - 20}{4} × 5 = 5$
$\frac{x - 10}{2} = 1$
解得：$ x = 12 $
则另一段铁丝的长为$ 20 - 12 = 8 \, \mathrm{cm} $。
经检验，两段长度均为正数，符合实际情况。
【答案】
12 cm和8 cm
【知识点】
正方形周长与面积计算，平方差公式应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础应用题，核心是抓住面积差的等量关系建立方程，巧用平方差公式因式分解可大幅简化计算过程，降低运算出错概率，得出结果后要注意验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
13.一个大正方形和四个全等的小正方形按如图1和图2的两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用含a，b的式子表示）。
答案
$\boldsymbol{ab}$
解析
【分析】
要求图2中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积，本质是求大正方形面积与4个小正方形总面积的差。我们可以先设大正方形边长为x，小正方形边长为y，结合图1、图2的长度标注，推导x、y与a、b的关系，再代入面积表达式，利用整式乘法公式化简即可得到结果。
【解析】
设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。
观察图1的长度关系可得：$ x + 2y = a $
观察图2的长度关系可得：$ x - 2y = b $
图2未被覆盖部分的面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形的面积，即：
$ S = x^2 - 4y^2 $
根据平方差公式因式分解得：
$ x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y) $
将$ x + 2y = a $、$ x - 2y = b $整体代入上式，可得：
$ S = ab $
【答案】
$ ab $
【知识点】
平方差公式，列代数式，整体代入求值
【点评】
本题将几何图形的边长关系和代数化简结合，解题关键是准确梳理大、小正方形边长与a、b的等量关系，无需单独求解x、y的具体值，利用平方差公式整体代入计算即可简化过程。
【难度系数】
0.7
要求图2中大正方形未被小正方形覆盖部分的面积，本质是求大正方形面积与4个小正方形总面积的差。我们可以先设大正方形边长为x，小正方形边长为y，结合图1、图2的长度标注，推导x、y与a、b的关系，再代入面积表达式，利用整式乘法公式化简即可得到结果。
【解析】
设大正方形的边长为$ x $，小正方形的边长为$ y $。
观察图1的长度关系可得：$ x + 2y = a $
观察图2的长度关系可得：$ x - 2y = b $
图2未被覆盖部分的面积 = 大正方形面积 - 4个小正方形的面积，即：
$ S = x^2 - 4y^2 $
根据平方差公式因式分解得：
$ x^2 - 4y^2 = (x + 2y)(x - 2y) $
将$ x + 2y = a $、$ x - 2y = b $整体代入上式，可得：
$ S = ab $
【答案】
$ ab $
【知识点】
平方差公式，列代数式，整体代入求值
【点评】
本题将几何图形的边长关系和代数化简结合，解题关键是准确梳理大、小正方形边长与a、b的等量关系，无需单独求解x、y的具体值，利用平方差公式整体代入计算即可简化过程。
【难度系数】
0.7
三、解答题
14.先化简，再求值：
(1)$(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)$，
其中$a = \frac{1}{2}, b = -1$；
(2)$(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)$，其中
$a = \sqrt{2}, b = -1$。
14.先化简，再求值：
(1)$(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)$，
其中$a = \frac{1}{2}, b = -1$；
(2)$(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)$，其中
$a = \sqrt{2}, b = -1$。
答案
解：
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}, b=-1$代入：
原式$=-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)\\=&a^2 - 4b^2 - b^2\\=&a^2 - 5b^2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}, b=-1$代入：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 5×(-1)^2=2 - 5=-3$。
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}, b=-1$代入：
原式$=-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)\\=&a^2 - 4b^2 - b^2\\=&a^2 - 5b^2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}, b=-1$代入：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 5×(-1)^2=2 - 5=-3$。
解析
【分析】
对于这类化简求值题，优先化简再代入数值计算，可减少计算量、降低出错率。解题思路如下：①先根据整式运算法则分别计算式子中的乘除部分：多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以除式；符合平方差公式形式的乘法运算直接用公式展开。②去括号时注意括号前是负号时，括号内各项要变号，再合并同类项得到最简整式。③将对应数值代入最简式，准确计算出结果即可，注意负数、根式的乘方运算规则。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}, b=-1$代入最简式：
原式$=-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)\\=&a^2 - 4b^2 - b^2\\=&a^2 - 5b^2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}, b=-1$代入最简式：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 5×(-1)^2=2 - 5=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整式乘除法则、平方差公式的应用，以及运算的准确性，解题时需注意去括号的符号变化和运算顺序，熟练掌握相关法则和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
对于这类化简求值题，优先化简再代入数值计算，可减少计算量、降低出错率。解题思路如下：①先根据整式运算法则分别计算式子中的乘除部分：多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以除式；符合平方差公式形式的乘法运算直接用公式展开。②去括号时注意括号前是负号时，括号内各项要变号，再合并同类项得到最简整式。③将对应数值代入最简式，准确计算出结果即可，注意负数、根式的乘方运算规则。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a^2b - 2ab^2 - b^3) ÷ b - (a + b)(a - b)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - (a^2 - b^2)\\=&a^2 - 2ab - b^2 - a^2 + b^2\\=&-2ab\end{aligned}$
将$a=\frac{1}{2}, b=-1$代入最简式：
原式$=-2×\frac{1}{2}×(-1)=1$。
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}&(a - 2b)(a + 2b) + ab^3 ÷ (-ab)\\=&a^2 - 4b^2 - b^2\\=&a^2 - 5b^2\end{aligned}$
将$a=\sqrt{2}, b=-1$代入最简式：
原式$=(\sqrt{2})^2 - 5×(-1)^2=2 - 5=-3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{-3}$
【知识点】
整式的混合运算，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题是整式运算的常规基础题，重点考查整式乘除法则、平方差公式的应用，以及运算的准确性，解题时需注意去括号的符号变化和运算顺序，熟练掌握相关法则和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
15.分解因式：
(1)$3x^2y - 27y$；
(2)$20a^2b - 20ab + 5b$；
(3)$a^2(m - n) + 9(n - m)$；
(4)$-9(2x - 1)^2 - 6(2x - 1) - 1$。
(1)$3x^2y - 27y$；
(2)$20a^2b - 20ab + 5b$；
(3)$a^2(m - n) + 9(n - m)$；
(4)$-9(2x - 1)^2 - 6(2x - 1) - 1$。
答案
解：
(1) 原式$=3y(x^2 - 9)$
$=3y(x+3)(x-3)$
(2) 原式$=5b(4a^2 - 4a + 1)$
$=5b(2a-1)^2$
(3) 原式$=a^2(m-n) - 9(m-n)$
$=(m-n)(a^2 - 9)$
$=(m-n)(a+3)(a-3)$
(4) 原式$=-[9(2x-1)^2 + 6(2x-1) + 1]$
$=-[3(2x-1)+1]^2$
$=-(6x-2)^2$
$=-4(3x-1)^2$
(1) 原式$=3y(x^2 - 9)$
$=3y(x+3)(x-3)$
(2) 原式$=5b(4a^2 - 4a + 1)$
$=5b(2a-1)^2$
(3) 原式$=a^2(m-n) - 9(m-n)$
$=(m-n)(a^2 - 9)$
$=(m-n)(a+3)(a-3)$
(4) 原式$=-[9(2x-1)^2 + 6(2x-1) + 1]$
$=-[3(2x-1)+1]^2$
$=-(6x-2)^2$
$=-4(3x-1)^2$
解析
【分析】
分解因式的通用思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）的结构，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。解题时要注意变形过程中的符号问题，还可运用整体思想简化计算，如第(4)题可将$2x-1$看作整体处理。
【解析】
(1) 先提取公因式$3y$，得原式$=3y(x^2 - 9)$，剩余的$x^2-9$符合平方差公式结构，继续分解得$3y(x+3)(x-3)$；
(2) 先提取公因式$5b$，得原式$=5b(4a^2 - 4a + 1)$，剩余的$4a^2-4a+1$符合完全平方公式结构，对应$(2a-1)^2$，因此结果为$5b(2a-1)^2$；
(3) 先将$n-m$变形为$-(m-n)$统一公因式，得原式$=a^2(m-n) - 9(m-n)$，提取公因式$(m-n)$得$(m-n)(a^2 - 9)$，剩余的$a^2-9$符合平方差公式，继续分解得$(m-n)(a+3)(a-3)$；
(4) 先提取负号，得原式$=-[9(2x-1)^2 + 6(2x-1) + 1]$，括号内的多项式符合完全平方公式结构，把$3(2x-1)$看作整体，得$-[3(2x-1)+1]^2$，展开整理为$-(6x-2)^2$，提取系数公因式后最终化简为$-4(3x-1)^2$。
【答案】
(1) $3y(x+3)(x-3)$
(2) $5b(2a-1)^2$
(3) $(m-n)(a+3)(a-3)$
(4) $-4(3x-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考察“一提二套三查”的分解步骤，解题时要注意公因式要提尽，符号变形要准确，遇到复杂结构时可以运用整体思想简化判断，最后要验证因式是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
分解因式的通用思路为“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，判断是否符合平方差公式（$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$）或完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）的结构，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。解题时要注意变形过程中的符号问题，还可运用整体思想简化计算，如第(4)题可将$2x-1$看作整体处理。
【解析】
(1) 先提取公因式$3y$，得原式$=3y(x^2 - 9)$，剩余的$x^2-9$符合平方差公式结构，继续分解得$3y(x+3)(x-3)$；
(2) 先提取公因式$5b$，得原式$=5b(4a^2 - 4a + 1)$，剩余的$4a^2-4a+1$符合完全平方公式结构，对应$(2a-1)^2$，因此结果为$5b(2a-1)^2$；
(3) 先将$n-m$变形为$-(m-n)$统一公因式，得原式$=a^2(m-n) - 9(m-n)$，提取公因式$(m-n)$得$(m-n)(a^2 - 9)$，剩余的$a^2-9$符合平方差公式，继续分解得$(m-n)(a+3)(a-3)$；
(4) 先提取负号，得原式$=-[9(2x-1)^2 + 6(2x-1) + 1]$，括号内的多项式符合完全平方公式结构，把$3(2x-1)$看作整体，得$-[3(2x-1)+1]^2$，展开整理为$-(6x-2)^2$，提取系数公因式后最终化简为$-4(3x-1)^2$。
【答案】
(1) $3y(x+3)(x-3)$
(2) $5b(2a-1)^2$
(3) $(m-n)(a+3)(a-3)$
(4) $-4(3x-1)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，核心考察“一提二套三查”的分解步骤，解题时要注意公因式要提尽，符号变形要准确，遇到复杂结构时可以运用整体思想简化判断，最后要验证因式是否分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
16.设$A=2x^2 - 3xy + y^2 - x + 2y$，$B=4x^2 - 6xy + 2y^2 - 3x - y$，若$|x - 2a| + (y + 3)^2 = 0$，且$-2A + B = a$，求$A$的值。
答案
解：
先化简$-2A+B$：
$\begin{aligned}-2A+B&=-2(2x^2-3xy+y^2-x+2y)+(4x^2-6xy+2y^2-3x-y)\\&=-4x^2+6xy-2y^2+2x-4y+4x^2-6xy+2y^2-3x-y\\&=-x-5y\end{aligned}$
由$-2A+B=a$，可得：
$-x-5y=a$
因为$|x-2a|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2a|+(y+3)^2=0$，所以：
$\begin{cases}x-2a=0\\y+3=0\end{cases}$
解得$y=-3$，$x=2a$。
将$y=-3$，$x=2a$代入$-x-5y=a$，得：
$-2a -5×(-3)=a$
整理得$3a=15$，解得$a=5$。
因此$x=2a=10$，$y=-3$。
将$x=10$，$y=-3$代入$A$：
$\begin{aligned}A&=2×10^2 -3×10×(-3)+(-3)^2 -10 +2×(-3)\\&=200+90+9-10-6\\&=283\end{aligned}$
答：$A$的值为283。
先化简$-2A+B$：
$\begin{aligned}-2A+B&=-2(2x^2-3xy+y^2-x+2y)+(4x^2-6xy+2y^2-3x-y)\\&=-4x^2+6xy-2y^2+2x-4y+4x^2-6xy+2y^2-3x-y\\&=-x-5y\end{aligned}$
由$-2A+B=a$，可得：
$-x-5y=a$
因为$|x-2a|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2a|+(y+3)^2=0$，所以：
$\begin{cases}x-2a=0\\y+3=0\end{cases}$
解得$y=-3$，$x=2a$。
将$y=-3$，$x=2a$代入$-x-5y=a$，得：
$-2a -5×(-3)=a$
整理得$3a=15$，解得$a=5$。
因此$x=2a=10$，$y=-3$。
将$x=10$，$y=-3$代入$A$：
$\begin{aligned}A&=2×10^2 -3×10×(-3)+(-3)^2 -10 +2×(-3)\\&=200+90+9-10-6\\&=283\end{aligned}$
答：$A$的值为283。
解析
【分析】
本题要求A的值，需先求出x、y的具体取值，解题思路如下：1. 先对-2A+B进行整式加减化简，消去二次项后得到仅含x、y的一次式，降低后续计算量；2. 利用绝对值和平方的非负性：两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，据此得出x与a的关系、y的取值；3. 将x、y的表达式代入-2A+B=a的等量关系中，解一元一次方程求出a的值，进而得到x的取值；4. 最后把x、y的值代入A的表达式计算即可得到结果。
【解析】
先化简$-2A+B$：
$\begin{aligned}-2A+B&=-2(2x^2-3xy+y^2-x+2y)+(4x^2-6xy+2y^2-3x-y)\\&=-4x^2+6xy-2y^2+2x-4y+4x^2-6xy+2y^2-3x-y\\&=-x-5y\end{aligned}$
由$-2A+B=a$，可得：$-x-5y=a$
因为$|x-2a|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2a|+(y+3)^2=0$，根据非负数的性质得：
$\begin{cases}x-2a=0\\y+3=0\end{cases}$
解得$y=-3$，$x=2a$。
将$y=-3$，$x=2a$代入$-x-5y=a$，得：
$-2a -5×(-3)=a$
整理得$3a=15$，解得$a=5$。
因此$x=2a=10$，$y=-3$。
将$x=10$，$y=-3$代入A的表达式：
$\begin{aligned}A&=2×10^2 -3×10×(-3)+(-3)^2 -10 +2×(-3)\\&=200+90+9-10-6\\&=283\end{aligned}$
【答案】
283
【知识点】
非负数的性质、整式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题是整式运算与非负性的综合应用题，解题核心是先化简整式降低计算量，再结合非负性的特征求出未知参数，计算过程中需注意去括号、代值时的符号问题，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.65
本题要求A的值，需先求出x、y的具体取值，解题思路如下：1. 先对-2A+B进行整式加减化简，消去二次项后得到仅含x、y的一次式，降低后续计算量；2. 利用绝对值和平方的非负性：两个非负数相加和为0时，两个非负数各自为0，据此得出x与a的关系、y的取值；3. 将x、y的表达式代入-2A+B=a的等量关系中，解一元一次方程求出a的值，进而得到x的取值；4. 最后把x、y的值代入A的表达式计算即可得到结果。
【解析】
先化简$-2A+B$：
$\begin{aligned}-2A+B&=-2(2x^2-3xy+y^2-x+2y)+(4x^2-6xy+2y^2-3x-y)\\&=-4x^2+6xy-2y^2+2x-4y+4x^2-6xy+2y^2-3x-y\\&=-x-5y\end{aligned}$
由$-2A+B=a$，可得：$-x-5y=a$
因为$|x-2a|≥0$，$(y+3)^2≥0$，且$|x-2a|+(y+3)^2=0$，根据非负数的性质得：
$\begin{cases}x-2a=0\\y+3=0\end{cases}$
解得$y=-3$，$x=2a$。
将$y=-3$，$x=2a$代入$-x-5y=a$，得：
$-2a -5×(-3)=a$
整理得$3a=15$，解得$a=5$。
因此$x=2a=10$，$y=-3$。
将$x=10$，$y=-3$代入A的表达式：
$\begin{aligned}A&=2×10^2 -3×10×(-3)+(-3)^2 -10 +2×(-3)\\&=200+90+9-10-6\\&=283\end{aligned}$
【答案】
283
【知识点】
非负数的性质、整式的加减运算、代数式求值
【点评】
本题是整式运算与非负性的综合应用题，解题核心是先化简整式降低计算量，再结合非负性的特征求出未知参数，计算过程中需注意去括号、代值时的符号问题，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.65
