17.对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$，可以直接用公式法将它因式分解为$(x+a)^2$的形式，但对于二次三项式$x^2+2ax-3a^2$，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式$x^2+2ax-3a^2$中先加上一项$a^2$，使其成为完全平方式，再减去$a^2$这项，使整个式子的值不变.于是有
$x^2+2ax-3a^2=x^2+2ax-3a^2+a^2-a^2$
$=x^2+2ax+a^2-a^2-3a^2$
$=(x+a)^2-(2a)^2$
$=(x+3a)(x-a)$.
像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫作添(拆)项法.
(1)请用上述方法把$x^2-4x+3$因式分解；
(2)多项式$x^2+2x+2$有最小值吗？如果有，那么当它有最小值时$x$的值是多少？

解：
(1) $x^2 - 4x + 3$
$=x^2 -4x +4 -4 +3$
$=(x-2)^2 -1^2$
$=(x-2+1)(x-2-1)$
$=(x-1)(x-3)$
(2) $x^2 + 2x + 2$
$=x^2 +2x +1 +1$
$=(x+1)^2 +1$
$\because (x+1)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$(x+1)^2=0$时，多项式$x^2+2x+2$取得最小值，
此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
答：多项式$x^2+2x+2$有最小值，当它有最小值时$x$的值是$-1$。

【分析】
(1) 因式分解$x^2-4x+3$时，参照题干的添项法思路：先观察二次项和一次项的特征，$x^2-4x$凑完全平方式需要加4，因此先加4再减4保证原式的值不变，将式子转化为“完全平方式-常数”的形式，再利用平方差公式分解即可。
(2) 求多项式$x^2+2x+2$的最值时，同样使用配方法，将二次三项式转化为“完全平方式+常数”的形式，根据平方的非负性，当完全平方式为0时，整个多项式的值最小，据此求解对应的x值即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - 4x + 3$因式分解：
$\begin{aligned}x^2 - 4x + 3&=x^2 -4x +4 -4 +3\\&=(x-2)^2 -1^2\\&=(x-2+1)(x-2-1)\\&=(x-1)(x-3)\end{aligned}$
(2) 求$x^2 + 2x + 2$的最值：
$\begin{aligned}x^2 + 2x + 2&=x^2 +2x +1 +1\\&=(x+1)^2 +1\end{aligned}$
$\because$ 任意实数的平方都是非负数，即$(x+1)^2 ≥ 0$，
$\therefore$ 当$(x+1)^2=0$时，多项式$x^2+2x+2$取得最小值，
此时$x+1=0$，解得$x=-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-1)(x-3)}$
(2) 有最小值，当它有最小值时$x$的值是$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 添拆项法因式分解
2. 完全平方公式
3. 平方的非负性
【点评】
本题核心考查配方法的灵活应用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，添拆项时要遵循代数式值不变的原则，同时要会利用平方的非负性求解代数式的最值问题，是对基础公式应用能力的有效考查。
【难度系数】
0.8

18.材料一:对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式.

(1)用不同代数式表示图1中的阴影部分的面积,可得等式为.
材料二:已知$a−b=−4$,$ab=3$,求$a^2+b^2$的值.
解:∵$a−b=−4$,$ab=3$,∴$a^2+b^2=(a−b)^2+2ab=(−4)^2+2×3=22$.
请你根据上述信息解答下面问题:
(2)①已知$a−b=−1$,$ab=12$,求$a^2+b^2$的值;
②已知$(2023−x)(2024−x)=12$,求$(2023−x)^2+(2024−x)^2$的值;
(3)如图2,在长方形$ABCD$中,$AB=8$,$BC=6$,点$E,F$是$BC,CD$上的点,且$BE=DF=x$,分别以$CF,CE$为边在长方形$ABCD$外侧作正方形$CFGH$和$CEMN$,若长方形$CEPF$的面积为35,则图中阴影部分的面积和为.

解：
(1) 图1中阴影部分面积可表示为边长为$a-b$的正方形面积$(a-b)^2$，也可表示为大正方形面积减去两个长为$a$宽为$b$的长方形面积再加回多减去的边长为$b$的小正方形面积$a^2-2ab+b^2$，可得等式：
$\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$
(2) ① $\because a-b=-1, ab=12$
$\therefore a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(-1)^2+2×12=1+24=25$
② 设$m=2023-x$，$n=2024-x$，则$m-n=(2023-x)-(2024-x)=-1$，由题意得$mn=12$
$\therefore (2023-x)^2+(2024-x)^2=m^2+n^2=(m-n)^2+2mn=(-1)^2+2×12=1+24=25$
(3) 由长方形$ABCD$性质得$CD=AB=8$，
$\therefore CF=CD-DF=8-x$，$CE=BC-BE=6-x$
$\because$ 长方形$CEPF$的面积为35，$\therefore (8-x)(6-x)=35$
设$p=8-x$，$q=6-x$，则$p-q=(8-x)-(6-x)=2$，$pq=35$
阴影部分面积和为$p^2+q^2=(p-q)^2+2pq=2^2+2×35=4+70=\boldsymbol{74}$

【分析】
(1) 先直接计算阴影部分面积：阴影是边长为$(a-b)$的正方形，面积为$(a-b)^2$；再用间接法计算：大正方形面积为$a^2$，减去周围2个长$a$宽$b$的长方形面积$2ab$，此时多减了右上角边长为$b$的小正方形面积，需加回$b^2$，即面积为$a^2-2ab+b^2$，两种方法表示的面积相等，即可得到等式。
(2) ① 直接运用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，将已知$a-b$和$ab$的值代入计算即可。② 用换元法，设$m=2023-x$，$n=2024-x$，先求出$m-n$的值，再结合已知$mn=12$，同样代入上述变形公式计算。
(3) 先根据长方形$ABCD$的边长，用含$x$的式子表示出$CF=8-x$，$CE=6-x$，由长方形$CEPF$的面积得$(8-x)(6-x)=35$；设$p=8-x$，$q=6-x$，求出$p-q$的值，阴影部分是两个正方形的面积和即$p^2+q^2$，代入完全平方变形公式计算即可。
【解析】
(1) 图1阴影部分直接求面积是边长为$(a-b)$的正方形面积：$(a-b)^2$；间接求面积是大正方形面积减去2个长$a$宽$b$的长方形面积，再加回多减的边长为$b$的小正方形面积：$a^2-2ab+b^2$，因此可得等式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
(2) ① 已知$a-b=-1$，$ab=12$，根据完全平方公式变形得：
$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab=(-1)^2+2×12=1+24=25$。
② 设$m=2023-x$，$n=2024-x$，则$m-n=(2023-x)-(2024-x)=-1$，由题意得$mn=12$，因此：
$(2023-x)^2+(2024-x)^2=m^2+n^2=(m-n)^2+2mn=(-1)^2+2×12=1+24=25$。
(3) 由长方形$ABCD$的性质得$CD=AB=8$，因此$CF=CD-DF=8-x$，$CE=BC-BE=6-x$。已知长方形$CEPF$的面积为35，即$(8-x)(6-x)=35$。
设$p=8-x$，$q=6-x$，则$p-q=(8-x)-(6-x)=2$，$pq=35$，阴影部分为两个正方形的面积和，即：
$p^2+q^2=(p-q)^2+2pq=2^2+2×35=4+70=74$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$；(2) ① $\boldsymbol{25}$；② $\boldsymbol{25}$；(3) $\boldsymbol{74}$
【知识点】
完全平方公式，换元法，代数式求值
【点评】
本题结合几何图形面积推导和代数运算，考查完全平方公式的灵活变形应用，其中换元法可以简化复杂代数式的计算，解题时需要掌握公式变形技巧，同时能从几何图形中准确提取对应的数量关系。
【难度系数】
0.7