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12. 先阅读下列材料，再解答问题.
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解：将“$x+y$”看成整体，设$x+y=m$，
是原式$=m^2 + 2m +1=(m+1)^2$，
再将$m=x+y$代入，得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你利用上述方法进行因式分解：
(1)$1 - 2(x - y) + (x - y)^2$.
(2)$25(a - 1)^2 -10(a -1)+1$.
(3)$(y^2 -4y)(y^2 -4y +8)+16$.
因式分解：$(x+y)^2 + 2(x+y) + 1$.
解：将“$x+y$”看成整体，设$x+y=m$，
是原式$=m^2 + 2m +1=(m+1)^2$，
再将$m=x+y$代入，得原式$=(x+y+1)^2$.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法.
请你利用上述方法进行因式分解：
(1)$1 - 2(x - y) + (x - y)^2$.
(2)$25(a - 1)^2 -10(a -1)+1$.
(3)$(y^2 -4y)(y^2 -4y +8)+16$.
答案
解：
(1) 设$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2=(1-m)^2$，
再将$m=x-y$代入，得原式$=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$。
(2) 设$a-1=n$，
则原式$=25n^2-10n+1=(5n-1)^2$，
再将$n=a-1$代入，得原式$=[5(a-1)-1]^2=(5a-6)^2$。
(3) 设$y^2-4y=k$，
则原式$=k(k+8)+16=k^2+8k+16=(k+4)^2$，
再将$k=y^2-4y$代入，得原式$=(y^2-4y+4)^2=[(y-2)^2]^2=(y-2)^4$。
(1) 设$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2=(1-m)^2$，
再将$m=x-y$代入，得原式$=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$。
(2) 设$a-1=n$，
则原式$=25n^2-10n+1=(5n-1)^2$，
再将$n=a-1$代入，得原式$=[5(a-1)-1]^2=(5a-6)^2$。
(3) 设$y^2-4y=k$，
则原式$=k(k+8)+16=k^2+8k+16=(k+4)^2$，
再将$k=y^2-4y$代入，得原式$=(y^2-4y+4)^2=[(y-2)^2]^2=(y-2)^4$。
解析
【分析】
本题考查整体思想在因式分解中的应用，解题思路如下：1. 先观察每个多项式的结构，找到式子中重复出现的多项式部分，将其视为一个整体；2. 对这个整体设元（换元），将原式转化为含有新字母的多项式，判断其符合完全平方公式的结构特征（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）；3. 先用完全平方公式对换元后的式子因式分解，再把所设的元还原为原来的多项式，最后检查分解结果是否还能继续因式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 设$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2$，符合完全平方公式的结构，分解得$(1-m)^2$，
再将$m=x-y$代回，得原式$=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$。
(2) 设$a-1=n$，
则原式$=25n^2-10n+1$，变形为$(5n)^2-2×5n×1+1^2$，符合完全平方公式的结构，分解得$(5n-1)^2$，
再将$n=a-1$代回，得原式$=[5(a-1)-1]^2=(5a-5-1)^2=(5a-6)^2$。
(3) 设$y^2-4y=k$，
则原式$=k(k+8)+16$，展开整理得$k^2+8k+16$，符合完全平方公式的结构，分解得$(k+4)^2$，
再将$k=y^2-4y$代回，得原式$=(y^2-4y+4)^2$，观察到$y^2-4y+4$还可以用完全平方公式分解为$(y-2)^2$，因此最终得$[(y-2)^2]^2=(y-2)^4$。
【答案】
(1) $(1-x+y)^2$
(2) $(5a-6)^2$
(3) $(y-2)^4$
【知识点】
整体换元思想，完全平方公式因式分解，因式分解要彻底
【点评】
本题是因式分解中的典型题型，核心是灵活运用整体思想简化复杂多项式的结构，解题时要先准确识别可换元的整体部分，换元后转化为熟悉的公式结构分解，最后一定要检查分解结果是否能继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
本题考查整体思想在因式分解中的应用，解题思路如下：1. 先观察每个多项式的结构，找到式子中重复出现的多项式部分，将其视为一个整体；2. 对这个整体设元（换元），将原式转化为含有新字母的多项式，判断其符合完全平方公式的结构特征（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$）；3. 先用完全平方公式对换元后的式子因式分解，再把所设的元还原为原来的多项式，最后检查分解结果是否还能继续因式分解，保证分解彻底。
【解析】
(1) 设$x-y=m$，
则原式$=1-2m+m^2$，符合完全平方公式的结构，分解得$(1-m)^2$，
再将$m=x-y$代回，得原式$=[1-(x-y)]^2=(1-x+y)^2$。
(2) 设$a-1=n$，
则原式$=25n^2-10n+1$，变形为$(5n)^2-2×5n×1+1^2$，符合完全平方公式的结构，分解得$(5n-1)^2$，
再将$n=a-1$代回，得原式$=[5(a-1)-1]^2=(5a-5-1)^2=(5a-6)^2$。
(3) 设$y^2-4y=k$，
则原式$=k(k+8)+16$，展开整理得$k^2+8k+16$，符合完全平方公式的结构，分解得$(k+4)^2$，
再将$k=y^2-4y$代回，得原式$=(y^2-4y+4)^2$，观察到$y^2-4y+4$还可以用完全平方公式分解为$(y-2)^2$，因此最终得$[(y-2)^2]^2=(y-2)^4$。
【答案】
(1) $(1-x+y)^2$
(2) $(5a-6)^2$
(3) $(y-2)^4$
【知识点】
整体换元思想，完全平方公式因式分解，因式分解要彻底
【点评】
本题是因式分解中的典型题型，核心是灵活运用整体思想简化复杂多项式的结构，解题时要先准确识别可换元的整体部分，换元后转化为熟悉的公式结构分解，最后一定要检查分解结果是否能继续分解，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
13.阅读以下文字,解答问题.
对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成$(x+a)^2$的形式,但是对于二次三项式$x^2+2ax-3a^2$,就不能直接运用完全平方公式了,我们可以在二次三项式$x^2+2ax-3a^2$中先加上一项$a^2$,使其成为完全平方式,再减去$a^2$这项,使整个式子的值不变,于是有$x^2+2ax-3a^2=x^2+2ax+a^2-a^2-3a^2=(x+a)^2-4a^2=[(x+a)+2a][(x+a)-2a]=(x+3a)(x-a)$.
(1)像这样把二次三项式分解因式的方法是;
(2)用上述方法将下列各式分解因式:
①$m^2-6m+8$; ②$x^4+4$.
对于二次三项式$x^2+2ax+a^2$这样的完全平方式,可以用公式法将它分解成$(x+a)^2$的形式,但是对于二次三项式$x^2+2ax-3a^2$,就不能直接运用完全平方公式了,我们可以在二次三项式$x^2+2ax-3a^2$中先加上一项$a^2$,使其成为完全平方式,再减去$a^2$这项,使整个式子的值不变,于是有$x^2+2ax-3a^2=x^2+2ax+a^2-a^2-3a^2=(x+a)^2-4a^2=[(x+a)+2a][(x+a)-2a]=(x+3a)(x-a)$.
(1)像这样把二次三项式分解因式的方法是;
(2)用上述方法将下列各式分解因式:
①$m^2-6m+8$; ②$x^4+4$.
答案
解：
(1) 配方法
① $m^2 - 6m + 8$
$=m^2 -6m +9 -9 +8$
$=(m-3)^2 -1$
$=(m-3+1)(m-3-1)$
$=(m-2)(m-4)$
② $x^4 +4$
$=x^4 +4x^2 +4 -4x^2$
$=(x^2 +2)^2 - (2x)^2$
$=(x^2 + 2x +2)(x^2 -2x +2)$
(1) 配方法
① $m^2 - 6m + 8$
$=m^2 -6m +9 -9 +8$
$=(m-3)^2 -1$
$=(m-3+1)(m-3-1)$
$=(m-2)(m-4)$
② $x^4 +4$
$=x^4 +4x^2 +4 -4x^2$
$=(x^2 +2)^2 - (2x)^2$
$=(x^2 + 2x +2)(x^2 -2x +2)$
解析
【分析】
第(1)问：题中给出的因式分解思路是先添加项凑出完全平方式，再利用平方差公式分解，这种方法就是配方法。
第(2)问题解思路：①对于$m^2-6m+8$，先根据一次项系数特征，加一次项系数一半的平方凑完全平方式，为保证式子值不变需同时减去相同的数，将式子转化为平方差形式后，用平方差公式分解即可。②对于$x^4+4$，$x^4$是$(x^2)^2$，常数项4是$2^2$，缺完全平方的中间交叉项，因此先加$4x^2$凑完全平方，同时减$4x^2$保证值不变，再转化为平方差形式分解，最后确认因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 这种先凑完全平方式再分解因式的方法是配方法。
① 分解$m^2-6m+8$：
$\begin{aligned}m^2 - 6m + 8&=m^2 -6m +9 -9 +8\\&=(m-3)^2 -1^2\\&=(m-3+1)(m-3-1)\\&=(m-2)(m-4)\end{aligned}$
② 分解$x^4 +4$：
$\begin{aligned}x^4 +4&=x^4 +4x^2 +4 -4x^2\\&=(x^2 +2)^2 - (2x)^2\\&=(x^2 + 2x +2)(x^2 -2x +2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 配方法
① $\boxed{(m-2)(m-4)}$
② $\boxed{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}$
【知识点】
配方法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活应用，核心是掌握配方法凑完全平方的技巧，结合平方差公式完成分解，解题时要注意凑完全平方时需保证式子的值不变，最终分解结果要彻底，不能再继续分解为止。
【难度系数】
0.7
第(1)问：题中给出的因式分解思路是先添加项凑出完全平方式，再利用平方差公式分解，这种方法就是配方法。
第(2)问题解思路：①对于$m^2-6m+8$，先根据一次项系数特征，加一次项系数一半的平方凑完全平方式，为保证式子值不变需同时减去相同的数，将式子转化为平方差形式后，用平方差公式分解即可。②对于$x^4+4$，$x^4$是$(x^2)^2$，常数项4是$2^2$，缺完全平方的中间交叉项，因此先加$4x^2$凑完全平方，同时减$4x^2$保证值不变，再转化为平方差形式分解，最后确认因式不能再分解即可。
【解析】
(1) 这种先凑完全平方式再分解因式的方法是配方法。
① 分解$m^2-6m+8$：
$\begin{aligned}m^2 - 6m + 8&=m^2 -6m +9 -9 +8\\&=(m-3)^2 -1^2\\&=(m-3+1)(m-3-1)\\&=(m-2)(m-4)\end{aligned}$
② 分解$x^4 +4$：
$\begin{aligned}x^4 +4&=x^4 +4x^2 +4 -4x^2\\&=(x^2 +2)^2 - (2x)^2\\&=(x^2 + 2x +2)(x^2 -2x +2)\end{aligned}$
【答案】
(1) 配方法
① $\boxed{(m-2)(m-4)}$
② $\boxed{(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)}$
【知识点】
配方法因式分解；平方差公式；完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的灵活应用，核心是掌握配方法凑完全平方的技巧，结合平方差公式完成分解，解题时要注意凑完全平方时需保证式子的值不变，最终分解结果要彻底，不能再继续分解为止。
【难度系数】
0.7
