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9.(1)已知$x-1=\sqrt{3}$，求代数式$(x+1)^2 -4(x+1)+4$的值；
(2)已知$a+b=3,ab=2$，求代数式$a^3b +2a^2b^2 +ab^3$的值。
(2)已知$a+b=3,ab=2$，求代数式$a^3b +2a^2b^2 +ab^3$的值。
答案
解：(1) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(x+1)^2 -4(x+1)+4&=[(x+1)-2]^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入，得：
原式$=(\sqrt{3})^2=3$。
(2) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b +2a^2b^2 +ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=2$代入，得：
原式$=2× 3^2=18$。
$\begin{aligned}(x+1)^2 -4(x+1)+4&=[(x+1)-2]^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入，得：
原式$=(\sqrt{3})^2=3$。
(2) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b +2a^2b^2 +ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=2$代入，得：
原式$=2× 3^2=18$。
解析
【分析】
(1) 观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方公式的特征，可将$x+1$看作整体，先利用完全平方公式对代数式因式分解化简，无需先求出$x$的具体值，化简后得到$(x-1)^2$，再将已知条件$x-1=\sqrt{3}$整体代入计算即可，能避免复杂运算。
(2) 观察所求代数式，每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再看剩余部分符合完全平方和公式的结构，继续因式分解得到$ab(a+b)^2$，再将已知的$a+b=3$、$ab=2$整体代入求值，无需单独求解$a$、$b$的值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(x+1)^2 -4(x+1)+4&=[(x+1)-2]^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入上式，得：
原式$=(\sqrt{3})^2=3$。
(2) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b +2a^2b^2 +ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式，得：
原式$=2× 3^2=18$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公式法因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解因式化简代数式，再整体代入已知条件求值，省去了求解未知数的步骤，降低了计算量，解题关键是准确识别代数式的结构，熟练运用因式分解的常用方法。
【难度系数】
0.8
(1) 观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方公式的特征，可将$x+1$看作整体，先利用完全平方公式对代数式因式分解化简，无需先求出$x$的具体值，化简后得到$(x-1)^2$，再将已知条件$x-1=\sqrt{3}$整体代入计算即可，能避免复杂运算。
(2) 观察所求代数式，每一项都含有公因式$ab$，先提取公因式，再看剩余部分符合完全平方和公式的结构，继续因式分解得到$ab(a+b)^2$，再将已知的$a+b=3$、$ab=2$整体代入求值，无需单独求解$a$、$b$的值，可简化计算过程。
【解析】
(1) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}(x+1)^2 -4(x+1)+4&=[(x+1)-2]^2\\&=(x-1)^2\end{aligned}$
将$x-1=\sqrt{3}$代入上式，得：
原式$=(\sqrt{3})^2=3$。
(2) 对代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b +2a^2b^2 +ab^3&=ab(a^2+2ab+b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=2$代入上式，得：
原式$=2× 3^2=18$。
【答案】
(1) $\boxed{3}$；(2) $\boxed{18}$
【知识点】
1. 提公因式法因式分解
2. 公式法因式分解
3. 整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解因式化简代数式，再整体代入已知条件求值，省去了求解未知数的步骤，降低了计算量，解题关键是准确识别代数式的结构，熟练运用因式分解的常用方法。
【难度系数】
0.8
10.若$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，判断$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的正负.
答案
解：
对原式因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2\\=&(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\=&[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\=&(a+b+c)(a+b - c)(a - b + c)(a - b - c)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$a＞0,b＞0,c＞0$，由三角形三边关系可得：
$a+b+c＞0$，
$a+b - c＞0$，
$a - b + c＞0$，
$a - b - c = a-(b+c)＜0$，
四个因式中三个为正、一个为负，因此乘积小于0。
∴$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$为负。
对原式因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2\\=&(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\=&[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\=&(a+b+c)(a+b - c)(a - b + c)(a - b - c)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$a＞0,b＞0,c＞0$，由三角形三边关系可得：
$a+b+c＞0$，
$a+b - c＞0$，
$a - b + c＞0$，
$a - b - c = a-(b+c)＜0$，
四个因式中三个为正、一个为负，因此乘积小于0。
∴$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$为负。
解析
【分析】
要判断该代数式的正负，首先观察式子结构：它是两个平方项的差，符合平方差公式的特征，因此第一步可先用平方差公式因式分解；分解后得到的两个多项式可整理为完全平方的形式，可再次用平方差公式继续分解，最终将原式拆分为四个一次因式的乘积；再结合三角形三边关系和边长为正的性质，分别判断四个因式的正负，最后根据正负数乘法的符号法则，就能确定整个代数式的正负。
【解析】
对原式因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2\\=&(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\=&[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\=&(a+b+c)(a+b - c)(a - b + c)(a - b - c)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$a＞0,b＞0,c＞0$，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+b+c＞0$，
$a+b - c＞0$，
$a - b + c = (a+c)-b＞0$，
$a - b - c = a-(b+c)＜0$，
四个因式中三个为正、一个为负，因此乘积小于0。
【答案】
$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$为负（或小于0）
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查因式分解和三角形性质的应用，解题关键是熟练运用乘法公式对代数式完成彻底的因式分解，再结合三边关系判断各因式的符号，能有效检验对公式的灵活运用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
要判断该代数式的正负，首先观察式子结构：它是两个平方项的差，符合平方差公式的特征，因此第一步可先用平方差公式因式分解；分解后得到的两个多项式可整理为完全平方的形式，可再次用平方差公式继续分解，最终将原式拆分为四个一次因式的乘积；再结合三角形三边关系和边长为正的性质，分别判断四个因式的正负，最后根据正负数乘法的符号法则，就能确定整个代数式的正负。
【解析】
对原式因式分解：
$\begin{aligned}&(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2\\=&(a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab)\\=&[(a+b)^2 - c^2][(a-b)^2 - c^2]\\=&(a+b+c)(a+b - c)(a - b + c)(a - b - c)\end{aligned}$
∵a,b,c是△ABC的三边长，
∴$a＞0,b＞0,c＞0$，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，可得：
$a+b+c＞0$，
$a+b - c＞0$，
$a - b + c = (a+c)-b＞0$，
$a - b - c = a-(b+c)＜0$，
四个因式中三个为正、一个为负，因此乘积小于0。
【答案】
$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$为负（或小于0）
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查因式分解和三角形性质的应用，解题关键是熟练运用乘法公式对代数式完成彻底的因式分解，再结合三边关系判断各因式的符号，能有效检验对公式的灵活运用能力和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7
11.十字相乘法:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.如:将式子$x^2+3x+2$和$2x^2+x-3$分解因式,如图:
所以$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$.
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式:
(1)$x^2+5x+6$;
(2)$2x^2-7x+3$;
(3)$x^2+(2-m)x-2m$.
所以$x^2+3x+2=(x+1)(x+2),2x^2+x-3=(x-1)(2x+3)$.
请你用十字相乘法将下列多项式分解因式:
(1)$x^2+5x+6$;
(2)$2x^2-7x+3$;
(3)$x^2+(2-m)x-2m$.
答案
解：
(1) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$6=2×3$，交叉相乘得$1×3 + 1×2=5$，与一次项系数相等，
所以$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
(2) 分解二次项系数$2=1×2$，分解常数项$3=(-3)×(-1)$，交叉相乘得$1×(-1) + 2×(-3)=-7$，与一次项系数相等，
所以$2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)$。
(3) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$-2m=2×(-m)$，交叉相乘得$1×(-m) + 1×2=2-m$，与一次项系数相等，
所以$x^2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m)$。
(1) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$6=2×3$，交叉相乘得$1×3 + 1×2=5$，与一次项系数相等，
所以$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
(2) 分解二次项系数$2=1×2$，分解常数项$3=(-3)×(-1)$，交叉相乘得$1×(-1) + 2×(-3)=-7$，与一次项系数相等，
所以$2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)$。
(3) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$-2m=2×(-m)$，交叉相乘得$1×(-m) + 1×2=2-m$，与一次项系数相等，
所以$x^2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m)$。
解析
【分析】
解决本题的核心是掌握十字相乘法分解因式的步骤：第一步拆分二次项系数为两个因数的乘积，分别写在十字交叉线的左上、左下角；第二步拆分常数项为两个因数的乘积，分别写在十字交叉线的右上、右下角；第三步计算交叉相乘的代数和，若和等于一次项系数则拆分正确，最后按十字对应项写出因式乘积即可。
针对各小题思考如下：
(1) 二次项系数为1，拆分得1×1；常数项6为正、一次项系数为+5，因此拆分为两个正因数2和3，验证交叉和为5，符合要求。
(2) 二次项系数为2，拆分得1×2；常数项3为正、一次项系数为-7，因此拆分为两个负因数-3和-1，验证交叉和为-7，符合要求。
(3) 本题为含参多项式，二次项系数为1拆分得1×1；常数项为-2m，拆分得2和-m，验证交叉和为2-m，与一次项系数一致，符合要求。
【解析】
(1) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$6=2×3$，交叉相乘得$1×3 + 1×2=5$，与一次项系数相等，
所以$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
(2) 分解二次项系数$2=1×2$，分解常数项$3=(-3)×(-1)$，交叉相乘得$1×(-1) + 2×(-3)=-7$，与一次项系数相等，
所以$2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)$。
(3) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$-2m=2×(-m)$，交叉相乘得$1×(-m) + 1×2=2-m$，与一次项系数相等，
所以$x^2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m)$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+3)$
(2) $(x-3)(2x-1)$
(3) $(x+2)(x-m)$
【知识点】
十字相乘法，因式分解，含参多项式分解
【点评】
本题围绕十字相乘法分解因式设题，核心考查“交叉相乘的代数和等于一次项系数”的拆分原则，题目从整数系数到含参系数难度逐步提升，熟练掌握拆分技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是掌握十字相乘法分解因式的步骤：第一步拆分二次项系数为两个因数的乘积，分别写在十字交叉线的左上、左下角；第二步拆分常数项为两个因数的乘积，分别写在十字交叉线的右上、右下角；第三步计算交叉相乘的代数和，若和等于一次项系数则拆分正确，最后按十字对应项写出因式乘积即可。
针对各小题思考如下：
(1) 二次项系数为1，拆分得1×1；常数项6为正、一次项系数为+5，因此拆分为两个正因数2和3，验证交叉和为5，符合要求。
(2) 二次项系数为2，拆分得1×2；常数项3为正、一次项系数为-7，因此拆分为两个负因数-3和-1，验证交叉和为-7，符合要求。
(3) 本题为含参多项式，二次项系数为1拆分得1×1；常数项为-2m，拆分得2和-m，验证交叉和为2-m，与一次项系数一致，符合要求。
【解析】
(1) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$6=2×3$，交叉相乘得$1×3 + 1×2=5$，与一次项系数相等，
所以$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$。
(2) 分解二次项系数$2=1×2$，分解常数项$3=(-3)×(-1)$，交叉相乘得$1×(-1) + 2×(-3)=-7$，与一次项系数相等，
所以$2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1)$。
(3) 分解二次项系数$1=1×1$，分解常数项$-2m=2×(-m)$，交叉相乘得$1×(-m) + 1×2=2-m$，与一次项系数相等，
所以$x^2+(2-m)x-2m=(x+2)(x-m)$。
【答案】
(1) $(x+2)(x+3)$
(2) $(x-3)(2x-1)$
(3) $(x+2)(x-m)$
【知识点】
十字相乘法，因式分解，含参多项式分解
【点评】
本题围绕十字相乘法分解因式设题，核心考查“交叉相乘的代数和等于一次项系数”的拆分原则，题目从整数系数到含参系数难度逐步提升，熟练掌握拆分技巧即可快速求解。
【难度系数】
0.7
