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8. 如图，已知$A(0,1)$，$B(3,2)$，将线段$AB$绕点$A$按顺时针方向旋转$90°$后，得到线段$AB'$，则点$B'$的坐标是________。
答案
$(1,-2)$
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用旋转的性质结合全等三角形求解坐标：首先，遇到线段绕点旋转90°的坐标问题，可通过向坐标轴作垂线构造全等直角三角形；其次根据旋转前后线段长度相等、夹角为90°推导角相等，证明两个直角三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等，结合已知点的坐标计算所求点的横、纵坐标。
【解析】
过点B作BC⊥y轴于点C，过点B'作B'D⊥y轴于点D，
∴∠ACB=∠B'DA=90°。
已知A(0,1)，B(3,2)，可得BC=3，AC=2-1=1。
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AB'，
∴AB=AB'，∠BAB'=90°，
∴∠BAC + ∠B'AD = 90°。
又
∵在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠ABC=∠B'AD。
在△ABC和△B'AD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠B'DA \\∠ABC=∠B'AD \\AB=B'A\end{array} $
∴△ABC≌△B'AD（AAS），
∴AD=BC=3，B'D=AC=1。
∵点D在点A的下方，
∴点D的纵坐标为$1-3=-2$，即D(0,-2)。
∵B'D⊥y轴且B'在y轴右侧，
∴点B'的横坐标为$0+1=1$，纵坐标为-2，
即点B'的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面直角坐标系与坐标
【点评】
本题是坐标与图形旋转结合的典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，将坐标差转化为全等三角形的对应边长度求解，这类题型能很好地考查几何性质与坐标计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是利用旋转的性质结合全等三角形求解坐标：首先，遇到线段绕点旋转90°的坐标问题，可通过向坐标轴作垂线构造全等直角三角形；其次根据旋转前后线段长度相等、夹角为90°推导角相等，证明两个直角三角形全等；最后利用全等三角形对应边相等，结合已知点的坐标计算所求点的横、纵坐标。
【解析】
过点B作BC⊥y轴于点C，过点B'作B'D⊥y轴于点D，
∴∠ACB=∠B'DA=90°。
已知A(0,1)，B(3,2)，可得BC=3，AC=2-1=1。
∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到AB'，
∴AB=AB'，∠BAB'=90°，
∴∠BAC + ∠B'AD = 90°。
又
∵在Rt△ABC中，∠BAC + ∠ABC = 90°，
∴∠ABC=∠B'AD。
在△ABC和△B'AD中：
$\{\begin{array}{l}∠ACB=∠B'DA \\∠ABC=∠B'AD \\AB=B'A\end{array} $
∴△ABC≌△B'AD（AAS），
∴AD=BC=3，B'D=AC=1。
∵点D在点A的下方，
∴点D的纵坐标为$1-3=-2$，即D(0,-2)。
∵B'D⊥y轴且B'在y轴右侧，
∴点B'的横坐标为$0+1=1$，纵坐标为-2，
即点B'的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
$(1,-2)$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 平面直角坐标系与坐标
【点评】
本题是坐标与图形旋转结合的典型题型，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，将坐标差转化为全等三角形的对应边长度求解，这类题型能很好地考查几何性质与坐标计算的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系中，直线$ l $是经过点$(2,0)$且平行于$ y $轴的直线，若点$ P(a, -2) $与点$ Q(4,b) $关于直线$ l $对称，则$ a - b = \_\_\_\_\_\_ $。
答案
$2$
解析
【分析】
首先确定直线l的表达式：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知直线l过(2,0)，可直接得出直线l为x=2。再回忆关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律：对称两点的纵坐标相等，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，利用该规律分别求出a、b的值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
解：
∵直线l经过点(2,0)且平行于y轴，
∴直线l的解析式为$x=2$。
∵点$P(a,-2)$与点$Q(4,b)$关于直线l对称，
∴两点纵坐标相等，即$b=-2$；
两点横坐标的平均数等于对称轴的x值，可得$\frac{a+4}{2}=2$，
解得$a=0$。
∴$a-b=0-(-2)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
轴对称的坐标变化；平行于坐标轴的直线特征
【点评】
本题考查轴对称与坐标变化的基础应用，解题核心是掌握关于平行于y轴的直线对称的点的坐标特征，先确定对称轴，再根据规律列等式求解参数即可，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
首先确定直线l的表达式：平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等，已知直线l过(2,0)，可直接得出直线l为x=2。再回忆关于平行于y轴的直线对称的点的坐标规律：对称两点的纵坐标相等，横坐标的平均值等于对称轴对应的x值，利用该规律分别求出a、b的值，最后代入计算a-b即可。
【解析】
解：
∵直线l经过点(2,0)且平行于y轴，
∴直线l的解析式为$x=2$。
∵点$P(a,-2)$与点$Q(4,b)$关于直线l对称，
∴两点纵坐标相等，即$b=-2$；
两点横坐标的平均数等于对称轴的x值，可得$\frac{a+4}{2}=2$，
解得$a=0$。
∴$a-b=0-(-2)=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
轴对称的坐标变化；平行于坐标轴的直线特征
【点评】
本题考查轴对称与坐标变化的基础应用，解题核心是掌握关于平行于y轴的直线对称的点的坐标特征，先确定对称轴，再根据规律列等式求解参数即可，思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
10.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,现有A,B,C三点,其中点A的坐标为$(-4,1)$,点B的坐标为$(1,1)$.
(1)请根据点A,B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C的坐标;
(2)依次连接点A,B,C,A,得到$△ ABC$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3)若点C关于直线AB的对称点为D,则点D的坐标为________;
(4)在y轴上找一点F,使$△ ABF$的面积等于$△ ABD$的面积,则点F的坐标为________.
(1)请根据点A,B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C的坐标;
(2)依次连接点A,B,C,A,得到$△ ABC$,请判断$△ ABC$的形状,并说明理由;
(3)若点C关于直线AB的对称点为D,则点D的坐标为________;
(4)在y轴上找一点F,使$△ ABF$的面积等于$△ ABD$的面积,则点F的坐标为________.
答案
(1)解:建立平面直角坐标系如答图
,$C(-3,3)$。(2)解:$△ABC$为直角三角形.理由:由答图,可知$AB^2=(1+4)^2=25$,$AC^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=2^2+4^2=20$,
$\because 20+5=25$,即$BC^2+AC^2=AB^2$,
$\therefore △ABC$为直角三角形。
(3)$(-3,-1)$
(4)$(0,-1)$或$(0,3)$
解析
【分析】
(1) 已知点A(-4,1)、B(1,1)纵坐标相同，说明AB在直线y=1上，将x轴建在AB下方1个单位长度处，结合A的横坐标确定原点位置建立坐标系，即可直接读取点C的坐标。
(2) 判断三角形形状可使用勾股定理逆定理：先通过方格计算三条边的平方，若两条短边的平方和等于最长边的平方，即可判定为直角三角形。
(3) 直线AB为y=1，点关于平行于x轴的直线对称时横坐标不变，纵坐标到对称轴的距离相等，据此计算对称点D的坐标。
(4) 先求出△ABD的面积，再根据△ABF和△ABD面积相等，求出点F到直线AB的距离，结合F在y轴上的条件求解坐标，注意存在两种情况。
【解析】
(1) 因A(-4,1)、B(1,1)纵坐标均为1，直线AB平行于x轴，在AB下方1个单位处作x轴，根据A的横坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系如答图，读取得点C坐标为$(-3,3)$。
(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理计算三条边的平方：
$AB^2=(1+4)^2=25$，
$AC^2=(-3+4)^2+(3-1)^2=1^2+2^2=5$，
$BC^2=(1+3)^2+(1-3)^2=4^2+(-2)^2=20$，
$\because AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理逆定理，可得$△ ABC$为直角三角形。
(3) 直线AB解析式为$y=1$，点C关于直线$y=1$对称时横坐标不变，纵坐标满足$\frac{3+y_D}{2}=1$，解得$y_D=-1$，故D点坐标为$(-3,-1)$。
(4) 计算$△ ABD$的面积：AB长为$|1-(-4)|=5$，点D到AB的距离为$|1-(-1)|=2$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5×2=5$。
设y轴上F坐标为$(0,y)$，$△ ABF$面积为5，F到直线AB的距离为$|y-1|$，则$\frac{1}{2}×5×|y-1|=5$，解得$|y-1|=2$，即$y=3$或$y=-1$，故F坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系如答图，$C(-3,3)$；
(2) $△ ABC$为直角三角形，理由见解析；
(3) $(-3,-1)$；
(4) $(0,-1)$或$(0,3)$
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理逆定理、轴对称的坐标变化
【点评】
本题综合考查了坐标系建立、直角三角形判定、轴对称坐标特征及三角形面积计算，解题时需结合坐标性质逐步推导，注意求解点坐标时不要漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点A(-4,1)、B(1,1)纵坐标相同，说明AB在直线y=1上，将x轴建在AB下方1个单位长度处，结合A的横坐标确定原点位置建立坐标系，即可直接读取点C的坐标。
(2) 判断三角形形状可使用勾股定理逆定理：先通过方格计算三条边的平方，若两条短边的平方和等于最长边的平方，即可判定为直角三角形。
(3) 直线AB为y=1，点关于平行于x轴的直线对称时横坐标不变，纵坐标到对称轴的距离相等，据此计算对称点D的坐标。
(4) 先求出△ABD的面积，再根据△ABF和△ABD面积相等，求出点F到直线AB的距离，结合F在y轴上的条件求解坐标，注意存在两种情况。
【解析】
(1) 因A(-4,1)、B(1,1)纵坐标均为1，直线AB平行于x轴，在AB下方1个单位处作x轴，根据A的横坐标确定原点位置，建立平面直角坐标系如答图
，读取得点C坐标为$(-3,3)$。(2) $△ ABC$是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理计算三条边的平方：
$AB^2=(1+4)^2=25$，
$AC^2=(-3+4)^2+(3-1)^2=1^2+2^2=5$，
$BC^2=(1+3)^2+(1-3)^2=4^2+(-2)^2=20$，
$\because AC^2+BC^2=5+20=25=AB^2$，根据勾股定理逆定理，可得$△ ABC$为直角三角形。
(3) 直线AB解析式为$y=1$，点C关于直线$y=1$对称时横坐标不变，纵坐标满足$\frac{3+y_D}{2}=1$，解得$y_D=-1$，故D点坐标为$(-3,-1)$。
(4) 计算$△ ABD$的面积：AB长为$|1-(-4)|=5$，点D到AB的距离为$|1-(-1)|=2$，$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×5×2=5$。
设y轴上F坐标为$(0,y)$，$△ ABF$面积为5，F到直线AB的距离为$|y-1|$，则$\frac{1}{2}×5×|y-1|=5$，解得$|y-1|=2$，即$y=3$或$y=-1$，故F坐标为$(0,3)$或$(0,-1)$。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系如答图
，$C(-3,3)$；(2) $△ ABC$为直角三角形，理由见解析；
(3) $(-3,-1)$；
(4) $(0,-1)$或$(0,3)$
【知识点】
平面直角坐标系、勾股定理逆定理、轴对称的坐标变化
【点评】
本题综合考查了坐标系建立、直角三角形判定、轴对称坐标特征及三角形面积计算，解题时需结合坐标性质逐步推导，注意求解点坐标时不要漏解。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在平面直角坐标系中,直线 $ l $ 过点 $ M(3,0) $,且平行于 $ y $ 轴.
(1)如果$ △ ABC $三个顶点的坐标分别是$ A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ ABC $关于 $ y $ 轴的对称图形是$ △ A_1B_1C_1,△ A_1B_1C_1 $关于直线 $ l $ 的对称图形是$ △ A_2B_2C_2 $,写出$ △ A_2B_2C_2 $的三个顶点的坐标;
(2)如果点 $ P $ 的坐标是$ (-a,0) $,其中 $ a＞0 $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $,点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $,求 $ PP_2 $的长.
(1)如果$ △ ABC $三个顶点的坐标分别是$ A(-2,0),B(-1,0),C(-1,2),△ ABC $关于 $ y $ 轴的对称图形是$ △ A_1B_1C_1,△ A_1B_1C_1 $关于直线 $ l $ 的对称图形是$ △ A_2B_2C_2 $,写出$ △ A_2B_2C_2 $的三个顶点的坐标;
(2)如果点 $ P $ 的坐标是$ (-a,0) $,其中 $ a＞0 $,点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点是 $ P_1 $,点 $ P_1 $ 关于直线 $ l $ 的对称点是 $ P_2 $,求 $ PP_2 $的长.
答案
解:(1)$△A_2B_2C_2$的三个顶点的坐标分别是$A_2(4,0)$,$B_2(5,0)$,$C_2(5,2)$。
(2)$\because$点$P$与点$P_1$关于$y$轴对称,$P(-a,0)$,
$\therefore P_1(a,0)$。
设$P_2(x,0)$,又$\because$点$P_1$与点$P_2$关于直线$l:x=3$对称,
$\therefore \frac{x+a}{2}=3$,即$x=6-a$,$\therefore P_2(6-a,0)$,
则$PP_2=6-a-(-a)=6-a+a=6$。
(2)$\because$点$P$与点$P_1$关于$y$轴对称,$P(-a,0)$,
$\therefore P_1(a,0)$。
设$P_2(x,0)$,又$\because$点$P_1$与点$P_2$关于直线$l:x=3$对称,
$\therefore \frac{x+a}{2}=3$,即$x=6-a$,$\therefore P_2(6-a,0)$,
则$PP_2=6-a-(-a)=6-a+a=6$。
解析
【分析】
(1) 第一问分两步求解：第一步先依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出△A₁B₁C₁的三个顶点坐标；第二步再根据“关于直线x=3对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数为3”的性质，依次计算得到△A₂B₂C₂的顶点坐标。
(2) 第二问同样分步推导：先根据点P的坐标和关于y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再设P₂的坐标，利用对称点的中点在对称轴上的性质求出P₂的横坐标，最后根据x轴上两点距离等于横坐标差的绝对值计算PP₂的长度，化简后即可得到结果。
【解析】
(1) 先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，可得A₁(2,0)、B₁(1,0)、C₁(1,2)。
直线l的解析式为x=3，关于x=3对称的点纵坐标不变，两点横坐标之和为$3×2=6$：
A₁的对称点A₂横坐标为$6-2=4$，即$A_2(4,0)$；
B₁的对称点B₂横坐标为$6-1=5$，即$B_2(5,0)$；
C₁的对称点C₂横坐标为$6-1=5$，纵坐标不变为2，即$C_2(5,2)$。
(2)
∵ 点P(-a,0)与P₁关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，
∴ $P_1(a,0)$。
设$P_2(x,0)$，
∵ P₁和P₂关于直线$l:x=3$对称，
∴ 两点横坐标的中点在直线l上，即$\frac{x+a}{2}=3$，解得$x=6-a$，即$P_2(6-a,0)$。
∵ P和P₂都在x轴上，两点距离为横坐标差的绝对值，
∴ $PP_2=|(6-a)-(-a)|=|6-a+a|=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$；
(2) $PP_2$的长为6。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征、轴对称的坐标变换、坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查轴对称变换下坐标变化规律的应用，需要分步完成两次对称变换的坐标计算，解题核心是熟练掌握不同对称形式对应的坐标变化特点，第二问的坐标含参数，计算时要注意参数的化简，能有效考查基础规律的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
(1) 第一问分两步求解：第一步先依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，求出△A₁B₁C₁的三个顶点坐标；第二步再根据“关于直线x=3对称的点，纵坐标不变，两点横坐标的平均数为3”的性质，依次计算得到△A₂B₂C₂的顶点坐标。
(2) 第二问同样分步推导：先根据点P的坐标和关于y轴对称的坐标规律得到P₁的坐标，再设P₂的坐标，利用对称点的中点在对称轴上的性质求出P₂的横坐标，最后根据x轴上两点距离等于横坐标差的绝对值计算PP₂的长度，化简后即可得到结果。
【解析】
(1) 先求△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁的坐标：
关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标互为相反数，已知A(-2,0)、B(-1,0)、C(-1,2)，可得A₁(2,0)、B₁(1,0)、C₁(1,2)。
直线l的解析式为x=3，关于x=3对称的点纵坐标不变，两点横坐标之和为$3×2=6$：
A₁的对称点A₂横坐标为$6-2=4$，即$A_2(4,0)$；
B₁的对称点B₂横坐标为$6-1=5$，即$B_2(5,0)$；
C₁的对称点C₂横坐标为$6-1=5$，纵坐标不变为2，即$C_2(5,2)$。
(2)
∵ 点P(-a,0)与P₁关于y轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变，
∴ $P_1(a,0)$。
设$P_2(x,0)$，
∵ P₁和P₂关于直线$l:x=3$对称，
∴ 两点横坐标的中点在直线l上，即$\frac{x+a}{2}=3$，解得$x=6-a$，即$P_2(6-a,0)$。
∵ P和P₂都在x轴上，两点距离为横坐标差的绝对值，
∴ $PP_2=|(6-a)-(-a)|=|6-a+a|=6$。
【答案】
(1) $A_2(4,0)$，$B_2(5,0)$，$C_2(5,2)$；
(2) $PP_2$的长为6。
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征、轴对称的坐标变换、坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题考查轴对称变换下坐标变化规律的应用，需要分步完成两次对称变换的坐标计算，解题核心是熟练掌握不同对称形式对应的坐标变化特点，第二问的坐标含参数，计算时要注意参数的化简，能有效考查基础规律的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.75
