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1. 给出下列函数:①$y=-x$;②$y=3x-1$;③$y=\frac{1}{2}x$;④$y=x^2$.其中$y$是$x$的正比例函数的有
（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
（
C
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义，明确正比例函数的判定条件：①函数表达式为整式；②自变量x的最高次数为1；③x的系数不为0，且不含常数项。接下来逐一核对给出的4个函数是否满足上述条件，统计符合要求的函数个数，即可选出正确答案。
【解析】
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析所给函数：
1. 对于①$y=-x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=-1≠0$，不含常数项，x的次数为1，是正比例函数；
2. 对于②$y=3x-1$：表达式含有常数项$-1$，属于一次函数，不是正比例函数；
3. 对于③$y=\frac{1}{2}x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，不含常数项，x的次数为1，是正比例函数；
4. 对于④$y=x^2$：自变量x的次数为2，属于二次函数，不是正比例函数。
综上，是正比例函数的有①和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的判定、一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对正比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记正比例函数的特征，注意区分正比例函数与普通一次函数、二次函数的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆正比例函数的定义，明确正比例函数的判定条件：①函数表达式为整式；②自变量x的最高次数为1；③x的系数不为0，且不含常数项。接下来逐一核对给出的4个函数是否满足上述条件，统计符合要求的函数个数，即可选出正确答案。
【解析】
正比例函数的定义为：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。我们逐个分析所给函数：
1. 对于①$y=-x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=-1≠0$，不含常数项，x的次数为1，是正比例函数；
2. 对于②$y=3x-1$：表达式含有常数项$-1$，属于一次函数，不是正比例函数；
3. 对于③$y=\frac{1}{2}x$：符合$y=kx$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，不含常数项，x的次数为1，是正比例函数；
4. 对于④$y=x^2$：自变量x的次数为2，属于二次函数，不是正比例函数。
综上，是正比例函数的有①和③，共2个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的判定、一次函数的定义、二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对正比例函数定义的掌握，解题的关键是牢记正比例函数的特征，注意区分正比例函数与普通一次函数、二次函数的差异，避免因概念混淆出错。
【难度系数】
0.8
2. 点$A(1,y_1)$，$B(2,y_2)$在一次函数$y=2x-1$的图象上，则$y_1$，$y_2$的大小关系是 （
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
C
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.不能确定
答案
2.C
解析
【分析】
要比较一次函数图象上两点的函数值大小，有两种常用解题思路：①直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$的具体数值再比较大小；②根据一次函数的增减性判断：当一次函数的$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，只需比较两点横坐标的大小，就能直接得出函数值的大小关系，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=2x-1$，得$y_1=2×1-1=1$；
将$x=2$代入$y=2x-1$，得$y_2=2×2-1=3$；
因为$1＜3$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：增减性判断法
一次函数$y=2x-1$中，$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大；
已知两点横坐标$1＜2$，所以对应的函数值$y_1＜y_2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，考查一次函数的基础应用，两种解题方法都是一次函数的核心考点，熟练掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
要比较一次函数图象上两点的函数值大小，有两种常用解题思路：①直接将两点的横坐标代入函数解析式，分别计算出$y_1$、$y_2$的具体数值再比较大小；②根据一次函数的增减性判断：当一次函数的$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，只需比较两点横坐标的大小，就能直接得出函数值的大小关系，两种方法都可快速得到结果。
【解析】
方法一：代入求值法
将$x=1$代入$y=2x-1$，得$y_1=2×1-1=1$；
将$x=2$代入$y=2x-1$，得$y_2=2×2-1=3$；
因为$1＜3$，所以$y_1＜y_2$。
方法二：增减性判断法
一次函数$y=2x-1$中，$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大；
已知两点横坐标$1＜2$，所以对应的函数值$y_1＜y_2$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，考查一次函数的基础应用，两种解题方法都是一次函数的核心考点，熟练掌握相关知识点即可快速得分。
【难度系数】
0.9
3. 已知一次函数$y=kx+b$，当$-3≤ x≤ 1$时，$1≤ y≤ 9$，则$kb$的值为 （
A.4
B.$-6$
C.$-4$或21
D.$-6$或14
D
）A.4
B.$-6$
C.$-4$或21
D.$-6$或14
答案
3.D
解析
【分析】
一次函数的增减性由斜率k的符号决定，题干未明确k的正负，因此需要分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，此时x取最小值时y最小，x取最大值时y最大；②当k＜0时，y随x的增大而减小，此时x取最小值时y最大，x取最大值时y最小。分别将对应x、y的值代入一次函数解析式，列二元一次方程组求解k、b的值，再计算kb即可。注意k=0时函数为常函数，y值固定，不符合y的取值范围，无需考虑。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此$x=-3$时$y=1$，$x=1$时$y=9$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k + b = 1 \\k + b = 9\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=9$，得$b=7$，此时$kb=2×7=14$。
2. 当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此$x=-3$时$y=9$，$x=1$时$y=1$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k + b = 9 \\k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$k+b=1$，得$b=3$，此时$kb=(-2)×3=-6$。
综上，$kb$的值为$-6$或$14$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；二元一次方程组的求解
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定，未分类讨论导致漏解，解题时要结合一次函数的增减性，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
一次函数的增减性由斜率k的符号决定，题干未明确k的正负，因此需要分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，此时x取最小值时y最小，x取最大值时y最大；②当k＜0时，y随x的增大而减小，此时x取最小值时y最大，x取最大值时y最小。分别将对应x、y的值代入一次函数解析式，列二元一次方程组求解k、b的值，再计算kb即可。注意k=0时函数为常函数，y值固定，不符合y的取值范围，无需考虑。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时，y随x的增大而增大，因此$x=-3$时$y=1$，$x=1$时$y=9$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k + b = 1 \\k + b = 9\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=8$，解得$k=2$，将$k=2$代入$k+b=9$，得$b=7$，此时$kb=2×7=14$。
2. 当$k＜0$时，y随x的增大而减小，因此$x=-3$时$y=9$，$x=1$时$y=1$，代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases}-3k + b = 9 \\k + b = 1\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=-8$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入$k+b=1$，得$b=3$，此时$kb=(-2)×3=-6$。
综上，$kb$的值为$-6$或$14$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；二元一次方程组的求解
【点评】
本题的易错点是忽略k的符号不确定，未分类讨论导致漏解，解题时要结合一次函数的增减性，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
4. 下列 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系中，$ y $ 是 $ x $ 的正比例函数的是 （
A.在速度为 $ 80 \ \mathrm{km/h} $ 的匀速运动中，路程 $ y $（单位：$\mathrm{km}$）与时间 $ x $（单位：$\mathrm{h}$）之间的关系
B.圆柱的体积 $ y $（单位：$\mathrm{cm}^3$）与它的底面圆半径 $ x $（单位：$\mathrm{cm}$）之间的关系
C.正方形的面积 $ y $（单位：$\mathrm{cm}^2$）与它的边长 $ x $（单位：$\mathrm{cm}$）之间的关系
D.某车站规定旅客可以免费携带不超过 $ 20 \ \mathrm{kg} $ 的行李，超过部分每千克收取 $ 2.5 $ 元的行李费用，则旅客需交的行李费 $ y $（单位：元）与携带行李的质量 $ x $（单位：$\mathrm{kg}, x＞20$）之间的关系
A
）A.在速度为 $ 80 \ \mathrm{km/h} $ 的匀速运动中，路程 $ y $（单位：$\mathrm{km}$）与时间 $ x $（单位：$\mathrm{h}$）之间的关系
B.圆柱的体积 $ y $（单位：$\mathrm{cm}^3$）与它的底面圆半径 $ x $（单位：$\mathrm{cm}$）之间的关系
C.正方形的面积 $ y $（单位：$\mathrm{cm}^2$）与它的边长 $ x $（单位：$\mathrm{cm}$）之间的关系
D.某车站规定旅客可以免费携带不超过 $ 20 \ \mathrm{kg} $ 的行李，超过部分每千克收取 $ 2.5 $ 元的行李费用，则旅客需交的行李费 $ y $（单位：元）与携带行李的质量 $ x $（单位：$\mathrm{kg}, x＞20$）之间的关系
答案
4.A
解析
【分析】
要解答本题，首先需明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征是自变量$x$的次数为1，且不含常数项，$y$与$x$的比值为固定非零常数。解题时只需逐一推导每个选项中$y$与$x$的函数关系式，对照定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：匀速运动中路程=速度×时间，已知速度为$80\ \mathrm{km/h}$，因此函数关系式为$y=80x$，符合正比例函数$y=kx$（$k=80≠0$）的形式，是正比例函数；
B选项：圆柱体积公式为$y=π x^2 h$（$h$为圆柱的高，为定值），自变量$x$的次数为2，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
C选项：正方形面积=边长×边长，因此函数关系式为$y=x^2$，自变量$x$的次数为2，是二次函数，不是正比例函数；
D选项：行李费仅对超过20kg的部分收费，因此函数关系式为$y=2.5(x-20)=2.5x-50$，式子含有常数项$-50$，属于一次函数但不是正比例函数。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、列实际问题的函数关系式、一次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对正比例函数定义的理解，解题的关键是准确写出各实际场景对应的函数表达式，再结合正比例函数的形式特征进行判断。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先需明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，其核心特征是自变量$x$的次数为1，且不含常数项，$y$与$x$的比值为固定非零常数。解题时只需逐一推导每个选项中$y$与$x$的函数关系式，对照定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：匀速运动中路程=速度×时间，已知速度为$80\ \mathrm{km/h}$，因此函数关系式为$y=80x$，符合正比例函数$y=kx$（$k=80≠0$）的形式，是正比例函数；
B选项：圆柱体积公式为$y=π x^2 h$（$h$为圆柱的高，为定值），自变量$x$的次数为2，不符合正比例函数要求，不是正比例函数；
C选项：正方形面积=边长×边长，因此函数关系式为$y=x^2$，自变量$x$的次数为2，是二次函数，不是正比例函数；
D选项：行李费仅对超过20kg的部分收费，因此函数关系式为$y=2.5(x-20)=2.5x-50$，式子含有常数项$-50$，属于一次函数但不是正比例函数。
综上只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、列实际问题的函数关系式、一次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对正比例函数定义的理解，解题的关键是准确写出各实际场景对应的函数表达式，再结合正比例函数的形式特征进行判断。
【难度系数】
0.8
5. 定期举办汽车拉力赛可促进数学建模在车辆动力学优化中的应用，推动汽车技术革新.
若某选手在比赛中驾驶汽车匀速行驶，则可以表示其行驶的路程$ s $（单位：$\mathrm{m}$）与时间$ t $（单位：$\mathrm{h}$）之间的关系的图象是 （
若某选手在比赛中驾驶汽车匀速行驶，则可以表示其行驶的路程$ s $（单位：$\mathrm{m}$）与时间$ t $（单位：$\mathrm{h}$）之间的关系的图象是 （
D
）答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先要明确匀速行驶时路程和时间的数量关系：路程=速度×时间，匀速状态下速度是固定的正数，且行驶时间、路程均为非负数，因此路程s是时间t的正比例函数，图象应为第一象限内过原点的射线。接下来逐一分析各选项的图象特征，匹配上述函数特征即可得到答案。
【解析】
匀速行驶时，路程与时间满足关系式$ s = vt $（$ v $为速度，是大于0的常数，$ t≥0 $，$ s≥0 $），因此$ s $是$ t $的正比例函数，图象为第一象限内过原点的倾斜射线。
选项A：图象平行于时间轴，说明路程不随时间变化，代表车辆静止，不符合题意；
选项B：路程先增大后减小最终为0，代表车辆先远离起点再返回起点，不是持续匀速行驶的状态，不符合题意；
选项C：路程随时间增大而减小，不符合行驶时间越长、路程越大的实际规律，不符合题意；
选项D：图象是过原点的倾斜射线，符合正比例函数的特征，对应匀速行驶的路程时间关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；行程问题基本关系
【点评】
本题结合汽车拉力赛的实际情境考查函数图象的识别，解题核心是先根据实际问题的等量关系确定函数类型与变化趋势，再逐一排查选项即可，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确匀速行驶时路程和时间的数量关系：路程=速度×时间，匀速状态下速度是固定的正数，且行驶时间、路程均为非负数，因此路程s是时间t的正比例函数，图象应为第一象限内过原点的射线。接下来逐一分析各选项的图象特征，匹配上述函数特征即可得到答案。
【解析】
匀速行驶时，路程与时间满足关系式$ s = vt $（$ v $为速度，是大于0的常数，$ t≥0 $，$ s≥0 $），因此$ s $是$ t $的正比例函数，图象为第一象限内过原点的倾斜射线。
选项A：图象平行于时间轴，说明路程不随时间变化，代表车辆静止，不符合题意；
选项B：路程先增大后减小最终为0，代表车辆先远离起点再返回起点，不是持续匀速行驶的状态，不符合题意；
选项C：路程随时间增大而减小，不符合行驶时间越长、路程越大的实际规律，不符合题意；
选项D：图象是过原点的倾斜射线，符合正比例函数的特征，对应匀速行驶的路程时间关系，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的图象与性质；行程问题基本关系
【点评】
本题结合汽车拉力赛的实际情境考查函数图象的识别，解题核心是先根据实际问题的等量关系确定函数类型与变化趋势，再逐一排查选项即可，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
