15.【材料阅读】
二元一次方程 $ x - y = 1 $ 有无数组解，如 $ \begin{cases} x=-1, \\ y=-2, \end{cases} \begin{cases} x=0, \\ y=-1, \end{cases} \begin{cases} x=1, \\ y=0, \end{cases} \begin{cases} x=\dfrac{5}{2}, \\ y=\dfrac{3}{2}. \end{cases} $ 如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示.探究发现:以方程 $ x - y = 1 $ 的解为坐标的点落在同一条直线上，如图(1)所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解.我们把这条直线称为该方程的图象.
【问题探究】
(1)请在图(2)中画出二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ x - y = -1 \end{cases} $ 中的两个二元一次方程的图象，并直接写出该方程组的解: ______.
(2)已知关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} x + 2y = 4, ① \\ kx - 3y = 3 ② \end{cases} $ 无解，请在图(3)中画出方程①和方程②的图象.设方程①的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点分别是 $ A,B $，方程②的图象与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点分别是 $ C,D $，计算 $ ∠ ABO + ∠ DCO $ 的度数.
【拓展应用】
(3)图(4)中包含关于 $ x,y $ 的二元一次方程组 $ \begin{cases} 2x + y = 4, \\ mx - 2m + y = -3 \end{cases} $ 的两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解: ______.

15.(1)解:图象如图所示.
由图象可知,直线$2x+y=4$与直线$x-y=-1$交于点$(1,2)$,
$\therefore \begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$同时是方程$2x+y=4$和方程$x-y=-1$的解.
$\therefore \begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} 2x+y=4, \\ x-y=-1 \end{cases}$的解.故答案为$\begin{cases} x=1, \\ y=2 \end{cases}$.
(2)解:$\because$方程组$\begin{cases} x+2y=4, \\ kx-3y=3 \end{cases}$无解,
$\therefore$直线$x+2y=4$与直线$kx-3y=3$没有交点.
$\therefore$直线$x+2y=4$与直线$kx-3y=3$平行.
在方程$kx-3y=3$中,当$x=0$时,$y=-1$,
$\therefore$直线$kx-3y=3$经过点$(0,-1)$.
如图所示,直线$AB$和直线$CD$即为所求.
$\because AB// CD$,$\therefore ∠ ABO=∠ CDO$.
$\because ∠ DCO+∠ CDO=90°$,$\therefore ∠ ABO+∠ DCO=90°$.
(3)$\begin{cases} x=3, \\ y=-2 \end{cases}$

【分析】
(1) 二元一次方程的图象是直线，画直线只需找到方程的两组整数解，确定两个点后连线即可；二元一次方程组的解就是两个方程对应直线的交点坐标，画出两条直线后找到交点，就能得到方程组的解。
(2) 二元一次方程组无解，说明两个方程对应的直线互相平行，没有公共点。先确定方程①对应直线的倾斜程度，方程②的直线和它倾斜程度相同，再找出方程②恒过的定点(0,-1)，即可画出两条平行线；求角度时，利用平行线的性质将∠ABO转化为∠CDO，再结合直角三角形两锐角和为90°，即可求出两个角的和。
(3) 先对第二个方程变形，可知它是过定点的直线，结合第一个方程2x+y=4的图象，找到两条直线的交点坐标，就是方程组的解。
【解析】
(1) 对于方程$2x+y=4$，取$x=0$得$y=4$，取$x=2$得$y=0$，连接点$(0,4)$和$(2,0)$得到它的图象；对于方程$x-y=-1$，取$x=0$得$y=1$，取$x=1$得$y=2$，连接点$(0,1)$和$(1,2)$得到它的图象，图象如下：

两条直线的交点为$(1,2)$，该点坐标同时满足两个方程，因此是方程组的解。
(2) 方程组$\begin{cases} x + 2y = 4 \\ kx - 3y = 3 \end{cases}$无解，说明直线$x+2y=4$和直线$kx-3y=3$平行，没有交点。
对$kx-3y=3$，令$x=0$，解得$y=-1$，因此直线$kx-3y=3$恒过点$(0,-1)$，结合和直线$x+2y=4$平行的特点，画出两条直线如下：

$\because AB// CD$，$\therefore ∠ ABO=∠ CDO$（两直线平行，内错角相等）
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ COD=90°$，$\therefore ∠ DCO + ∠ CDO=90°$（直角三角形两锐角互余）
将$∠ CDO=∠ ABO$代入，得$∠ ABO + ∠ DCO=90°$。
(3) 对第二个方程$mx - 2m + y = -3$整理可得，该直线恒过定点，结合图4中两条直线的交点位置，可得交点坐标为$(3,-2)$，即方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$。
【答案】
(1) 图象见，$\begin{cases} x=1 \\ y=2 \end{cases}$
(2) 图象见，$∠ ABO + ∠ DCO=90°$
(3) $\begin{cases} x=3 \\ y=-2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程(组)与一次函数的关系，平行线的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题以二元一次方程的图象为背景，考查了方程与函数的对应关系，体现了数形结合的数学思想，需要学生理解方程组的解与直线交点、方程组无解与直线平行的对应关系，同时结合几何性质求解角度，综合性较强，能有效考查知识的灵活应用能力。
【难度系数】
0.65