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14. 甲、乙两车从 A 地将一批物品匀速运往 B 地，已知甲出发 0.5 h 后乙开始出发，如图，线段 OP、MN 分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s（单位：km）与时间 t（单位：h）之间的关系. 请结合图中的信息解决下列问题：
（1）计算甲、乙两车的速度及 a 的值.
（2）若乙车到达 B 地后立即以原速返回 A地.
①在图中画出乙车在返回过程中离 A 地的距离 s 与时间 t 之间的函数图象；
②甲车在离 B 地多远时与返程中的乙车相遇？
（1）计算甲、乙两车的速度及 a 的值.
（2）若乙车到达 B 地后立即以原速返回 A地.
①在图中画出乙车在返回过程中离 A 地的距离 s 与时间 t 之间的函数图象；
②甲车在离 B 地多远时与返程中的乙车相遇？
答案
14. (1)根据题意可知M(0.5,0),线段OP、MN都经过(1.5,60),
∴甲车的速度为60÷1.5=40(km/h),乙车的速度为60÷(1.5-0.5)=60(km/h),
∴a=40×4.5=180(km).
(2)①乙车到达B地所用时间为180÷60=3(h),
∴点N的横坐标为3.5,
∴在6.5 h时乙车返回A地.如图,乙车在返回过程中离A地的距离s与时间t之间的函数图象为线段NQ.
②乙车到达B地时,甲车离A地的距离为40×3.5=140(km).设乙车返程与甲车相遇所用时间为$t_0$ h,则$(60+40)t_0=180-140$,解得$t_0=0.4$,
∴60×0.4=24(km),
∴甲车在离B地24 km时与返程中的乙车相遇.
解析
【分析】
（1）要计算甲乙两车的速度，可从s-t图像中提取对应路程和时间的信息：甲车从原点出发，1.5h行驶了60km，根据速度=路程÷时间可直接求出甲的速度；乙比甲晚0.5h出发，因此t=1.5h时乙的实际行驶时间为$1.5-0.5=1$h，同样行驶了60km，即可求出乙的速度；a是AB两地的总路程，甲车走完全程用时4.5h，用甲的速度乘总行驶时间就能得到a的值。
（2）①要画乙车返回的图像，先计算乙车从A到B的行驶时间（总路程a÷乙的速度），加上出发延迟的0.5h就是乙到达B地的时间（即N点的横坐标），返程速度不变，因此返程时间和去程相同，可算出乙回到A地的时间，连接N点和返回A地对应的点Q就是所求的返程图像。
②求甲车和返程乙车的相遇位置，先计算乙到达B地时甲已经行驶的路程，此时甲乙的距离为总路程减甲行驶的路程，之后乙返程、甲继续前进，属于相向而行的相遇问题，用两者的距离除以速度和得到相遇所需时间，这段时间乙行驶的路程就是相遇点离B地的距离。
【解析】
(1) 由题意可知甲出发0.5h后乙出发，因此$M(0.5,0)$，线段OP、MN都经过$(1.5,60)$：
甲车的速度为$60÷1.5=40(\mathrm{km/h})$，
乙车在t=1.5h时实际行驶时间为$1.5-0.5=1(\mathrm{h})$，因此乙车的速度为$60÷1=60(\mathrm{km/h})$，
甲走完全程用时4.5h，因此总路程$a=40×4.5=180(\mathrm{km})$。
(2) ① 乙车从A到B的行驶时间为$180÷60=3(\mathrm{h})$，
乙0.5h出发，因此到达B地的时间为$0.5+3=3.5(\mathrm{h})$，即N点横坐标为3.5；乙返程速度不变，因此返程也需要3h，回到A地的时间为$3.5+3=6.5(\mathrm{h})$，因此返回过程的函数图象为线段NQ，如图所示：
② 乙到达B地时，甲的行驶时间为3.5h，此时甲离A地的距离为$40×3.5=140(\mathrm{km})$，
此时甲乙两车相距$180-140=40(\mathrm{km})$，设乙返程后与甲车相遇用时$t_0$h，两车相向行驶，因此满足：
$(60+40)t_0=40$
解得$t_0=0.4$，
这段时间乙行驶的路程就是相遇点离B地的距离：$60×0.4=24(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 甲车速度为40km/h，乙车速度为60km/h，a的值为180；
(2) ① 乙车返回过程的函数图象为线段NQ，如图：
② 甲车在离B地24km时与返程中的乙车相遇。
【知识点】
一次函数的图像与应用，行程问题计算，相遇问题
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查信息提取能力和实际问题解决能力，需要明确图像横纵坐标的含义，熟练运用路程、速度、时间的关系求解，其中相遇问题的分析是解题的关键，整体注重对基础公式和图像解读能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要计算甲乙两车的速度，可从s-t图像中提取对应路程和时间的信息：甲车从原点出发，1.5h行驶了60km，根据速度=路程÷时间可直接求出甲的速度；乙比甲晚0.5h出发，因此t=1.5h时乙的实际行驶时间为$1.5-0.5=1$h，同样行驶了60km，即可求出乙的速度；a是AB两地的总路程，甲车走完全程用时4.5h，用甲的速度乘总行驶时间就能得到a的值。
（2）①要画乙车返回的图像，先计算乙车从A到B的行驶时间（总路程a÷乙的速度），加上出发延迟的0.5h就是乙到达B地的时间（即N点的横坐标），返程速度不变，因此返程时间和去程相同，可算出乙回到A地的时间，连接N点和返回A地对应的点Q就是所求的返程图像。
②求甲车和返程乙车的相遇位置，先计算乙到达B地时甲已经行驶的路程，此时甲乙的距离为总路程减甲行驶的路程，之后乙返程、甲继续前进，属于相向而行的相遇问题，用两者的距离除以速度和得到相遇所需时间，这段时间乙行驶的路程就是相遇点离B地的距离。
【解析】
(1) 由题意可知甲出发0.5h后乙出发，因此$M(0.5,0)$，线段OP、MN都经过$(1.5,60)$：
甲车的速度为$60÷1.5=40(\mathrm{km/h})$，
乙车在t=1.5h时实际行驶时间为$1.5-0.5=1(\mathrm{h})$，因此乙车的速度为$60÷1=60(\mathrm{km/h})$，
甲走完全程用时4.5h，因此总路程$a=40×4.5=180(\mathrm{km})$。
(2) ① 乙车从A到B的行驶时间为$180÷60=3(\mathrm{h})$，
乙0.5h出发，因此到达B地的时间为$0.5+3=3.5(\mathrm{h})$，即N点横坐标为3.5；乙返程速度不变，因此返程也需要3h，回到A地的时间为$3.5+3=6.5(\mathrm{h})$，因此返回过程的函数图象为线段NQ，如图所示：
② 乙到达B地时，甲的行驶时间为3.5h，此时甲离A地的距离为$40×3.5=140(\mathrm{km})$，
此时甲乙两车相距$180-140=40(\mathrm{km})$，设乙返程后与甲车相遇用时$t_0$h，两车相向行驶，因此满足：
$(60+40)t_0=40$
解得$t_0=0.4$，
这段时间乙行驶的路程就是相遇点离B地的距离：$60×0.4=24(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 甲车速度为40km/h，乙车速度为60km/h，a的值为180；
(2) ① 乙车返回过程的函数图象为线段NQ，如图：
② 甲车在离B地24km时与返程中的乙车相遇。
【知识点】
一次函数的图像与应用，行程问题计算，相遇问题
【点评】
本题结合行程问题的s-t图像考查信息提取能力和实际问题解决能力，需要明确图像横纵坐标的含义，熟练运用路程、速度、时间的关系求解，其中相遇问题的分析是解题的关键，整体注重对基础公式和图像解读能力的考查。
【难度系数】
0.7
15. 试用两种方法证明“垂线段最短”.
如图,点 P 在直线 $ l $ 外,$ PA ⊥ l $,垂足为 $ A $,$ Q $ 为直线 $ l $ 上不同于点 $ A $ 的任意一点. 求证$ PA＜PQ $.
(1)小明的操作是:如图 1,延长 $ PA $ 至点 $ B $,使得 $ AB=PA $,连接 $ BQ $……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以利用“勾股定理”来证明,请结合图 2 完成证明.
如图,点 P 在直线 $ l $ 外,$ PA ⊥ l $,垂足为 $ A $,$ Q $ 为直线 $ l $ 上不同于点 $ A $ 的任意一点. 求证$ PA＜PQ $.
(1)小明的操作是:如图 1,延长 $ PA $ 至点 $ B $,使得 $ AB=PA $,连接 $ BQ $……请接着小明的操作完成证明.
(2)小芳发现还可以利用“勾股定理”来证明,请结合图 2 完成证明.
答案
15. 证明:(1)如题图1,延长PA至点B,使得AB=PA,连接BQ. 在△APQ和△ABQ中,
$\{\begin{array}{l}AP=AB,\\∠PAQ=∠BAQ=90°,\\AQ=AQ,\end{array} $
∴△APQ≌△ABQ(SAS),
∴PQ=BQ.
∵PQ+BQ＞PB,
∴2PQ＞2AP,
∴PA＜PQ.
(2)
∵PA⊥l,
∴∠PAQ=90°,
∴$PQ^2=PA^2+AQ^2$,
∴$PA^2＜PQ^2$,
∴PA＜PQ.
$\{\begin{array}{l}AP=AB,\\∠PAQ=∠BAQ=90°,\\AQ=AQ,\end{array} $
∴△APQ≌△ABQ(SAS),
∴PQ=BQ.
∵PQ+BQ＞PB,
∴2PQ＞2AP,
∴PA＜PQ.
(2)
∵PA⊥l,
∴∠PAQ=90°,
∴$PQ^2=PA^2+AQ^2$,
∴$PA^2＜PQ^2$,
∴PA＜PQ.
解析
【分析】
(1) 第一问已给出辅助线，首先根据已知条件：PA=AB，PA⊥l可得∠PAQ=∠BAQ=90°，且AQ为公共边，可先通过SAS证明△APQ≌△ABQ，将PQ转化为BQ；再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”得到PQ+BQ＞PB，结合PB=2PA、BQ=PQ，即可推导出PA＜PQ。
(2) 第二问要求用勾股定理证明，首先由PA⊥l可知△PAQ是直角三角形，直接应用勾股定理得到PQ²与PA²、AQ²的关系；再结合Q与A不重合，可得AQ²＞0，据此比较PQ²和PA²的大小，再根据线段长度为正数，即可得到PA和PQ的大小关系。
【解析】
(1) 如题图1，延长PA至点B，使得AB=PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中，
$\{\begin{array}{l}AP=AB,\\∠PAQ=∠BAQ=90°,\\AQ=AQ,\end{array} $
∴△APQ≌△ABQ（SAS），
∴PQ=BQ。
根据三角形三边关系可得$PQ+BQ＞PB$，
又
∵$PB=PA+AB=2PA$，$BQ=PQ$，
∴$2PQ＞2PA$，
∴$PA＜PQ$。
(2) 如题图2，
∵$PA⊥l$，
∴$∠PAQ=90°$，
根据勾股定理得：$PQ^2=PA^2+AQ^2$，
∵Q为直线l上不同于A的点，
∴$AQ≠0$，即$AQ^2＞0$，
∴$PA^2＜PQ^2$，
又
∵PA、PQ均为正数，
∴$PA＜PQ$。
【答案】
$PA＜PQ$，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理
【点评】
本题通过两种不同方法证明垂线段最短的结论，既考查了全等三角形、三角形三边关系的应用，也考查了勾股定理在线段大小比较中的使用，能帮助学生多角度理解几何定理，夯实基础几何的推导能力。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已给出辅助线，首先根据已知条件：PA=AB，PA⊥l可得∠PAQ=∠BAQ=90°，且AQ为公共边，可先通过SAS证明△APQ≌△ABQ，将PQ转化为BQ；再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”得到PQ+BQ＞PB，结合PB=2PA、BQ=PQ，即可推导出PA＜PQ。
(2) 第二问要求用勾股定理证明，首先由PA⊥l可知△PAQ是直角三角形，直接应用勾股定理得到PQ²与PA²、AQ²的关系；再结合Q与A不重合，可得AQ²＞0，据此比较PQ²和PA²的大小，再根据线段长度为正数，即可得到PA和PQ的大小关系。
【解析】
(1) 如题图1，延长PA至点B，使得AB=PA，连接BQ。
在△APQ和△ABQ中，
$\{\begin{array}{l}AP=AB,\\∠PAQ=∠BAQ=90°,\\AQ=AQ,\end{array} $
∴△APQ≌△ABQ（SAS），
∴PQ=BQ。
根据三角形三边关系可得$PQ+BQ＞PB$，
又
∵$PB=PA+AB=2PA$，$BQ=PQ$，
∴$2PQ＞2PA$，
∴$PA＜PQ$。
(2) 如题图2，
∵$PA⊥l$，
∴$∠PAQ=90°$，
根据勾股定理得：$PQ^2=PA^2+AQ^2$，
∵Q为直线l上不同于A的点，
∴$AQ≠0$，即$AQ^2＞0$，
∴$PA^2＜PQ^2$，
又
∵PA、PQ均为正数，
∴$PA＜PQ$。
【答案】
$PA＜PQ$，得证
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，勾股定理
【点评】
本题通过两种不同方法证明垂线段最短的结论，既考查了全等三角形、三角形三边关系的应用，也考查了勾股定理在线段大小比较中的使用，能帮助学生多角度理解几何定理，夯实基础几何的推导能力。
【难度系数】
0.8
