1. 无理数$\sqrt{10}$在 （）

A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间

1. B 解析:$\because 9＜10＜16,\therefore 3＜\sqrt{10}＜4,\therefore$ 无理数 $\sqrt{10}$ 在 3和4之间.

【分析】
要判断无理数$\sqrt{10}$的取值范围，可采用“夹逼法”：先找到和被开方数10相邻的两个正完全平方数，再对这三个数同时取算术平方根，就能推导得出$\sqrt{10}$的范围，进而选出正确选项。
【解析】
首先找出10相邻的完全平方数：$3^2=9$，$4^2=16$，因此可得$9＜10＜16$。
根据算术平方根的非负性，当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$，对上述不等式同时开算术平方根可得：$\sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，化简后即$3＜\sqrt{10}＜4$。
因此无理数$\sqrt{10}$在3和4之间，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算，算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查无理数取值范围的估算方法，解题关键是快速找到与被开方数相邻的两个完全平方数，该方法是无理数相关计算的基础技能，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

2. 已知一个直角三角形其中两边的长分别为8、15，则第三边的长应该为（）

A.不能确定
B.$\sqrt{161}$
C.17
D.17或$\sqrt{161}$

2. D 解析:分两种情况进行讨论:①两直角边长分别为 8 和 15,则第三边长为 $\sqrt{8^2+15^2}=17$;②一直角边长为 8,斜边长为 15,则第三边长为 $\sqrt{15^2-8^2}=\sqrt{161}$.

【分析】
本题考查直角三角形边长求解，解题核心是勾股定理的应用。由于题干未明确已知两边是直角边还是斜边，需要先结合“直角三角形中斜边为最长边”的性质确定分类情况：边长为8的边不可能是斜边，因此仅需分两种情况讨论，再分别代入勾股定理计算即可。
【解析】
解：分两种情况进行讨论：
① 当8和15为两直角边长时，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为$\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$；
② 当15为斜边长，8为直角边长时，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为$\sqrt{15^2-8^2}=\sqrt{225-64}=\sqrt{161}$。
综上，第三边的长为17或$\sqrt{161}$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略已知边类型不明确的前提，直接默认两边都是直角边导致漏解。解题时要先结合直角三角形斜边最长的性质排除无效分类，再用勾股定理计算，避免出现漏解问题。
【难度系数】
0.7

3. 在平面直角坐标系中,已知点$P(m-1,m+2)$($m$是任意实数),则点$P$不会落在（）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

3. D 解析:$\because (m+2)-(m-1)=m+2-m+1=3＞0$,$\therefore$ 点 $P$ 的纵坐标一定大于横坐标. $\because$ 第四象限的点的横坐标是正数,纵坐标是负数, $\therefore$ 纵坐标一定小于横坐标, $\therefore$ 点 $P$ 一定不会落在第四象限.

【分析】
要判断点P不会落在哪个象限，首先需明确平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号特征：第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负。我们可以先分析点P横、纵坐标的大小关系，再结合各象限坐标的特征逐一排查，即可得出结论。
【解析】
首先计算点P纵坐标与横坐标的差：
$(m+2)-(m-1)=m+2-m+1=3＞0$
由此可知，点P的纵坐标始终大于横坐标。
再看第四象限的点的坐标特征：横坐标为正数，纵坐标为负数，此时纵坐标一定小于横坐标，与上述“点P纵坐标恒大于横坐标”的结论矛盾，因此点P一定不会落在第四象限。
也可通过分类讨论验证其余象限的可能性：
①当$m＞1$时，$m-1＞0$，$m+2＞0$，点P在第一象限；
②当$-2＜m＜1$时，$m-1＜0$，$m+2＞0$，点P在第二象限；
③当$m＜-2$时，$m-1＜0$，$m+2＜0$，点P在第三象限。
综上，点P不会落在第四象限。
【答案】
D
【知识点】
1. 各象限点的坐标特征
2. 代数式大小比较
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标与象限的对应关系，解题的核心是熟练掌握各象限内点的横、纵坐标的符号特点，既可以通过分析坐标的固定大小关系快速推导，也可以通过分类讨论逐一验证，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在一次“寻宝”游戏中,寻宝人找到了如图所示的两个标志点$A(3,1)$、$B(2,2)$,则“宝藏”点$C$的位置是 （）


A.$(1,0)$
B.$(1,2)$
C.$(2,1)$
D.$(1,1)$

4. D 解析:根据两个标志点 $A(3,1)$、$B(2,2)$ 可建立如图所示的平面直角坐标系,$\therefore$“宝藏”点 $C$ 的位置是 $(1,1)$.

【分析】
解题时首先要结合已知点的坐标明确平面直角坐标系的刻度规则。根据点坐标的定义：横坐标是点对应x轴的数值，纵坐标是点对应y轴的数值，先通过A(3,1)、B(2,2)确认每个网格边长代表1个单位长度，再定位x轴、y轴的位置，最后数出点C对应的横、纵坐标即可得到答案。
【解析】
解：已知标志点$A(3,1)$、$B(2,2)$，可确定该平面直角坐标系中每个小方格的边长为1个单位长度，图中最下方水平轴为x轴，最左侧竖直轴为y轴。
观察点C的位置：点C距离y轴1个单位长度，故横坐标为1；距离x轴1个单位长度，故纵坐标为1，即点C的坐标为$(1,1)$。

【答案】
D
【知识点】
点的坐标表示、平面直角坐标系、坐标确定位置
【点评】
本题结合趣味场景考查坐标的基础应用，解题核心是掌握点坐标的含义，通过已知点校准坐标系的刻度，再读取未知点的坐标，只要细心数清格子即可正确作答。
【难度系数】
0.9

5. 如图,购买一种苹果所付的金额$ y $(单位:元)与购买量$ x $(单位:kg)之间的函数图象由线段$ OA $和射线$ AB $组成,则一次购买6 kg这种苹果比分六次购买1 kg这种苹果可节省的金额为
（）

A.5元
B.6元
C.7元
D.8元

5. D 解析:设 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 当 $0≤ x≤ 2$ 时,将 $(0,0)$、$(2,20)$ 代入,得 $\begin{cases} b=0,\\2k+b=20,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=10,\\b=0,\end{cases}$$\therefore y=10x(0≤ x≤ 2)$; 当 $x≥ 2$ 时,将 $(2,20)$、$(4,36)$ 代入,得 $\begin{cases} 2k+b=20,\\4k+b=36,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=8,\\b=4,\end{cases}$$\therefore y=8x+4(x≥ 2)$. 当 $x=1$ 时,$y=10× 1=10$; 当 $x=6$ 时,$y=8× 6+4=52$. $\therefore$ 一次购买 6 kg 这种苹果比分六次购买 1 kg 这种苹果可节省 $10× 6-52=8$(元).

【分析】
本题是一次函数在实际消费场景的应用，解题思路分为三步：1. 观察函数图象可知付款金额和购买量是分段一次函数关系，分为$0≤x≤2$和$x≥2$两段，需要用待定系数法分别求出两段的函数解析式；2. 分别计算两种购买方式的总花费：分六次每次买1kg时，每次购买量都在$0∼2kg$区间，代入对应解析式算出1kg的价格再乘6得到总花费；一次买6kg时，购买量大于2kg，代入$x≥2$对应的解析式算出总花费；3. 将两种花费相减即可得到节省的金额。
【解析】
设$y$关于$x$的函数表达式为$y=kx+b$。
①当$0≤x≤2$时，将$(0,0)$、$(2,20)$代入表达式，得：
$\begin{cases} b=0 \\2k+b=20 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=10 \\b=0 \end{cases}$，因此该段函数为$y=10x(0≤x≤2)$。
②当$x≥2$时，将$(2,20)$、$(4,36)$代入表达式，得：
$\begin{cases} 2k+b=20 \\4k+b=36 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=8 \\b=4 \end{cases}$，因此该段函数为$y=8x+4(x≥2)$。
计算两种购买方式的花费：
分6次每次购买1kg时，$x=1$属于$0≤x≤2$区间，1kg的价格为$y=10×1=10$元，总花费为$10×6=60$元；
一次购买6kg时，$x=6≥2$，代入对应解析式得$y=8×6+4=52$元。
因此可节省的金额为$60-52=8$元。
【答案】D
【知识点】
待定系数法求解析式；分段函数应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合日常购买商品的消费场景考查一次函数的相关应用，解题核心是准确求出分段函数各区间的解析式，再根据购买量代入对应区间计算费用，解题时注意区分不同购买量对应的函数区间即可。
【难度系数】
0.7

6. 若点$ M(x-1, x+1) $在第三象限，则$ x $的取值范围是.

6. $x＜-1$ 解析:$\because$ 点 $M(x-1,x+1)$ 在第三象限,$\therefore x-1＜0$,且 $x+1＜0$,解得 $x＜-1$.

【分析】
解题时首先回忆第三象限内点的坐标特征：第三象限的点横坐标为负、纵坐标也为负。根据这个特征，我们可以把点M的横、纵坐标分别和0比较，列出关于x的不等式组，再解不等式组，取两个不等式解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
解：
∵点$M(x-1, x+1)$在第三象限，
∴第三象限内点的横、纵坐标均小于0，可得不等式组：
$\begin{cases}x-1 ＜ 0 ① \\x+1 ＜ 0 ②\end{cases}$
解不等式①，得：$x ＜ 1$
解不等式②，得：$x ＜ -1$
根据“同小取小”的不等式组解集规则，两个解集的公共部分为$x ＜ -1$。
【答案】
$x＜-1$
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是基础常考题，核心是对各象限内点的坐标符号规律的掌握，同时结合一元一次不等式组的求解，只要牢记象限坐标的符号特点即可快速得分。
【难度系数】
0.9

7. 若一次函数$y=(2m-1)x+3-2m$的图象经过第一、二、四象限，则$m$的取值范围是________.

7. $m＜\dfrac{1}{2}$ 解析:$\because y=(2m-1)x+3-2m$ 的图象经过第一、二、四象限,$\therefore 2m-1＜0$,且 $3-2m＞0$,$\therefore$ 解得 $m＜\dfrac{1}{2}$,且 $m＜\dfrac{3}{2}$,$\therefore m$ 的取值范围为 $m＜\dfrac{1}{2}$.

【分析】
要解决这个问题，首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象与系数的关系：当图象经过第一、二、四象限时，斜率$k＜0$，截距$b＞0$。我们先从给定的一次函数中找出对应的$k$和$b$，再根据上述符号要求列出关于$m$的不等式，分别求解不等式后取两个解集的公共部分，就能得到$m$的取值范围。
【解析】
已知一次函数$y=(2m-1)x+3-2m$的图象经过第一、二、四象限，根据一次函数图象性质可得：
1. 斜率小于0：$2m-1＜0$
移项得：$2m＜1$
解得：$m＜\dfrac{1}{2}$
2. 截距大于0：$3-2m＞0$
移项得：$2m＜3$
解得：$m＜\dfrac{3}{2}$
取两个解集的公共部分，可得$m$的取值范围是$m＜\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$m＜\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1. 一次函数图象与系数的关系
2. 解一元一次不等式
3. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是基础类题型，核心考查一次函数的图象性质，解题关键是熟记一次函数图象经过的象限与$k$、$b$符号的对应规律，同时要准确求解不等式，正确确定多个解集的公共部分。
【难度系数】
0.8

8. 若直角三角形斜边上的高和中线长分别是5和6，则它的面积是.

8. 30 解析:如图,$\because$ 直角三角形斜边上的中线 $CD=6$,$\therefore$ 斜边 $AB=2CD=6× 2=12$,$\therefore S=\dfrac{1}{2}AB· CE=\dfrac{1}{2}× 12× 5=30$.

【分析】
要计算直角三角形的面积，已知斜边上的高，只需要求出斜边长度即可。首先回忆直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们可以先根据给出的中线长求出斜边的长度，再结合三角形面积公式，将斜边作为底、斜边上的高作为对应高，代入计算就能得到面积。
【解析】
$\because$ 直角三角形斜边上的中线 $CD=6$，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
$\therefore$ 斜边 $AB=2CD=6× 2=12$，
又$\because$ 斜边上的高$CE=5$，根据三角形面积公式可得：
$S=\dfrac{1}{2}AB· CE=\dfrac{1}{2}× 12× 5=30$。

【答案】
30
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查直角三角形的性质和三角形面积公式的应用，解题的关键是牢记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9

9. 如图，P是$∠ AOB$内一点，点P关于OA的对称点为C，点P关于OB的对称点为D，连接CD交OA、OB于点M、N，连接PM、PN.若$∠ AOB=50°$，则$∠ MPN$的度数为________.

9. $80°$ 解析:如图,连接 $OC$、$OD$、$OP$,$\because$ 点 $P$ 关于 $OA$ 的对称点为 $C$,关于 $OB$ 的对称点为 $D$,$\therefore OC=OP=OD$,$∠ AOP=∠ AOC$,$∠ POB=∠ BOD$, $\because ∠ AOB=50°$,$\therefore ∠ COD=2∠ AOB=100°$,$\therefore ∠ MPN=∠ OPM+∠ OPN=∠ OCM+∠ ODN=180°-2∠ COD=80°$.

【分析】
遇到点关于直线对称的条件，首先回忆轴对称的性质：对称轴垂直平分两个对称点的连线，对应边相等、对应角相等。要求∠MPN的度数，我们先作辅助线连接OC、OP、OD，借助对称关系将角进行转化，先求出∠COD的度数，再利用等腰三角形等边对等角的性质，把∠MPN转化为△OCD的两个底角之和，最后结合三角形内角和定理计算即可。
【解析】
解：连接$OC$、$OD$、$OP$，
∵ 点$P$关于$OA$的对称点为$C$，
∴ $OA$垂直平分$PC$，
∴ $OC=OP$，$PM=CM$，$∠AOC=∠AOP$，
∴ $∠OCM=∠OPM$。
同理，点$P$关于$OB$的对称点为$D$，
∴ $OB$垂直平分$PD$，
∴ $OD=OP$，$PN=DN$，$∠BOD=∠BOP$，
∴ $∠ODN=∠OPN$。
∵ $∠COD=∠AOC+∠AOP+∠BOP+∠BOD=2(∠AOP+∠BOP)=2∠AOB$，
已知$∠AOB=50°$，
∴ $∠COD=2×50°=100°$。
在$△ OCD$中，根据三角形内角和定理：
$∠OCD+∠ODC=180°-∠COD=180°-100°=80°$，
即$∠OCM+∠ODN=80°$，
∴ $∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OCM+∠ODN=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
轴对称的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常考题型，核心是利用轴对称的性质得到相等的边和角，将未知角转化为已知三角形的内角，解题的关键是掌握对称的性质，学会构造辅助线实现角的转化。
【难度系数】
0.6

10. 如图,在$△ ABC$中,$O$是角平分线$AD$、$BE$的交点.若$AB=AC=10$,$BC=12$,则$\dfrac{OD}{BD}$的值为________.

10. $\dfrac{1}{2}$ 解析:在$△ ABC$中,$O$是角平分线 $AD$、$BE$ 的交点,$AB=AC=10$,$BC=12$,$\therefore BD=\dfrac{1}{2}BC=6$,$AD⊥ BC$,$\therefore AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=8$,如图,过点 $O$ 作 $OG⊥ AB$,$OH⊥ AC$,则 $OG=OH=OD$,连接 $OC$.$\because S_{△ ABC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOC}+S_{△ AOC}$,$\therefore \dfrac{1}{2}BC· AD=\dfrac{1}{2}AB· OG+\dfrac{1}{2}BC· OD+\dfrac{1}{2}AC· OH=\dfrac{1}{2}(AB+BC+AC)· OD$,即 $12× 8=(10+12+10)× OD$,$\therefore OD=3$,$\therefore \dfrac{OD}{BD}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
首先观察△ABC为等腰三角形，AD是顶角角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可先推出AD⊥BC，BD为BC的一半，再用勾股定理算出AD的长度。其次O是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质，O到三角形三边的距离相等，即OD=OG=OH。接下来利用面积法，将△ABC的面积拆分为△AOB、△BOC、△AOC三个小三角形的面积和，建立等式求出OD的长度，最后计算OD与BD的比值即可。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD$是$∠BAC$的角平分线，
∴$AD⊥BC$，$BD=CD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}×12=6$，
在$Rt△ABD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
过点$O$作$OG⊥AB$于$G$，$OH⊥AC$于$H$，
∵$O$是角平分线$AD$、$BE$的交点，
∴根据角平分线的性质可得$OG=OH=OD$，
连接$OC$，可得$S_{△ABC}=S_{△AOB}+S_{△BOC}+S_{△AOC}$，
即$\dfrac{1}{2}·BC·AD=\dfrac{1}{2}·AB·OG+\dfrac{1}{2}·BC·OD+\dfrac{1}{2}·AC·OH$，
代入$OG=OH=OD$，$AB=AC=10$，$BC=12$，$AD=8$得：
$\dfrac{1}{2}×12×8=\dfrac{1}{2}×(10+12+10)×OD$，
化简得$96=32OD$，解得$OD=3$，
∴$\dfrac{OD}{BD}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
等腰三角形性质，角平分线性质，面积法应用
【点评】
本题是三角形性质应用的典型题型，解题的关键是结合等腰三角形三线合一得到相关线段长度，再利用角平分线的性质和面积法建立等式求解，能有效考查学生对三角形相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65