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12. 某同学为了探究“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角之间存在什么关系”，画出了以下两个不同的图形，请你根据图形完成以下问题：
(1)如图1，如果$AB// CD$，$BE// DF$，那么$∠ 1$和$∠ 2$之间的数量关系为________；
(2)如图2，如果$AB// CD$，$BE// DF$，那么$∠ 1$和$∠ 2$之间的数量关系为________；
(3)根据以上探究的结果，如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的$3$倍少$60°$，求这两个角的度数.
(1)如图1，如果$AB// CD$，$BE// DF$，那么$∠ 1$和$∠ 2$之间的数量关系为________；
(2)如图2，如果$AB// CD$，$BE// DF$，那么$∠ 1$和$∠ 2$之间的数量关系为________；
(3)根据以上探究的结果，如果两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的$3$倍少$60°$，求这两个角的度数.
答案
解:(1)$∠1=∠2$
(2)$∠1+∠2=180°$
(3)设一个角是$x°$,则另一个角是$(3x−60)°$. 由(1)(2)可得$x=3x−60$ 或$x+(3x−60)=180$,解得$x=30$ 或$x=60$,所以另一个角为$30°$或$120°$.
综上所述,这两个角的度数分别是$30°$,$30°$或$60°$,$120°$.
(2)$∠1+∠2=180°$
(3)设一个角是$x°$,则另一个角是$(3x−60)°$. 由(1)(2)可得$x=3x−60$ 或$x+(3x−60)=180$,解得$x=30$ 或$x=60$,所以另一个角为$30°$或$120°$.
综上所述,这两个角的度数分别是$30°$,$30°$或$60°$,$120°$.
解析
【分析】
(1) 求解图1中两角关系时，先根据AB//CD的平行线性质，找到∠1和同位角∠CME的等量关系，再根据BE//DF的性质找到∠2和∠CME的等量关系，通过等量代换即可推导∠1和∠2的关系；
(2) 求解图2中两角关系时，先由AB//CD得到∠1和∠CME相等，再由BE//DF得到∠CME和∠2是同旁内角、和为180°，等量代换即可得到∠1和∠2的数量关系；
(3) 由前两问结论可知，两边分别平行的两个角要么相等，要么互补，因此分两种情况列一元一次方程求解即可，注意验证结果是否符合题意。
【解析】
(1) 如图1，
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠1=∠CME$，
又
∵$BE// DF$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠2=∠CME$，
∴$∠1=∠2$。
(2) 如图2，
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠1=∠CME$，
又
∵$BE// DF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠2+∠CME=180°$，
∴$∠1+∠2=180°$。
(3) 设其中一个角的度数为$x°$，则另一个角的度数为$(3x-60)°$，
根据两边分别平行的两个角相等或互补，分两种情况讨论：
① 当两个角相等时：$x=3x-60$，
解得$x=30$，此时另一个角为$3×30-60=30°$；
② 当两个角互补时：$x+(3x-60)=180$，
解得$x=60$，此时另一个角为$3×60-60=120°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠1=∠2}$
(2)$\boldsymbol{∠1+∠2=180°}$
(3)这两个角的度数分别是$\boldsymbol{30°,30°}$或$\boldsymbol{60°,120°}$
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行线性质的典型探究题，核心是掌握角的两边分别平行时存在相等、互补两种位置关系，解题时需注意分类讨论，避免漏解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解图1中两角关系时，先根据AB//CD的平行线性质，找到∠1和同位角∠CME的等量关系，再根据BE//DF的性质找到∠2和∠CME的等量关系，通过等量代换即可推导∠1和∠2的关系；
(2) 求解图2中两角关系时，先由AB//CD得到∠1和∠CME相等，再由BE//DF得到∠CME和∠2是同旁内角、和为180°，等量代换即可得到∠1和∠2的数量关系；
(3) 由前两问结论可知，两边分别平行的两个角要么相等，要么互补，因此分两种情况列一元一次方程求解即可，注意验证结果是否符合题意。
【解析】
(1) 如图1，
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠1=∠CME$，
又
∵$BE// DF$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠2=∠CME$，
∴$∠1=∠2$。
(2) 如图2，
∵$AB// CD$，根据“两直线平行，同位角相等”可得$∠1=∠CME$，
又
∵$BE// DF$，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得$∠2+∠CME=180°$，
∴$∠1+∠2=180°$。
(3) 设其中一个角的度数为$x°$，则另一个角的度数为$(3x-60)°$，
根据两边分别平行的两个角相等或互补，分两种情况讨论：
① 当两个角相等时：$x=3x-60$，
解得$x=30$，此时另一个角为$3×30-60=30°$；
② 当两个角互补时：$x+(3x-60)=180$，
解得$x=60$，此时另一个角为$3×60-60=120°$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{∠1=∠2}$
(2)$\boldsymbol{∠1+∠2=180°}$
(3)这两个角的度数分别是$\boldsymbol{30°,30°}$或$\boldsymbol{60°,120°}$
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；一元一次方程的应用
【点评】
本题是平行线性质的典型探究题，核心是掌握角的两边分别平行时存在相等、互补两种位置关系，解题时需注意分类讨论，避免漏解，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
13. 将两把含$30°$角的三角尺按如图所示方式叠放，现固定三角尺$ABC$不动，将三角尺$DEC$绕顶点$C$顺时针转动，使两把三角尺至少有一组边互相平行，且点$D$始终在直线$BC$的上方，求所有符合条件的$∠ BCD$的度数.
答案
解:①如图1,当$DE//AB$时,$∠BCD=30°$;
②如图2,当$AB//CE$时,$∠BCD=60°$;
③如图3,当$DE//BC$时,$∠BCD=90°$;
④如图4,当$AB//CD$时,$∠BCD=120°$.
综上所述,满足条件的$∠BCD$的度数为$30°$或$60°$或$90°$或$120°$.
解析
【分析】
首先我们明确两块含30°角的三角尺的内角度数是固定的：∠B=30°，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=90°。题目要求转动后两把三角尺至少有一组边互相平行，且点D始终在直线BC上方，我们可以分情况列举所有可能的边平行的情形，再根据平行线的性质，结合角的和差关系计算每种情形对应的∠BCD的度数即可。
【解析】
已知三角尺ABC、DEC均为含30°的直角三角尺，因此∠B=30°，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=90°，分4种情况讨论：
① 如图，当DE//AB时，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠BCD=∠DEC=30°；
② 如图，当AB//CE时，根据平行线性质可得∠BCE=∠B=30°，因此∠BCD=∠DCE - ∠BCE + 30°=60°；
③ 如图，当DE//BC时，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BCD=∠CDE=90°；
④ 如图，当AB//CD时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠B + ∠BCD=180°，因此∠BCD=180°-30°=120°。
综上可得出所有符合条件的∠BCD的度数。
【答案】
①如图,当$DE//AB$时,$∠BCD=30°$;
②如图,当$AB//CE$时,$∠BCD=60°$;
③如图,当$DE//BC$时,$∠BCD=90°$;
④如图,当$AB//CD$时,$∠BCD=120°$.
综上所述,满足条件的$∠BCD$的度数为$30°$或$60°$或$90°$或$120°$.
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，角的和差计算
【点评】
本题需要结合三角尺的固定角度，对可能出现的平行情况逐一分类讨论，解题时要注意题目中“点D始终在直线BC上方”的限制条件，避免出现多解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.6
首先我们明确两块含30°角的三角尺的内角度数是固定的：∠B=30°，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=90°。题目要求转动后两把三角尺至少有一组边互相平行，且点D始终在直线BC上方，我们可以分情况列举所有可能的边平行的情形，再根据平行线的性质，结合角的和差关系计算每种情形对应的∠BCD的度数即可。
【解析】
已知三角尺ABC、DEC均为含30°的直角三角尺，因此∠B=30°，∠ACB=∠DCE=60°，∠CDE=90°，分4种情况讨论：
① 如图
，当DE//AB时，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠BCD=∠DEC=30°；② 如图
，当AB//CE时，根据平行线性质可得∠BCE=∠B=30°，因此∠BCD=∠DCE - ∠BCE + 30°=60°；③ 如图
，当DE//BC时，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BCD=∠CDE=90°；④ 如图
，当AB//CD时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠B + ∠BCD=180°，因此∠BCD=180°-30°=120°。综上可得出所有符合条件的∠BCD的度数。
【答案】
①如图
,当$DE//AB$时,$∠BCD=30°$;②如图
,当$AB//CE$时,$∠BCD=60°$;③如图
,当$DE//BC$时,$∠BCD=90°$;④如图
,当$AB//CD$时,$∠BCD=120°$.综上所述,满足条件的$∠BCD$的度数为$30°$或$60°$或$90°$或$120°$.
【知识点】
平行线的性质，分类讨论思想，角的和差计算
【点评】
本题需要结合三角尺的固定角度，对可能出现的平行情况逐一分类讨论，解题时要注意题目中“点D始终在直线BC上方”的限制条件，避免出现多解或者漏解的问题。
【难度系数】
0.6
