8. [2025·安庆怀宁期中]如图,已知四边形$CFBE$,点$A$在$BE$的延长线上,点$D$在$BF$的延长线上,连接$AD$分别交$CE$,$FC$于点$G$,$H$.若$∠AGE=∠D$,$∠B=∠C$,试说明$∠A=∠CHG$.

解:因为$∠AGE=∠D$,所以$GE//BD$,所以$∠C=∠CFD$. 又因为$∠B=∠C$,所以$∠B=∠CFD$,所以$CF//AB$,所以$∠A=∠CHG$.

【分析】
解题时先从已知条件∠AGE=∠D切入，这两个角是直线GE、BD被直线AD所截形成的同位角，由同位角相等可判定GE//BD；再利用平行线的性质可得∠C=∠CFD，结合已知∠B=∠C，通过等量代换得到∠B=∠CFD，这两个角是直线CF、AB被直线BD所截的同位角，可进一步判定CF//AB；最后根据平行线的性质即可推出待证的∠A=∠CHG。
【解析】
解：
∵∠AGE=∠D，
∴GE//BD，
∴∠C=∠CFD。
又
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CFD，
∴CF//AB，
∴∠A=∠CHG。
【答案】
因为$∠AGE=∠D$，所以$GE//BD$，所以$∠C=∠CFD$。 又因为$∠B=∠C$，所以$∠B=∠CFD$，所以$CF//AB$，所以$∠A=∠CHG$。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；等量代换
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查平行线的判定与性质的应用，解题时要注意区分：由角的等量关系推导直线平行用判定定理，由直线平行推导角的等量关系用性质定理，熟练掌握二者的应用逻辑即可快速解题。
【难度系数】
0.8

9. 如图,在三角形ABC中,点D,E,F分别在AB,BC,AC上,且EF//AB,要使DF//BC,还需要添加的条件是
()


A.∠B=∠1
B.∠B=∠2
C.∠B=∠3
D.∠1=∠3

9.B

【分析】
解题时先从已知条件出发：已知EF//AB，根据平行线的性质可得到角的相等关系；再结合要达成的目标DF//BC，回忆平行线的判定定理，找到判定DF//BC需要的角的关系，最后通过等量代换即可推出需要添加的条件。
第一步：由EF//AB，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠B=∠1；
第二步：要判定DF//BC，观察图形可知DF、BC被EF所截，内错角为∠1和∠2，因此需要∠1=∠2；
第三步：结合前两步的结论，通过等量代换可知需要添加的条件为∠B=∠2，再对应选项判断即可。
【解析】
∵ EF//AB，根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠B=∠1。
若要DF//BC，根据平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行”，需要满足∠1=∠2。
将∠B=∠1代入，可得当∠B=∠2时，∠1=∠2，即可推出DF//BC。
对各选项分析：
A. ∠B=∠1是EF//AB的固有结论，无法推出DF//BC，不符合要求；
B. ∠B=∠2时，等量代换得∠1=∠2，可判定DF//BC，符合要求；
C. ∠B=∠3无法得到判定DF//BC的角的关系，不符合要求；
D. ∠1=∠3无法推出DF//BC，不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定
【点评】
本题是平行线性质与判定的综合应用类题目，解题关键是结合图形理清角与线的位置对应关系，通过等量代换搭建已知条件和待证结论之间的桥梁，是平行线章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7

10. 如图,已知$FC// AB$,$FC// DE$,$∠α:∠ D:∠ B=2:3:4$,则$∠α$的大小为.

10.72°

【分析】
首先根据已知的两组平行关系，结合平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，可以得到∠B与∠BCF互补、∠D与∠DCF互补，将两个互补关系相加得到四个角的和为360°；再结合平角的定义，可知FC下方三个角∠BCF、∠α、∠DCF的和为180°，由此可推导得到∠B、∠D、∠α三者的数量关系；最后根据三个角的比例关系设未知数列方程求解，即可得到∠α的度数。
【解析】
解：
∵ $ FC// AB $，根据两直线平行，同旁内角互补，
∴ $ ∠ B + ∠ BCF = 180° $ ①
∵ $ FC// DE $，同理可得
∴ $ ∠ D + ∠ DCF = 180° $ ②
将①和②相加，得：
$ ∠ B + ∠ D + ∠ BCF + ∠ DCF = 360° $
根据平角的定义，$ ∠ BCF + ∠ α + ∠ DCF = 180° $，即 $ ∠ BCF + ∠ DCF = 180° - ∠ α $，代入上式得：
$ ∠ B + ∠ D + 180° - ∠ α = 360° $
化简得：$ ∠ B + ∠ D - ∠ α = 180° $
已知 $ ∠ α:∠ D:∠ B = 2:3:4 $，设 $ ∠ α = 2x $，$ ∠ D = 3x $，$ ∠ B = 4x $（$ x＞0 $），代入化简后的式子：
$ 4x + 3x - 2x = 180° $
解得 $ 5x = 180° $，$ x = 36° $
因此 $ ∠ α = 2x = 2×36° = 72° $
【答案】
$ 72° $
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；比例角度计算
【点评】
本题是平行线章节的典型角度计算题，核心是利用平行线的同旁内角互补性质，结合平角的特征推导角度关系，再通过比例设元求解，解题时需注意观察图形中角的和差关系，熟练掌握平行线性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

11. 如图，$AB// CD$，$∠ 1=∠ 2$，$CF$ 平分$∠ DCE$.
(1)试判断直线 $AE$ 与 $BF$ 的位置关系，并说明理由；
(2)若$∠ 1=80°$，求$∠ 3$的度数.

解:(1)$AE//BF$. 理由:因为$AB//CD$,所以$∠2=∠CDF$. 因为$∠1=∠2$,所以$∠1=∠CDF$,所以$AE//BF$.
(2)因为$∠1=80°$,所以$∠DCE=180°−∠1=100°$. 因为$CF$平分$∠DCE$,所以$∠ECF=50°$. 由(1)知$AE//BF$,所以$∠3=∠ECF=50°$.

【分析】
(1)要判断直线AE与BF的位置关系，可结合平行线的判定条件推导：首先利用已知AB//CD的平行线性质，得到∠2与∠CDF相等，再结合∠1=∠2的条件，通过等量代换得到同位角∠1=∠CDF，即可推出AE//BF。
(2)求∠3的度数，首先利用邻补角和为180°，结合已知∠1的度数求出∠DCE的度数，再根据CF平分∠DCE的条件，用角平分线定义求出∠ECF的度数，最后利用第一问得到的AE//BF的性质，得出∠3与∠ECF相等即可求解。
【解析】
(1) $AE// BF$，理由如下：
$\because AB// CD$，根据两直线平行，同位角相等，$\therefore ∠ 2=∠ CDF$。
又$\because ∠ 1=∠ 2$，$\therefore ∠ 1=∠ CDF$（等量代换）。
根据同位角相等，两直线平行，$\therefore AE// BF$。
(2) 已知$∠ 1=80°$，$\because ∠ 1$与$∠ DCE$是邻补角，$\therefore ∠ DCE=180°-∠ 1=180°-80°=100°$。
$\because CF$平分$∠ DCE$，根据角平分线的定义，$\therefore ∠ ECF=\frac{1}{2}∠ DCE=\frac{1}{2}×100°=50°$。
由(1)知$AE// BF$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ 3=∠ ECF=50°$。
【答案】
(1) $AE// BF$，理由见解析；
(2) $∠ 3=50°$
【知识点】
1. 平行线的判定与性质
2. 角平分线的定义
3. 邻补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题时需要注意区分平行线的判定（由角的关系推平行）和性质（由平行推角的关系），结合角平分线、邻补角的性质完成角的等量转化即可解决问题。
【难度系数】
0.8