疑难点拨
如果两个圆心角相等,那么它们所对的弦相等、所对的弧相等,对吗? 请说明理由.
点拨 易忽视该结论成立的条件:在同圆或等圆中.

错误.反例如图所示:

【分析】要判断该说法是否正确，需回忆圆心角、弦、弧之间的关系定理，该定理有明确的前提条件“在同圆或等圆中”，若缺少这个条件，结论不成立，可通过举反例（如图中的同心圆）来验证原说法的错误性。
【解析】根据圆心角、弦、弧的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等。题目中未明确说明两个圆心角是在同圆或等圆中，因此原说法不成立。反例：如图，两个同心圆中，圆心角∠AOB和∠A₁OB₁相等，但弦AB≠A₁B₁，弧AB≠弧A₁B₁，可证明原结论错误。
【答案】错误.反例如图所示:

【知识点】圆心角、弦、弧的关系
【点评】本题考查圆心角与弦、弧的关系，核心是牢记定理的前提条件“同圆或等圆”，这是解题的易错点，需注意定理的适用范围，避免忽略条件导致判断错误。
【难度系数】0.5

1. 下列说法中,正确的是 ()

A.等弦所对的弧相等
B.在同圆中,等弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.相等的弦所对的圆心角相等

1. B

【分析】要判断各选项的正确性，需回忆圆中圆心角、弧、弦之间的关系，这类关系的成立通常有“同圆或等圆”的前提条件，需逐一分析每个选项是否满足该条件，以及概念表述是否准确。
【解析】逐一分析选项：
A选项：等弦所对的弧相等。错误，因为一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），且未限定“同圆或等圆”，不同圆中相等的弦所对的弧不一定相等，同圆中相等的弦所对的优弧、劣弧也可能不对应相等，故A错误。
B选项：在同圆中，等弧所对的弦相等。正确，等弧的定义是在同圆或等圆中能够完全重合的弧，重合的弧对应的弦必然相等，满足前提条件，故B正确。
C选项：圆心角相等，所对的弦相等。错误，未限定“同圆或等圆”，不同半径的圆中，相等的圆心角所对的弦长不相等，故C错误。
D选项：相等的弦所对的圆心角相等。错误，未限定“同圆或等圆”，不同圆中相等的弦所对的圆心角大小不同，故D错误。
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆的基本性质
【点评】本题考查圆中圆心角、弧、弦的关系，核心是牢记相关性质的前提条件（同圆或等圆），这是常见易错点，需仔细辨析每个选项的条件完整性，属于基础题型。
【难度系数】0.7

2. 如图,在三个等圆上各有一条劣弧:$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{CD}$、$\overset{\frown}{EF}$,如果 $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{EF}$,那么$AB+CD$与$EF$的大小关系是 ()


A.$AB+CD=EF$
B.$AB+CD＜EF$
C.$AB+CD＞EF$
D.无法确定

2. C

【分析】
本题是等圆中弧与弦的大小比较问题，解题思路为：①利用等圆的性质：等圆中相等的弧所对应的弦相等；②根据已知的弧长和关系，在弧EF上构造辅助点G，将弧AB、CD转化为弧EG、GF，进而得到对应的弦EG=AB、GF=CD；③利用三角形三边关系（两边之和大于第三边），比较EG+GF与EF的大小，从而得出AB+CD与EF的大小关系。
【解析】
因为三个圆是等圆，根据“等圆中，相等的弧所对的弦相等”，已知$\overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{EF}$，在$\overset{\frown}{EF}$上取点G，使得$\overset{\frown}{EG} = \overset{\frown}{AB}$，则$\overset{\frown}{GF} = \overset{\frown}{EF} - \overset{\frown}{EG} = \overset{\frown}{CD}$，因此弦$EG = AB$，$GF = CD$。
在$△ EGF$中，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得$EG + GF ＞ EF$，将$EG=AB$、$GF=CD$代入，得到$AB + CD ＞ EF$。
【答案】
C
【知识点】
圆的弧弦关系，三角形三边关系
【点评】
本题综合考查圆的基本性质与三角形的三边关系，通过构造辅助弧将弧长关系转化为弦长关系，再利用三角形性质比较大小，是一道基础的几何比较题，需要学生掌握等圆的性质和三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.5

3. 如图,在两个同心圆中,$\overset{\frown}{AB}$的度数为$60°$,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为.

3. $60^{\circ }$

【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，首先明确：弧的度数等于它所对圆心角的度数。由于图中是两个同心圆，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角是同一个角，因此它们的度数相等，已知$\overset{\frown}{AB}$的度数，即可得出$\overset{\frown}{CD}$的度数。
【解析】根据弧的度数的定义：弧的度数等于其所对圆心角的度数。在同心圆中，$\overset{\frown}{AB}$和$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角均为∠AOB，因此$\overset{\frown}{CD}$的度数等于$\overset{\frown}{AB}$的度数，即$60°$。
【答案】$60^{\circ }$
【知识点】弧的度数、圆心角
【点评】本题是基础概念题，核心是掌握弧的度数与圆心角的对应关系，结合同心圆的性质即可快速解题，难度较低。
【难度系数】0.7

4. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,$∠ COD=34°$,则$∠ AOE$的度数是.

4. $78^{\circ }$

【分析】
要计算∠AOE的度数，需利用同圆中相等的弧对应相等的圆心角这一性质，先求出弧BC、CD、DE对应的圆心角的度数，再结合AB是直径（平角为180°），用180°减去这三个圆心角的和即可得到∠AOE的度数。
【解析】
∵ 在⊙O中，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，根据“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，
∴ ∠BOC = ∠COD = ∠DOE。
已知∠COD=34°，因此∠BOC=∠DOE=34°，
则∠BOC + ∠COD + ∠DOE = 34°×3 = 102°。
又
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOE = ∠AOB - (∠BOC + ∠COD + ∠DOE) = 180° - 102° = 78°。
【答案】
78°
【知识点】
圆心角与弧的关系，平角的计算
【点评】
本题考查圆心角与弧的对应关系，属于基础题型，解题关键是利用等弧对等圆心角的性质，结合直径对应的平角进行计算，难度较低。
【难度系数】
0.7

5. 如图,$A$、$B$是半径为2的$\odot O$上的两点,若$∠ AOB=120°$,$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点,则四边形$AOBC$的周长为.

5. 8

【分析】要计算四边形AOBC的周长，需先确定四条边的长度。已知OA、OB是⊙O的半径，长度为2，因此只需计算AC和BC的长度。根据C是弧AB中点，可得对应的圆心角∠AOC=∠BOC，结合∠AOB=120°算出这两个角的度数，再利用半径相等，判断△AOC和△BOC为等边三角形，即可得到AC、BC的长度，最后求和得到周长。
【解析】
1. 因为C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$∠ AOC = ∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
2. 又OA、OC都是⊙O的半径，故$OA = OC = 2$，则△AOC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，因此$AC = OA = 2$。
3. 同理，$OB = OC = 2$，$∠ BOC = 60°$，所以△BOC也是等边三角形，故$BC = OB = 2$。
4. 四边形AOBC的周长为：$AO + OB + BC + AC = 2 + 2 + 2 + 2 = 8$。
【答案】8
【知识点】弧中点性质、等边三角形判定
【点评】本题考查圆的基本性质与等边三角形的判定，核心是利用弧中点得到圆心角相等，进而推导等边三角形，属于基础题型，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】0.6

6. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$、$D$为半圆$O$的三等分点,$CE⊥ AB$于点$E$,连接$AC$、$OD$,则$∠ ACE$的度数为.

6. $30^{\circ }$

【分析】
要解决本题，需先利用半圆三等分点的性质求出圆心角，再结合圆的半径相等得到等边三角形，最后借助直角三角形两锐角互余计算角度。具体步骤：1. 连接OC，根据三等分点确定∠AOC的度数；2. 由半径相等判断△AOC为等边三角形，得到∠A的度数；3. 利用CE⊥AB的垂直关系，在直角三角形中计算∠ACE。
【解析】
连接OC，
∵ AB是⊙O的直径，C、D为半圆O的三等分点，
∴ ∠AOC = 180°÷3 = 60°，
又
∵ OA = OC（⊙O的半径相等），
∴ △AOC是等边三角形，
∴ ∠A = 60°，
∵ CE⊥AB，
∴ ∠AEC = 90°，
在Rt△ACE中，∠ACE = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
圆的圆心角，等边三角形性质，直角三角形性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，核心是利用半圆三等分点得到圆心角，构造等边三角形后结合直角三角形性质求解，属于常见的几何角度计算题型。
【难度系数】
0.6