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疑难点拨
某气球内充满了一定质量的气体,在气温不变的条件下,气球内气体的压强$p$(Pa)与气球体积$V(\mathrm{m}^{3})$之间满足反比例函数关系$p=\dfrac{24\ 000}{V}$,当气球内的气压不超过40 000 Pa时,气球不会爆炸,为确保气球不爆炸,气球体积$V$的取值范围是
点拨 本题主要考查了反比例函数的实际应用,先求出当$p=40\ 000\ \mathrm{Pa}$时,$V=0.6\ \mathrm{m}^{3}$,再根据反比例函数的增减性求解即可.
某气球内充满了一定质量的气体,在气温不变的条件下,气球内气体的压强$p$(Pa)与气球体积$V(\mathrm{m}^{3})$之间满足反比例函数关系$p=\dfrac{24\ 000}{V}$,当气球内的气压不超过40 000 Pa时,气球不会爆炸,为确保气球不爆炸,气球体积$V$的取值范围是
$V≥ 0.6\ \mathrm{m^3}$
.点拨 本题主要考查了反比例函数的实际应用,先求出当$p=40\ 000\ \mathrm{Pa}$时,$V=0.6\ \mathrm{m}^{3}$,再根据反比例函数的增减性求解即可.
答案
【疑难点拨】 $V≥ 0.6\ \mathrm{m^3}$
解析
【分析】首先明确题目中压强$p$与体积$V$满足反比例函数关系，且体积$V$为正数；反比例函数$p=\dfrac{24000}{V}$中$k=24000＞0$，因此在$V＞0$时，$p$随$V$的增大而减小。要求气球不爆炸即压强$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，需先求出$p=40000\ \mathrm{Pa}$时对应的$V$值，再结合反比例函数的增减性确定$V$的取值范围。
【解析】根据题意，气球不爆炸的条件为压强$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，将$p=\dfrac{24000}{V}$代入不等式得：
$\dfrac{24000}{V} ≤ 40000$
因为体积$V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$24000 ≤ 40000V$
解得：$V ≥ \dfrac{24000}{40000}=0.6\ (\mathrm{m^3})$
【答案】$V ≥ 0.6\ \mathrm{m^3}$
【知识点】反比例函数的应用，不等式的求解
【点评】本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用反比例函数的增减性，结合实际意义（体积为正）解不等式，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，气球不爆炸的条件为压强$p≤40000\ \mathrm{Pa}$，将$p=\dfrac{24000}{V}$代入不等式得：
$\dfrac{24000}{V} ≤ 40000$
因为体积$V＞0$，不等式两边同时乘$V$，不等号方向不变，得：
$24000 ≤ 40000V$
解得：$V ≥ \dfrac{24000}{40000}=0.6\ (\mathrm{m^3})$
【答案】$V ≥ 0.6\ \mathrm{m^3}$
【知识点】反比例函数的应用，不等式的求解
【点评】本题结合实际场景考查反比例函数的应用，核心是利用反比例函数的增减性，结合实际意义（体积为正）解不等式，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
1. (2025广东深圳)已知压力$F(\mathrm{N})$、压强$p(\mathrm{Pa})$与受力面积$S(\mathrm{m}^{2})$之间有如下关系式:$F=pS$.当$F$为定值时,能大致表示$p$与$S$之间函数关系的图象是 (
D
)答案
1. D
解析
【分析】首先根据压力、压强与受力面积的关系$F=pS$，当$F$为定值时，将公式变形得到$p=\frac{F}{S}$，这是反比例函数；由于受力面积$S$必须为正数（$S＞0$），因此$p$与$S$的函数图象是反比例函数在第一象限的分支，据此判断选项。
【解析】已知$F=pS$，当$F$为定值时，变形可得$p=\frac{F}{S}$。因为$F$是定值（正数），受力面积$S$的取值范围是$S＞0$，所以$p$是关于$S$的反比例函数，且图象仅在第一象限。观察四个选项：A是递减的一次函数，B是递增的一次函数，C是先增后减的曲线，D是第一象限内的反比例函数图象，符合要求。
【答案】D
【知识点】反比例函数、压强公式
【点评】本题结合压强公式考查反比例函数的图象，关键是明确自变量$S$的取值范围，确定函数图象所在象限，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】已知$F=pS$，当$F$为定值时，变形可得$p=\frac{F}{S}$。因为$F$是定值（正数），受力面积$S$的取值范围是$S＞0$，所以$p$是关于$S$的反比例函数，且图象仅在第一象限。观察四个选项：A是递减的一次函数，B是递增的一次函数，C是先增后减的曲线，D是第一象限内的反比例函数图象，符合要求。
【答案】D
【知识点】反比例函数、压强公式
【点评】本题结合压强公式考查反比例函数的图象，关键是明确自变量$S$的取值范围，确定函数图象所在象限，属于基础题型。
【难度系数】0.6
2. 装卸机往一列火车上装载货物,装完货物所需时间$y$(分钟)与装载速度$x$(吨/分钟)之间的函数关系如图所示.若要求在60分钟内(包括60分钟)装完这批货物,则$x$的取值范围是 (
A.$x≥10$
B.$x≥6$
C.$0＜ x≤10$
D.$0＜ x≤6$
A
)A.$x≥10$
B.$x≥6$
C.$0＜ x≤10$
D.$0＜ x≤6$
答案
2. A
解析
【分析】首先观察图像，y与x的关系符合反比例函数特征，因此先设反比例函数解析式，利用图像上的已知点求出解析式；再根据“60分钟内装完”即y≤60，代入解析式得到关于x的不等式，结合x的实际意义（速度为正数）解不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】因为装完货物的总重量为定值，所以y与x成反比例函数关系，设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ x＞0 $，$ y＞0 $）。
将点（1.5，400）代入解析式，得 $ 400 = \frac{k}{1.5} $，解得 $ k = 1.5×400 = 600 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{600}{x} $。
要求在60分钟内装完，即 $ y ≤ 60 $，代入解析式得 $ \frac{600}{x} ≤ 60 $。
由于装载速度 $ x＞0 $，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得 $ 600 ≤ 60x $，解得 $ x ≥ 10 $。
【答案】A
【知识点】反比例函数应用，反比例函数解析式，不等式求解
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，核心是利用待定系数法确定函数关系，再结合实际要求转化为不等式求解，需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】0.5
【解析】因为装完货物的总重量为定值，所以y与x成反比例函数关系，设函数解析式为 $ y = \frac{k}{x} $（$ k≠0 $，$ x＞0 $，$ y＞0 $）。
将点（1.5，400）代入解析式，得 $ 400 = \frac{k}{1.5} $，解得 $ k = 1.5×400 = 600 $，因此函数解析式为 $ y = \frac{600}{x} $。
要求在60分钟内装完，即 $ y ≤ 60 $，代入解析式得 $ \frac{600}{x} ≤ 60 $。
由于装载速度 $ x＞0 $，不等式两边同时乘x，不等号方向不变，得 $ 600 ≤ 60x $，解得 $ x ≥ 10 $。
【答案】A
【知识点】反比例函数应用，反比例函数解析式，不等式求解
【点评】本题是反比例函数在实际生活中的典型应用，核心是利用待定系数法确定函数关系，再结合实际要求转化为不等式求解，需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】0.5
3. 如图,一定质量的氧气,其体积$V(\mathrm{m}^{3})$是密度$\rho(\mathrm{kg/m}^{3})$的反比例函数,其图象如图,当$\rho=$$6\ \mathrm{kg/m}^{3}$时,氧气的体积$V=\_\_\_\_\_\_\mathrm{m}^{3}$.
答案
3. 1.5
解析
【分析】
本题中体积V与密度ρ成反比例函数关系，解题思路为：①设反比例函数的解析式；②利用图像上已知点的坐标求出解析式中的常数k；③将ρ=6代入解析式，计算对应的体积V。
【解析】
因为V是ρ的反比例函数，设其解析式为 $ V = \frac{k}{\rho} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，点A(ρ=1.8，V=5)在该函数图像上，将其代入解析式得：
$ 5 = \frac{k}{1.8} $，解得 $ k = 5 × 1.8 = 9 $。
因此，反比例函数的解析式为 $ V = \frac{9}{\rho} $。
当ρ=6 $ \mathrm{kg/m^3} $时，代入解析式得：
$ V = \frac{9}{6} = 1.5 $ $ \mathrm{m^3} $。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数应用、密度公式
【点评】
本题结合实际问题考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，注重对基础知识的掌握。
【难度系数】
0.7
本题中体积V与密度ρ成反比例函数关系，解题思路为：①设反比例函数的解析式；②利用图像上已知点的坐标求出解析式中的常数k；③将ρ=6代入解析式，计算对应的体积V。
【解析】
因为V是ρ的反比例函数，设其解析式为 $ V = \frac{k}{\rho} $（k为常数，k≠0）。
由图像可知，点A(ρ=1.8，V=5)在该函数图像上，将其代入解析式得：
$ 5 = \frac{k}{1.8} $，解得 $ k = 5 × 1.8 = 9 $。
因此，反比例函数的解析式为 $ V = \frac{9}{\rho} $。
当ρ=6 $ \mathrm{kg/m^3} $时，代入解析式得：
$ V = \frac{9}{6} = 1.5 $ $ \mathrm{m^3} $。
【答案】
1.5
【知识点】
反比例函数应用、密度公式
【点评】
本题结合实际问题考查反比例函数的应用，核心是利用待定系数法求反比例函数解析式，再代入求值，属于基础题型，注重对基础知识的掌握。
【难度系数】
0.7
4. [新情境·生态环境]为了响应"绿水青山就是金山银山"的号召,建设生态文明,某工厂自2025年1月开始限产进行治污改造,其月利润$y$(万元)与月份$x$之间的变化如图所示,治污完成前是反比例函数图象的一部分,治污完成后是一次函数图象的一部分,有下列结论:①4月份的利润为50万元;②治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元;③治污完成前后共有4个月的利润低于100万元;④9月份该厂利润达到200万元.其中正确的有
①②④
(填序号).答案
4. ①②④
解析
【分析】
本题需分两段确定函数解析式：治污前（1-4月）为反比例函数，治污后（4月及以后）为一次函数。先利用已知点求出反比例函数解析式，得到4月利润判断①；再用两个点求一次函数解析式，判断②；接着分别在两段函数中找利润低于100万元的月份数量判断③；最后代入$x=9$到一次函数求利润判断④，从而确定正确结论。
【解析】
1. 求治污前的反比例函数解析式：设反比例函数为$ y = \frac{k}{x} $，将点$(1,200)$代入得$ k = 1×200 = 200 $，故解析式为$ y = \frac{200}{x} $。当$ x=4 $时，$ y = \frac{200}{4} = 50 $，因此4月份利润为50万元，结论①正确。
2. 求治污后的一次函数解析式：设一次函数为$ y = ax + b $，将点$(4,50)$和$(6,110)$代入得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 50 \\6a + b = 110 \end{cases}$
解得$ a=30 $，$ b=-70 $，故解析式为$ y = 30x -70 $。一次函数斜率为30，说明治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，结论②正确。
3. 判断利润低于100万元的月份数：
反比例函数段：令$ y ＜100 $，即$ \frac{200}{x} ＜100 $，解得$ x＞2 $，结合月份$ x=1,2,3,4 $，得$ x=3,4 $时利润低于100万元；
一次函数段：令$ y ＜100 $，即$ 30x -70 ＜100 $，解得$ x ＜ \frac{17}{3}≈5.67 $，结合月份$ x≥4 $，得$ x=5 $时利润低于100万元；
综上，共3个月利润低于100万元，结论③错误。
4. 判断9月份利润：将$ x=9 $代入一次函数$ y=30×9 -70 =200 $，故9月份利润为200万元，结论④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、函数图像
【点评】
本题结合实际情境考查反比例函数与一次函数的综合应用，关键是分段确定函数解析式，再通过解析式计算对应值判断结论，需注意月份的取值范围，避免出错。
【难度系数】
0.5
本题需分两段确定函数解析式：治污前（1-4月）为反比例函数，治污后（4月及以后）为一次函数。先利用已知点求出反比例函数解析式，得到4月利润判断①；再用两个点求一次函数解析式，判断②；接着分别在两段函数中找利润低于100万元的月份数量判断③；最后代入$x=9$到一次函数求利润判断④，从而确定正确结论。
【解析】
1. 求治污前的反比例函数解析式：设反比例函数为$ y = \frac{k}{x} $，将点$(1,200)$代入得$ k = 1×200 = 200 $，故解析式为$ y = \frac{200}{x} $。当$ x=4 $时，$ y = \frac{200}{4} = 50 $，因此4月份利润为50万元，结论①正确。
2. 求治污后的一次函数解析式：设一次函数为$ y = ax + b $，将点$(4,50)$和$(6,110)$代入得方程组：
$\begin{cases}4a + b = 50 \\6a + b = 110 \end{cases}$
解得$ a=30 $，$ b=-70 $，故解析式为$ y = 30x -70 $。一次函数斜率为30，说明治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元，结论②正确。
3. 判断利润低于100万元的月份数：
反比例函数段：令$ y ＜100 $，即$ \frac{200}{x} ＜100 $，解得$ x＞2 $，结合月份$ x=1,2,3,4 $，得$ x=3,4 $时利润低于100万元；
一次函数段：令$ y ＜100 $，即$ 30x -70 ＜100 $，解得$ x ＜ \frac{17}{3}≈5.67 $，结合月份$ x≥4 $，得$ x=5 $时利润低于100万元；
综上，共3个月利润低于100万元，结论③错误。
4. 判断9月份利润：将$ x=9 $代入一次函数$ y=30×9 -70 =200 $，故9月份利润为200万元，结论④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
反比例函数应用、一次函数应用、函数图像
【点评】
本题结合实际情境考查反比例函数与一次函数的综合应用，关键是分段确定函数解析式，再通过解析式计算对应值判断结论，需注意月份的取值范围，避免出错。
【难度系数】
0.5
5. 元旦假期,李老师驾驶小汽车从甲地匀速行驶到乙地,当小汽车匀速行驶的速度为100 km/h时,行驶时间为1.5 h;设小汽车匀速行驶的速度为$v$ km/h,行驶的时间为$t$ h.
(1) 求$v$关于$t$的函数表达式;
(2) 若小汽车匀速行驶的速度为60 km/h,则从乙地返回甲地需要几小时?
(1) 求$v$关于$t$的函数表达式;
(2) 若小汽车匀速行驶的速度为60 km/h,则从乙地返回甲地需要几小时?
答案
5. (1) $v=\dfrac{150}{t}$. (2) $2.5\ \mathrm{h}$.
解析
【分析】首先根据行程问题中“路程=速度×时间”，计算出甲、乙两地的固定路程；由于路程不变，速度$v$与时间$t$成反比例关系，据此推导$v$关于$t$的函数表达式；第二问将速度$v=60\ \mathrm{km/h}$代入函数表达式，即可求出对应的时间$t$。
【解析】
(1) 甲、乙两地的路程为：$100 × 1.5 = 150\ (\mathrm{km})$。
因为路程固定，所以速度与时间满足$v × t = 150$，整理得$v = \dfrac{150}{t}$。
(2) 当小汽车速度$v = 60\ \mathrm{km/h}$时，代入$v = \dfrac{150}{t}$，得$60 = \dfrac{150}{t}$，解得$t = \dfrac{150}{60} = 2.5\ (\mathrm{h})$。
【答案】(1) $v=\dfrac{150}{t}$；(2) $2.5\ \mathrm{h}$
【知识点】反比例函数的应用，行程问题
【点评】本题结合实际行程问题考查反比例函数的应用，核心是抓住“路程不变”的关键条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
(1) 甲、乙两地的路程为：$100 × 1.5 = 150\ (\mathrm{km})$。
因为路程固定，所以速度与时间满足$v × t = 150$，整理得$v = \dfrac{150}{t}$。
(2) 当小汽车速度$v = 60\ \mathrm{km/h}$时，代入$v = \dfrac{150}{t}$，得$60 = \dfrac{150}{t}$，解得$t = \dfrac{150}{60} = 2.5\ (\mathrm{h})$。
【答案】(1) $v=\dfrac{150}{t}$；(2) $2.5\ \mathrm{h}$
【知识点】反比例函数的应用，行程问题
【点评】本题结合实际行程问题考查反比例函数的应用，核心是抓住“路程不变”的关键条件，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
