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7. (2026 河北邯郸)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形,点A的纵坐标与横坐标的比为 $4:3$,且点A在函数 $y=\frac{3}{x}(x＞0)$ 的图象上,点B在函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$ 的图象上,则k的值为
8
。答案
7. 8
解析
【分析】
先根据点A的横纵坐标比设出A点坐标，利用A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$上求出A的坐标；再结合菱形对边平行且边长相等的性质，求出B点坐标；最后将B点坐标代入其所在的反比例函数解析式，计算出k的值。
【解析】
设点A的横坐标为$3a$，纵坐标为$4a$（$a＞0$），因为点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，将$A(3a,4a)$代入解析式得：
$4a=\frac{3}{3a}$，化简得$4a=\frac{1}{a}$，即$4a^2=1$，解得$a=\frac{1}{2}$（$a＞0$）。
因此点A的坐标为$(3×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(\frac{3}{2},2)$。
计算OA的长度：$OA=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
因为四边形AOCB是菱形，所以$AB// OC$（即AB平行于x轴），且$AB=OA=\frac{5}{2}$，因此点B的纵坐标与A相同为2，横坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即点B坐标为$(4,2)$。
又因为点B在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，将$B(4,2)$代入得：$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数、菱形的性质
【点评】
本题将反比例函数与菱形性质结合，核心是利用反比例函数上点的坐标特征求A点坐标，再通过菱形边长和对边平行的性质确定B点坐标，进而求出k值，需掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
先根据点A的横纵坐标比设出A点坐标，利用A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$上求出A的坐标；再结合菱形对边平行且边长相等的性质，求出B点坐标；最后将B点坐标代入其所在的反比例函数解析式，计算出k的值。
【解析】
设点A的横坐标为$3a$，纵坐标为$4a$（$a＞0$），因为点A在函数$y=\frac{3}{x}(x＞0)$的图象上，将$A(3a,4a)$代入解析式得：
$4a=\frac{3}{3a}$，化简得$4a=\frac{1}{a}$，即$4a^2=1$，解得$a=\frac{1}{2}$（$a＞0$）。
因此点A的坐标为$(3×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(\frac{3}{2},2)$。
计算OA的长度：$OA=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$。
因为四边形AOCB是菱形，所以$AB// OC$（即AB平行于x轴），且$AB=OA=\frac{5}{2}$，因此点B的纵坐标与A相同为2，横坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即点B坐标为$(4,2)$。
又因为点B在函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上，将$B(4,2)$代入得：$2=\frac{k}{4}$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数、菱形的性质
【点评】
本题将反比例函数与菱形性质结合，核心是利用反比例函数上点的坐标特征求A点坐标，再通过菱形边长和对边平行的性质确定B点坐标，进而求出k值，需掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.5
8. 如图,正比例函数 $y=kx$ 与反比例函数 $y=\frac{8}{x}$ 的图象交于点A,B,过点A作 $AC// x$ 轴,交反比例函数 $y=\frac{k_{2}}{x}$ 的图象于点C,若 $S_{△ ABC}=12$,则 $k_{2}=$
$-4$
。答案
8. $-4$
解析
【分析】
首先，正比例函数与反比例函数$y=\frac{8}{x}$的交点A、B关于原点对称，据此可设点A坐标为$(m, \frac{8}{m})$，进而得到点B坐标。由$AC // x$轴可知点C与点A纵坐标相同，结合点C在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$上，可求出点C的坐标。再利用三角形面积公式，结合已知面积建立方程，求解$k_2$。
【解析】
解：设点A的坐标为$(m, \frac{8}{m})$（$m＞0$），
因为正比例函数与反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象交于A、B两点，且A、B关于原点对称，
所以点B的坐标为$(-m, -\frac{8}{m})$。
因为$AC // x$轴，所以点C的纵坐标为$\frac{8}{m}$，
又点C在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，将$y=\frac{8}{m}$代入得：$\frac{8}{m}=\frac{k_2}{x}$，解得$x=\frac{mk_2}{8}$，即点C坐标为$(\frac{mk_2}{8}, \frac{8}{m})$。
由图象知点C在第二象限，故$\frac{mk_2}{8}＜0$，结合$m＞0$得$k_2＜0$。
计算$△ ABC$的面积：
$AC$的长度为$m - \frac{mk_2}{8}$，点B到直线$AC$（$y=\frac{8}{m}$）的距离为$\frac{8}{m} - (-\frac{8}{m})=\frac{16}{m}$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × (m - \frac{mk_2}{8}) × \frac{16}{m}=12$，
化简得：$\frac{1}{2} × m(1-\frac{k_2}{8}) × \frac{16}{m}=8 -k_2=12$，
解得$k_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数性质、函数交点坐标、三角形面积计算
【点评】
本题利用正比例函数与反比例函数的对称性，结合坐标法求解三角形面积，核心是找到各点坐标的关系，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.5
首先，正比例函数与反比例函数$y=\frac{8}{x}$的交点A、B关于原点对称，据此可设点A坐标为$(m, \frac{8}{m})$，进而得到点B坐标。由$AC // x$轴可知点C与点A纵坐标相同，结合点C在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$上，可求出点C的坐标。再利用三角形面积公式，结合已知面积建立方程，求解$k_2$。
【解析】
解：设点A的坐标为$(m, \frac{8}{m})$（$m＞0$），
因为正比例函数与反比例函数$y=\frac{8}{x}$的图象交于A、B两点，且A、B关于原点对称，
所以点B的坐标为$(-m, -\frac{8}{m})$。
因为$AC // x$轴，所以点C的纵坐标为$\frac{8}{m}$，
又点C在反比例函数$y=\frac{k_2}{x}$的图象上，将$y=\frac{8}{m}$代入得：$\frac{8}{m}=\frac{k_2}{x}$，解得$x=\frac{mk_2}{8}$，即点C坐标为$(\frac{mk_2}{8}, \frac{8}{m})$。
由图象知点C在第二象限，故$\frac{mk_2}{8}＜0$，结合$m＞0$得$k_2＜0$。
计算$△ ABC$的面积：
$AC$的长度为$m - \frac{mk_2}{8}$，点B到直线$AC$（$y=\frac{8}{m}$）的距离为$\frac{8}{m} - (-\frac{8}{m})=\frac{16}{m}$，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × (m - \frac{mk_2}{8}) × \frac{16}{m}=12$，
化简得：$\frac{1}{2} × m(1-\frac{k_2}{8}) × \frac{16}{m}=8 -k_2=12$，
解得$k_2=-4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
反比例函数性质、函数交点坐标、三角形面积计算
【点评】
本题利用正比例函数与反比例函数的对称性，结合坐标法求解三角形面积，核心是找到各点坐标的关系，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.5
9. 如图,一次函数 $y=2x$ 与 $y=2x-9$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象在第一象限分别交于A,B两点,已知 $△ AOB$ 的面积为3,则k的值为
$\frac{8}{9}$
。答案
9. $\frac{8}{9}$
解析
【分析】
要解决本题，需利用原点为顶点的三角形面积公式，结合一次函数与反比例函数的交点性质推导k值。首先设出A、B两点坐标，利用A在直线$y=2x$、B在直线$y=2x-9$的关系，代入三角形面积公式简化计算，先求出A点横坐标，再结合反比例函数的性质求k。
【解析】
1. 设点A坐标为$(x_1,y_1)$，点B坐标为$(x_2,y_2)$。
因为A在直线$y=2x$上，故$y_1=2x_1$；B在直线$y=2x-9$上，故$y_2=2x_2-9$。
2. 原点O为顶点的三角形面积公式为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$，代入$y_1、y_2$的表达式：
$x_1y_2 - x_2y_1 = x_1(2x_2-9) - x_2·2x_1 = -9x_1$，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|-9x_1|=\frac{9}{2}x_1$（A在第一象限，$x_1＞0$，绝对值可省略）。
3. 已知$S_{△ AOB}=3$，则$\frac{9}{2}x_1=3$，解得$x_1=\frac{2}{3}$。
4. 由$y_1=2x_1$得$y_1=\frac{4}{3}$，又A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，故$k=x_1y_1=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。
【答案】
$\frac{8}{9}$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用原点处三角形的面积简化计算，避免复杂联立方程，关键在于掌握坐标形式的面积公式，结合一次函数的坐标关系快速推导，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用原点为顶点的三角形面积公式，结合一次函数与反比例函数的交点性质推导k值。首先设出A、B两点坐标，利用A在直线$y=2x$、B在直线$y=2x-9$的关系，代入三角形面积公式简化计算，先求出A点横坐标，再结合反比例函数的性质求k。
【解析】
1. 设点A坐标为$(x_1,y_1)$，点B坐标为$(x_2,y_2)$。
因为A在直线$y=2x$上，故$y_1=2x_1$；B在直线$y=2x-9$上，故$y_2=2x_2-9$。
2. 原点O为顶点的三角形面积公式为$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$，代入$y_1、y_2$的表达式：
$x_1y_2 - x_2y_1 = x_1(2x_2-9) - x_2·2x_1 = -9x_1$，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}|-9x_1|=\frac{9}{2}x_1$（A在第一象限，$x_1＞0$，绝对值可省略）。
3. 已知$S_{△ AOB}=3$，则$\frac{9}{2}x_1=3$，解得$x_1=\frac{2}{3}$。
4. 由$y_1=2x_1$得$y_1=\frac{4}{3}$，又A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，故$k=x_1y_1=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。
【答案】
$\frac{8}{9}$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点、三角形面积计算
【点评】
本题核心是利用原点处三角形的面积简化计算，避免复杂联立方程，关键在于掌握坐标形式的面积公式，结合一次函数的坐标关系快速推导，属于中等难度的函数综合题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,反比例函数 $y_{1}=\frac{k}{x}(x＞0,k＞0)$ 与一次函数 $y_{2}=-x+b$ 的图象相交于A,B两点,若A,B的横坐标分别为1,2,则不等式 $\frac{k}{x}＞-x+b$ 的解集为
$0＜x＜1$或$x＞2$
。答案
10. $0＜x＜1$或$x＞2$
解析
【分析】
要解不等式$\frac{k}{x} ＞ -x + b$，需转化为比较反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$与一次函数$y_2=-x+b$的函数值大小，即寻找反比例函数图像在一次函数图像上方时对应的$x$的取值范围。已知两函数交点A、B的横坐标分别为1和2，结合图像的位置关系即可确定解集。
【解析】
不等式$\frac{k}{x} ＞ -x + b$等价于$y_1 ＞ y_2$，即反比例函数值大于一次函数值。观察图像可知，两函数交点的横坐标为1和2：当$0 ＜ x ＜ 1$时，反比例函数图像在一次函数图像上方，满足$y_1 ＞ y_2$；当$1 ＜ x ＜ 2$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，不满足不等式；当$x ＞ 2$时，反比例函数图像再次在一次函数图像上方，满足条件。因此不等式的解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 2$。
【答案】
$0＜x＜1$或$x＞2$
【知识点】
反比例函数图像、一次函数图像、不等式解集
【点评】
本题利用函数图像的上下位置关系求解不等式，核心是理解不等式的几何意义，通过交点横坐标划分区间即可得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解不等式$\frac{k}{x} ＞ -x + b$，需转化为比较反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$与一次函数$y_2=-x+b$的函数值大小，即寻找反比例函数图像在一次函数图像上方时对应的$x$的取值范围。已知两函数交点A、B的横坐标分别为1和2，结合图像的位置关系即可确定解集。
【解析】
不等式$\frac{k}{x} ＞ -x + b$等价于$y_1 ＞ y_2$，即反比例函数值大于一次函数值。观察图像可知，两函数交点的横坐标为1和2：当$0 ＜ x ＜ 1$时，反比例函数图像在一次函数图像上方，满足$y_1 ＞ y_2$；当$1 ＜ x ＜ 2$时，一次函数图像在反比例函数图像上方，不满足不等式；当$x ＞ 2$时，反比例函数图像再次在一次函数图像上方，满足条件。因此不等式的解集为$0 ＜ x ＜ 1$或$x ＞ 2$。
【答案】
$0＜x＜1$或$x＞2$
【知识点】
反比例函数图像、一次函数图像、不等式解集
【点评】
本题利用函数图像的上下位置关系求解不等式，核心是理解不等式的几何意义，通过交点横坐标划分区间即可得到结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
11. 若直线 $y=ax(a≠0)$ 与双曲线 $y=-\frac{3}{x}$ 交于 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ 两点,则 $-2x_{1}y_{2}+5x_{2}y_{1}$ 的值为
9
。答案
11. 9
解析
【分析】
首先，直线与双曲线的交点同时满足两个函数的解析式，且直线$y=ax$过原点，因此两交点关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$；同时，交点在双曲线上，故对任意交点有$xy=-3$。接下来利用对称关系和双曲线性质，通过整体代入简化所求式子的计算。
【解析】
联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y=ax \\ y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，消去$y$得$ax=-\frac{3}{x}$，整理为$ax^2=-3$。该方程的两根为交点的横坐标$x_1,x_2$，因方程无一次项，故$x_1+x_2=0$，即$x_2=-x_1$；结合直线过原点，对应纵坐标满足$y_2=-y_1$。
又交点在双曲线$y=-\frac{3}{x}$上，故$x_1y_1=-3$，$x_2y_2=-3$。
将$y_2=-y_1$、$x_2=-x_1$代入所求式子：
$\begin{aligned}-2x_1y_2 +5x_2y_1&=-2x_1(-y_1)+5(-x_1)y_1\\&=2x_1y_1 -5x_1y_1\\&=-3x_1y_1\end{aligned}$
把$x_1y_1=-3$代入，得$-3×(-3)=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点性质，核心是利用直线过原点得出交点关于原点对称，结合双曲线的$xy=-3$关系，通过整体代入简化计算，无需求解具体交点坐标，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.5
首先，直线与双曲线的交点同时满足两个函数的解析式，且直线$y=ax$过原点，因此两交点关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$；同时，交点在双曲线上，故对任意交点有$xy=-3$。接下来利用对称关系和双曲线性质，通过整体代入简化所求式子的计算。
【解析】
联立直线与双曲线方程：$\begin{cases}y=ax \\ y=-\frac{3}{x}\end{cases}$，消去$y$得$ax=-\frac{3}{x}$，整理为$ax^2=-3$。该方程的两根为交点的横坐标$x_1,x_2$，因方程无一次项，故$x_1+x_2=0$，即$x_2=-x_1$；结合直线过原点，对应纵坐标满足$y_2=-y_1$。
又交点在双曲线$y=-\frac{3}{x}$上，故$x_1y_1=-3$，$x_2y_2=-3$。
将$y_2=-y_1$、$x_2=-x_1$代入所求式子：
$\begin{aligned}-2x_1y_2 +5x_2y_1&=-2x_1(-y_1)+5(-x_1)y_1\\&=2x_1y_1 -5x_1y_1\\&=-3x_1y_1\end{aligned}$
把$x_1y_1=-3$代入，得$-3×(-3)=9$。
【答案】
9
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题考查反比例函数与一次函数的交点性质，核心是利用直线过原点得出交点关于原点对称，结合双曲线的$xy=-3$关系，通过整体代入简化计算，无需求解具体交点坐标，体现了整体思想的应用。
【难度系数】
0.5
12. 如图,在平面直角坐标系中,函数 $y=-\frac{6}{x}(x＜0)$ 与 $y=-2x+3$ 的图象交于点 $P(a,b)$,则代数式 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$ 的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
12. $-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算代数式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的值，需利用交点$P(a,b)$同时满足两个函数解析式的性质，先推导$a$、$b$的关系式，再将代数式变形后代入计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
因为点$P(a,b)$是函数$y=-\frac{6}{x}(x＜0)$与$y=-2x+3$的交点，所以：
1. 将$P(a,b)$代入反比例函数$y=-\frac{6}{x}$，得$b=-\frac{6}{a}$，整理得$ab=-6$；
2. 将$P(a,b)$代入一次函数$y=-2x+3$，得$b=-2a+3$，整理得$2a + b=3$。
对代数式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$通分变形：
$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{b + 2a}{ab}$
把$ab=-6$、$2a + b=3$代入上式：
$\frac{2a + b}{ab}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数交点、代数式求值、分式运算
【点评】
本题利用函数交点坐标的性质，通过整体代入法简化计算，避免求解复杂方程，考查学生对函数性质和分式运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
要计算代数式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的值，需利用交点$P(a,b)$同时满足两个函数解析式的性质，先推导$a$、$b$的关系式，再将代数式变形后代入计算，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
因为点$P(a,b)$是函数$y=-\frac{6}{x}(x＜0)$与$y=-2x+3$的交点，所以：
1. 将$P(a,b)$代入反比例函数$y=-\frac{6}{x}$，得$b=-\frac{6}{a}$，整理得$ab=-6$；
2. 将$P(a,b)$代入一次函数$y=-2x+3$，得$b=-2a+3$，整理得$2a + b=3$。
对代数式$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$通分变形：
$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{b + 2a}{ab}$
把$ab=-6$、$2a + b=3$代入上式：
$\frac{2a + b}{ab}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
反比例函数交点、代数式求值、分式运算
【点评】
本题利用函数交点坐标的性质，通过整体代入法简化计算，避免求解复杂方程，考查学生对函数性质和分式运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.5
13. 如图,正比例函数 $y=\frac{1}{2}x$ 与函数 $y=\frac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点A,过点A作 $AB⊥ y$ 轴于点B,$OB=4$,点C在线段AB上,且 $AC=OC$.
(1) 求k的值及线段BC的长；
(2) 点P为点B上方y轴上一点,当 $△ POC$ 与 $△ PAC$ 的面积相等时,求点P的坐标.
(1) 求k的值及线段BC的长；
(2) 点P为点B上方y轴上一点,当 $△ POC$ 与 $△ PAC$ 的面积相等时,求点P的坐标.
答案
(1) $k=32$.$BC=3$ (2) $(0,10)$
解析
【分析】
要解决本题，分两步分析：
1. 第(1)问：先由AB⊥y轴且OB=4确定点A的纵坐标，代入正比例函数求出A点坐标，再利用反比例函数k=xy求k值；接着设点C的坐标，根据AC=OC的条件，结合两点间距离公式列方程，求出C点横坐标，进而计算BC的长度。
2. 第(2)问：设y轴上点P的坐标，分别用坐标法计算△POC和△PAC的面积，根据面积相等列方程求解P的纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为AB⊥y轴，OB=4，所以点A的纵坐标为4。
将y=4代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得$4=\frac{1}{2}x$，解得$x=8$，故A点坐标为$(8,4)$。
由于点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，因此$k=8×4=32$。
设点C的坐标为$(c,4)$（C在线段AB上，故$0＜c＜8$），则$AC=8 - c$，$OC=\sqrt{c^2 + 4^2}$。
由$AC=OC$，得$8 - c=\sqrt{c^2 + 16}$，两边平方得：$(8 - c)^2=c^2 + 16$，
展开化简：$64 -16c + c^2=c^2 +16$，即$16c=48$，解得$c=3$。
所以C点坐标为$(3,4)$，则$BC=3 - 0=3$。
(2) 设点P的坐标为$(0,p)$，因P在B上方y轴上，故$p＞4$。
△POC的面积：以OP为底，C点横坐标为高，$S_{△POC}=\frac{1}{2}×p×3=\frac{3p}{2}$。
△PAC的面积：AC长度为$8 - 3=5$，P到直线AC（$y=4$）的距离为$p -4$，故$S_{△PAC}=\frac{1}{2}×5×(p -4)$。
由$S_{△POC}=S_{△PAC}$，得$\frac{3p}{2}=\frac{5(p -4)}{2}$，两边同乘2得$3p=5p -20$，解得$p=10$。
因此点P的坐标为$(0,10)$。
【答案】
(1) $k=32$，$BC=3$；(2) $(0,10)$
【知识点】
反比例函数、正比例函数、三角形面积
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数与几何面积问题，考查数形结合和方程思想，需利用坐标性质建立关系求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两步分析：
1. 第(1)问：先由AB⊥y轴且OB=4确定点A的纵坐标，代入正比例函数求出A点坐标，再利用反比例函数k=xy求k值；接着设点C的坐标，根据AC=OC的条件，结合两点间距离公式列方程，求出C点横坐标，进而计算BC的长度。
2. 第(2)问：设y轴上点P的坐标，分别用坐标法计算△POC和△PAC的面积，根据面积相等列方程求解P的纵坐标，得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为AB⊥y轴，OB=4，所以点A的纵坐标为4。
将y=4代入正比例函数$y=\frac{1}{2}x$，得$4=\frac{1}{2}x$，解得$x=8$，故A点坐标为$(8,4)$。
由于点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，因此$k=8×4=32$。
设点C的坐标为$(c,4)$（C在线段AB上，故$0＜c＜8$），则$AC=8 - c$，$OC=\sqrt{c^2 + 4^2}$。
由$AC=OC$，得$8 - c=\sqrt{c^2 + 16}$，两边平方得：$(8 - c)^2=c^2 + 16$，
展开化简：$64 -16c + c^2=c^2 +16$，即$16c=48$，解得$c=3$。
所以C点坐标为$(3,4)$，则$BC=3 - 0=3$。
(2) 设点P的坐标为$(0,p)$，因P在B上方y轴上，故$p＞4$。
△POC的面积：以OP为底，C点横坐标为高，$S_{△POC}=\frac{1}{2}×p×3=\frac{3p}{2}$。
△PAC的面积：AC长度为$8 - 3=5$，P到直线AC（$y=4$）的距离为$p -4$，故$S_{△PAC}=\frac{1}{2}×5×(p -4)$。
由$S_{△POC}=S_{△PAC}$，得$\frac{3p}{2}=\frac{5(p -4)}{2}$，两边同乘2得$3p=5p -20$，解得$p=10$。
因此点P的坐标为$(0,10)$。
【答案】
(1) $k=32$，$BC=3$；(2) $(0,10)$
【知识点】
反比例函数、正比例函数、三角形面积
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数与几何面积问题，考查数形结合和方程思想，需利用坐标性质建立关系求解，难度适中。
【难度系数】
0.6
