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6. 如图3，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$的图象交$x$轴于点$A(8, 0)$，交$y$轴于点$B$.直线$y=\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$与$y$轴交于点$D$，与直线$AB$交于点$C(6, a)$.求$a$的值和直线$AB$的函数表达式.
答案
6.
∵点C(6，a)在直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，
∴$a=\frac{1}{2}×6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
∵一次函数$y=kx+b$的图象过点A(8，0)和点$C(6，\frac{3}{2})$，
∴$\begin{cases}8k+b=0,\\6k+b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6,\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$
∵点C(6，a)在直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，
∴$a=\frac{1}{2}×6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
∵一次函数$y=kx+b$的图象过点A(8，0)和点$C(6，\frac{3}{2})$，
∴$\begin{cases}8k+b=0,\\6k+b=\frac{3}{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=6,\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步求a的值，已知点C在给定的直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将点C的横坐标代入该直线解析式即可算出a的值；第二步求直线AB的函数表达式，一次函数的解析式为$y=kx+b$，需要2个点的坐标才能求出未知系数k、b，题目已给出点A的坐标，结合第一步求出的点C坐标，将两个点的坐标代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到直线AB的解析式。
【解析】
解：
1. 求a的值：
∵点$C(6,a)$在直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，
∴将$x=6$代入解析式得：
$a=\frac{1}{2}×6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
2. 求直线AB的函数表达式：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(8,0)$和点$C(6,\frac{3}{2})$，
∴将两点坐标代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}8k+b=0\\6k+b=\frac{3}{2}\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去b，得$2k=-\frac{3}{2}$，解得$k=-\frac{3}{4}$；
将$k=-\frac{3}{4}$代入$8k+b=0$，得$-6+b=0$，解得$b=6$。
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$。
【答案】
$a=\frac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$
【知识点】
一次函数点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础常规题型，解题核心是明确一次函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意分数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步求a的值，已知点C在给定的直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，根据一次函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将点C的横坐标代入该直线解析式即可算出a的值；第二步求直线AB的函数表达式，一次函数的解析式为$y=kx+b$，需要2个点的坐标才能求出未知系数k、b，题目已给出点A的坐标，结合第一步求出的点C坐标，将两个点的坐标代入$y=kx+b$得到二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到直线AB的解析式。
【解析】
解：
1. 求a的值：
∵点$C(6,a)$在直线$y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$上，
∴将$x=6$代入解析式得：
$a=\frac{1}{2}×6-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$。
2. 求直线AB的函数表达式：
∵一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(8,0)$和点$C(6,\frac{3}{2})$，
∴将两点坐标代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}8k+b=0\\6k+b=\frac{3}{2}\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去b，得$2k=-\frac{3}{2}$，解得$k=-\frac{3}{4}$；
将$k=-\frac{3}{4}$代入$8k+b=0$，得$-6+b=0$，解得$b=6$。
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$。
【答案】
$a=\frac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+6$
【知识点】
一次函数点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题是一次函数的基础常规题型，解题核心是明确一次函数图象上的点与解析式的对应关系，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤，计算时注意分数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 如图4，某品牌自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8 cm. 设链条长度为y cm，链条节数为x.
（1）观察图形，填写下表.
（2）上表的两个变量中，自变量是
（3）请写出y与x之间的函数关系式.
（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？
（1）观察图形，填写下表.
（2）上表的两个变量中，自变量是
链条节数x
.（3）请写出y与x之间的函数关系式.
（4）如果一辆自行车的链条（安装前）共由60节链条组成，那么这根链条安装到自行车上后，总长度是多少？
答案
7.（1）根据图形可得：2节链条的长度为2.5×2−0.8=4.2（cm），3节链条的长度为2.5×3−0.8×2=5.9（cm），4节链条的长度为2.5×4−0.8×3=7.6（cm），故答案为5.9，7.6
（2）自变量是链条节数x，因变量是链条长度y，故答案为链条节数x
（3）由（1）可得x节链条长为$y=2.5x−0.8(x−1)=1.7x+0.8$，
∴y与x之间的关系式为$y=1.7x+0.8$
（4）
∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8 cm，这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8−0.8=102（cm），
∴总长度是102 cm
（2）自变量是链条节数x，因变量是链条长度y，故答案为链条节数x
（3）由（1）可得x节链条长为$y=2.5x−0.8(x−1)=1.7x+0.8$，
∴y与x之间的关系式为$y=1.7x+0.8$
（4）
∵自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8 cm，这辆自行车链条的总长为1.7×60+0.8−0.8=102（cm），
∴总长度是102 cm
解析
【分析】
（1）计算多节链条长度时，每增加1节链条，会新增1处交叉重叠，因此n节链条共有(n-1)处重叠，总长度=单节长度×节数 - 重叠部分直径×重叠次数，按此规律计算3节、4节链条长度即可。
（2）自变量是主动变化的量，链条长度随链条节数的变化而变化，据此可直接判断自变量。
（3）将（1）中的规律一般化，把节数替换为x，长度替换为y，化简代数式即可得到函数关系式。
（4）先按函数关系式算出60节链条展直的长度，再注意安装到自行车上的链条为环形，首尾会多1处重叠，需额外减去1个0.8cm，即可得到实际总长度。
【解析】
（1）根据链条长度的计算规律：
3节链条长度：$2.5×3 - 0.8×2 = 7.5 - 1.6 = 5.9\ \mathrm{cm}$
4节链条长度：$2.5×4 - 0.8×3 = 10 - 2.4 = 7.6\ \mathrm{cm}$
（2）两个变量中，链条节数x是主动变化的量，链条长度y随x的变化而变化，因此自变量是链条节数x。
（3）x节链条的重叠次数为$(x-1)$次，因此：
$y = 2.5x - 0.8(x-1)$
化简得：$y = 1.7x + 0.8$
即y与x的函数关系式为$y=1.7x+0.8$
（4）先计算60节链条展直的长度：将x=60代入$y=1.7x+0.8$，得$y=1.7×60 + 0.8 = 102.8\ \mathrm{cm}$
由于安装后链条为环形，首尾额外有1处重叠，需再减去0.8cm，因此实际总长度为$102.8 - 0.8 = 102\ \mathrm{cm}$
【答案】
（1）$\boxed{5.9}$，$\boxed{7.6}$
（2）$\boxed{链条节数x}$
（3）$\boxed{y=1.7x+0.8}$
（4）$\boxed{102\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数实际应用，自变量与因变量，规律探究
【点评】
本题结合生活中的自行车链条场景考查函数相关知识，解题核心是准确找到链条节数与长度的变化规律，同时要注意结合实际场景考虑环形链条的额外重叠情况，避免忽略实际条件导致计算错误。
【难度系数】
0.7
（1）计算多节链条长度时，每增加1节链条，会新增1处交叉重叠，因此n节链条共有(n-1)处重叠，总长度=单节长度×节数 - 重叠部分直径×重叠次数，按此规律计算3节、4节链条长度即可。
（2）自变量是主动变化的量，链条长度随链条节数的变化而变化，据此可直接判断自变量。
（3）将（1）中的规律一般化，把节数替换为x，长度替换为y，化简代数式即可得到函数关系式。
（4）先按函数关系式算出60节链条展直的长度，再注意安装到自行车上的链条为环形，首尾会多1处重叠，需额外减去1个0.8cm，即可得到实际总长度。
【解析】
（1）根据链条长度的计算规律：
3节链条长度：$2.5×3 - 0.8×2 = 7.5 - 1.6 = 5.9\ \mathrm{cm}$
4节链条长度：$2.5×4 - 0.8×3 = 10 - 2.4 = 7.6\ \mathrm{cm}$
（2）两个变量中，链条节数x是主动变化的量，链条长度y随x的变化而变化，因此自变量是链条节数x。
（3）x节链条的重叠次数为$(x-1)$次，因此：
$y = 2.5x - 0.8(x-1)$
化简得：$y = 1.7x + 0.8$
即y与x的函数关系式为$y=1.7x+0.8$
（4）先计算60节链条展直的长度：将x=60代入$y=1.7x+0.8$，得$y=1.7×60 + 0.8 = 102.8\ \mathrm{cm}$
由于安装后链条为环形，首尾额外有1处重叠，需再减去0.8cm，因此实际总长度为$102.8 - 0.8 = 102\ \mathrm{cm}$
【答案】
（1）$\boxed{5.9}$，$\boxed{7.6}$
（2）$\boxed{链条节数x}$
（3）$\boxed{y=1.7x+0.8}$
（4）$\boxed{102\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
一次函数实际应用，自变量与因变量，规律探究
【点评】
本题结合生活中的自行车链条场景考查函数相关知识，解题核心是准确找到链条节数与长度的变化规律，同时要注意结合实际场景考虑环形链条的额外重叠情况，避免忽略实际条件导致计算错误。
【难度系数】
0.7
